Slide 1 Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 2 1 Tích phân Fourier 2 2 Phép biến đổi Fourier 2 3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier 2 4 Cá[.]
Chương Tích phân Fourier & biến đổi Fourier 2.1 Tích phân Fourier 2.2 Phép biến đổi Fourier 2.3 Ứng dụng tích phân Fourier biến đổi Fourier 2.4 Các hàm bất thường biến đổi Fourier chúng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 2.1.1 Tích phân Fourier Khác biệt hàm tuần hồn khơng tuần hồn ? T →∞ Chu kỳ T hữu hạn vô hạn f(t) -T -T/2 -T/2 f(t) f(t) T T/2 T/2 T →∞ Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2014 2.1.1 Tích phân Fourier Cần tìm khai triển Fourier cho f(t) khoảng (-∞,+∞) f(t) T →∞ Ta fΤ(t) fT(t) -T/2 Dễ thấy Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 T/2 t f (t ) = lim fT (t ) T →∞ 2.1.1 Tích phân Fourier Hàm tuần hồn fT(t) có định nghĩa chu kỳ -T/2 fT(t) 0 ( ) f= t 1 T 0 fT(t) -1 − T < t < −1 −1 < t < 1< t < T2 1 T/2 t có khai triển Fourier : a0 +∞ +∞ sin(nω0 ) + ∑ an cos(nω0 t ) = +∑ fT (t ) = cos(nω0 t ) n 1= T n T nω0 = Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 2.1.1 Tích phân Fourier ωn = nω0 sin(nω0 ) sin ωn = ∆ω an = π ωn T nω0 Đặt Định nghĩa hàm biên độ ∆ω = ω0 2 π A(ω ) = sin ω π ω ω=0 ω>0 sin(ω ) ω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 = sinc(ω )=Sa(ω ) 2.1.1 Tích phân Fourier Chu kỳ T kéo dài → vạch (đặc trưng cho biên độ ) chạy dồn trục tung đường biên độ A(ω) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 2.1.1 Tích phân Fourier +∞ sin(nω0 ) +∑ fT (t= ) cos(nω0 t ) T n =1 T nω0 an = ∆ω sin ωn π ωn Viết lại fT(t) ∆ω +∞ sin(ωn ) +∑ fT (t ) = {cos(ωn t )}∆ω π n =1 π ωn +∞ fT (t ) = + ∑ A(ω ){cos(ωn t )} ∆ω π n =1 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2014 2.1.1 Tích phân Fourier ∆ω +∞ sin(ωn ) +∑ fT (t ) = {cos(ωn t )}∆ω π n =1 π ωn +∞ fT (t ) = + ∑ A(ω ){cos(ωn t )} ∆ω π n =1 Nếu xét t cố định biến ω thay đổi ta có: T → ∞ ; ω → = f (t ) lim = fT (t ) T →∞ +∞ ∫ A(ω ) cos(ωt)dω Tích phân Fourier Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2014 2.1.1 Tích phân Fourier Lý luận tương tự dùng khai triển số mũ ta tích phân Fourier mũ phức fT (t ) = +∞ • ∑Ce n = −∞ n fT (t ) ∑ n = −∞ 2π +∞ jnω0 t Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 − jnω0 t ( ) Cn = ∫ f t e dt T −T T ∫ f (t )e −T f (t ) lim fT (t ) = = T →∞ T • +∞ − jωn t jω t dt e n ∆ω ∫ C(ω )e jω t dω −∞ 2.1.1 Tích phân Fourier Định lý : Nếu f(t) thỏa điều kiện Dirichlet khoảng hữu hạn ∫ ∞ −∞ |f(t)|dt hội tụ thì: 1 jω t − jωt + d f(t )2 f(t ) + ∫−∞ 2π −∞∫ f(t)e dtωe= +∞ +∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 − 10 Tích phân Fourier mũ phức f (t ) = +∞ ∫ C (ω )e jωt dω −∞ C (ω ) = 2π +∞ ∫ f (t)e − jω t dt −∞ F (ω ) = 2π C (ω ) Miền t: f(t) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 F F -1 Miền ω: F(ω) 11 Tương đồng chuỗi phức tích phân phức Chuỗi Fourier phức +∞ ∑ n = −∞ • Cn nω0 T dt ∫ T −T Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 Tích phân Fourier phức +∞ ∫ dω −∞ C (ω ) ω 2π +∞ ∫ dt −∞ 12 Ví dụ tích phân Fourier mũ phức Cho hàm f(t) định nghĩa t 0) t >0 e Tìm tích phân Fourier mũ phức biểu diễn cho f(t) ? Giải C (ω ) +∞ +∞ 1 −1 − jωt − a t − jωt − ( a + jω ) t = ( ) = f t e dt e e dt e ∫ 2π −∞ 2π ∫0 2π (a + jω ) C (ω ) f (t ) = ⇒= 2π (a + jω ) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 +∞ +∞ e jωt ∫−∞ 2π (a + jω ) dω 13