Slide 1 Chương 1 Chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 1 1 Hàm tuần hoàn 1 2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn 1 3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier 1 4 Khai triển bán kỳ 1 5 C[.]
Chương Chuỗi Fourier 1.1 Hàm tuần hoàn 1.2 Chuỗi Fourier hàm tuần hồn 1.3 Các cơng thức khác để tính hệ số Fourier 1.4 Khai triển bán kỳ 1.5 Các dạng khác chuỗi Fourier 1.6 Ứng dụng chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 1.4 Chuỗi Fourier hàm xác định [0,T/2] Định lý : Nếu f(t) hàm xác định khoảng kín [0, T/2] thỏa điều kiện Dirichlet khai triển thành : Chuỗi Fourier cơsin a0 +∞ ) + ∑ an cos(nω0t ) f (t= n =1 Hoặc thành chuỗi Fourier sin +∞ f (t ) = ∑ bn sin(nω0t ) n =1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 Khai triển bán kỳ T t ∈ 0, 2 Ví dụ khai triển bán kỳ (1 − cos nπ ) = bn nπ f(t) Cho hàm f(t) định nghĩa f(t)= t+2 ( < t < 2) Xác định chuỗi Fourier sin biểu diễn cho f(t) Giải Thiết lập hàm lẻ F(t) Xác định hệ số bn Chuỗi Fourier sin f(t) 2 F(t) -2 -2 -4 t t f (t ) =12π sin ( π2 t ) − π2 sin ( π2 t ) + π4 sin ( π2 t ) − π1 sin ( π2 t ) + Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 1.4 Chuỗi Fourier hàm xác định [0,T/2] Xét hàm f(t) xác định khoảng kín [0,T/2] Ta cần tìm khai triển Fourier f(t) ϕ (t ) − T < t < Mở rộng hàm f(t) thành hàm F (t ) f (t ) o≤t ≤T2 = F(t) tuần hoàn F (t + T ) ∀t Theo ĐL Dirichlet F(t) có khai triển Fourier hội tụ F(t) điểm mà F(t) liên tục ⇒ bất chấp ϕ(t) chuỗi Fourier F(t) hội tụ f(t) đoạn [0,T/2] Chọn ϕ(t) = f(-t) → F(t) hàm chẵn Chọn ϕ(t) ? Chọn ϕ(t) = -f(-t) → F(t) hàm lẻ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 1.5 Các dạng khác chuỗi Fourier Chuỗi Fourier dạng sóng hài +∞ Dạng sóng hài cosin f (t ) = F0 + ∑ Fn cos(nω0t + α n ) n =1 +∞ Dạng sóng hài sin Các hệ số khai triển Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 f (t ) = F0 + ∑ Fn sin(nω0t + β n ) n =1 a0 = F0 ; = Fn an2 + bn2 bn an ; βn = αn = −arctg arctg an bn 1.5 Các dạng khác chuỗi Fourier Chuỗi Fourier dạng mũ phức f (t ) = +∞ ∑C n = −∞ Các hệ số khai triển phức • • n e jnω0t T − jnω0t Cn = ∫ f (t )e dt T −T • Quan hệ với hệ số khai triển lượng giác khai triển hài Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 a0 C= F= n • an − jbn Fn = ∠α n C= n 2 • ∗ an + jbn Fn = ∠ − α= C−= Cn n n 2 1.5 Các dạng khác chuỗi Fourier Định nghĩa trị hiệu dụng Đẳng thức Parseval x(t ) = +∞ ∑ n = −∞ +∞ y (t ) = ∑ m = −∞ f (t ) = T (t )dt = f ∫ T FRMS • X n e jnω0t • Ym e jmω0t +∞ • ∑C n e jnω0t n = −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 +∞ T x(= t ) y (t )dt ∫ T = FRMS • n • ∗ = ∑ Cn Cn n = −∞ +∞ • ∗ n Xn • = X Y ∑ ∑Y n = −∞ +∞ ∗ n n = −∞ +∞ ∑ n = −∞ Cn 1.5 Các dạng khác chuỗi Fourier Trị hiệu dụng f(t) F = RMS T (t )dt = f ∫ T0 +∞ • ∑C n = −∞ n +∞ f (t ) = F0 + ∑ Fn cos(nω0t + α n ) n =1 +∞ f (t ) = F0 + ∑ Fn sin(nω0t + β n ) F= RMS +∞ F02 + ∑ Fn2 n =1 n =1 a0 +∞ a02 +∞ 2 + ∑ ( an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t ) ) FRMS = + ∑ (an + bn ) f (t ) = n=1 n =1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 1.5 Các dạng khác chuỗi Fourier Phổ biên độ hàm f(t) Hàm f(t) có khai triển phức f (t ) = +∞ • jnω0t C e n ∑ n = −∞ • C= Cn ∠α n n Có tần số ω0 = 2π/T Các họa tần (hài) ωn = nω0 = 2nπ/T Định nghĩa : Phổ biên độ chuỗi Fourier mũ phức hàm tuần hoàn f(t) đồ thị điểm (nω0, |Cn|) Phổ biên độ gọi phổ tần số hay tần phổ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 Ví dụ phổ biên độ Khai triển lượng giác f (t ) = +∞ ∑ n =1 n k +1) (= f(t) A 4A sin(nω0t ) nπ Và khai triển phức Cn Phổ biên độ -T/2 -5 -3 -1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 +∞ ∑ f (t ) = n = −∞ (= n k +1) 2A/π T/2 T t -A 2A/3π -7 2A/5π A jnω0t e −j nπ 2A/7π ω ω0 10 Tổng kết : Khai triển Fourier Khai triển Fourier lượng giác a0 +∞ + ∑ [ an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t ) ] f (t ) = n =1 T /2 a0 = f (t )dt ∫ T −T /2 Hàm số chẵn : f (t ) = f (−t ) → bn = an = f (t ) cos(nω0t )dt ∫ T −T /2 Hàm số lẻ : T /2 f (t ) =− f (−t ) → a0 =an =0 ( ) sin( ) bn = f t n t dt ω ∫ T −T /2 T /2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 11 Hàm số chẵn f (t ) = f (−t ) → bn = a0 +∞ ) + ∑ an cos(nω0t ) f (t= n =1 a0 = T T /2 an = T T /2 ∫ f (t )dt ∫ f (t ) cos(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 12 Hàm số lẻ f (t ) =− f (−t ) → a0 =an =0 +∞ f (t ) = ∑ bn sin(nω0t ) n =1 bn = T T /2 ∫ f (t ) sin(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 13 Hàm bán sóng T f (t ) = − f (t ± ) +∞ f (t ) ∑ [a n =1 n = k +1 an = T T /2 bn = T T /2 ∫ n cos(nω0t ) + bn sin(nω0t ) ] f (t ) cos(nω0t )dt (n = 2k + 1) f (t ) sin(nω0t )dt (n = 2k + 1) ∫ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 14