Slide 1 Phần 2 Toán tử Laplace Phép biến đổi Lapalace Phép biến đổi Lapalace ngược Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện Bài giảng Toán Kỹ Th[.]
Phần Toán tử Laplace Phép biến đổi Lapalace Phép biến đổi Lapalace ngược Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2014 Từ Fourier đến Laplace Một số hàm đặc biệt có tích phân vơ hạn phân kỳ (t→∞) t Hàm phụ g(t) với thừa số hội tụ e-at G (ω ) +∞ +∞ 0 − jωt = g ( t ) e dt ∫ ∫ f (t )e − ( a + jω ) t dt at at −1 (ω )} = f (t ) e= g (t ) e F {G= 2π f (t ) f (t ) = 2π +∞ ∫ F (a + jω )e( a + jω ) t d ω −∞ +∞ ( a + jω ) t ( ) G ω e dω ∫ −∞ d (a + jω ) ds s =a + jω → d ω = = j j ω = ±∞ → s = a ± j∞ +∞ a + j∞ ∫ 2π j a − j∞ F ( s )e st ds Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 F (s) = ∫ − st f (t )e dt Chương Phép biến đổi Laplace Định nghĩa f(t) hàm (có thể phức) biến số thực t (t ≥ 0) cho tích phân hội tụ với số phức s = a + jb Ảnh hàm f(t) qua biến đổi Laplace hàm F(s) định nghĩa +∞ = F ( s ) L= { f (t )} ∫ f (t )e− st d t 0− F(s) : ảnh Laplace f(t) : gốc Ký hiệu khác F ( s ) f (t ) hay f (t ) F (s) Lưu ý phạm vi giáo trình ta xét giá trị s khoảng tích phân hội tụ Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2014 Biến đổi Laplace số hàm thông dụng Hàm bước (nấc thang) đơn vị : u(t) u (t ) 0 t < u (t ) = 1 t > t +∞ +∞ − st +∞ e F ( s ) ∫ u (t )e= dt ∫ e= dt = = −s s 0− 0+ − st L {u (t )} = s Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 − st Miền hội tụ Re{S} > Biến đổi Laplace số hàm thông dụng Hàm dirac : δ(t) δ (t ) ∞ t = δ (t ) = 0 t ≠ d δ (t ) = u (t ) dt t F (s) = +∞ +∞ 0− 0− − st δ ( t ) e dt = ∫ δ ( t ) e dt = ∫ L {δ (t )} = Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 Biến đổi Laplace số hàm thông dụng Hàm mũ : e-at (a > 0) − at f (t ) = e u (t ) Sau viết f(t)=e-at ẩn u(t) +∞ F (s) +∞ − ( s+a )t +∞ e u (t )e dt ∫= e dt = ∫− e = s+a −( s + a ) 0 0+ − at − st − ( s+a )t L {e } = s+a − at Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 Miền hội tụ Re{S} > -a Biến đổi Laplace số hàm thông dụng Hàm lượng giác : f1(t) = cos(at) s L {cos(at )} = s + a2 Miền hội tụ Re{S} > Hàm lượng giác : f2(t) = sin(at) a L {sin(at )} = s + a2 Miền hội tụ Re{S} > Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 Biến đổi Laplace số hàm thông dụng Hàm lũy thừa : f(t) = tn (n = 0,1, 2, 3, … ) n − st +∞ +∞ t e n − st F (s) = ∫0 t e dt = −s +∞ +∞ − st e n n−1 − st n −1 dt = t e dt − ∫ nt ∫ s −s n n (n − 1) n −1 n−2 L L ⇒ L {t = = t t } s { } s s { } n (n − 1) (n − 2) n! n −3 = L {t }= = n L {t } s s s s n n! L {t } = n+1 s n Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 Miền hội tụ Re{S} > Biến đổi Laplace số hàm thông dụng f(t) u (t ) δ (t ) e − at cos(at ) sin(at ) t n Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 F(s) s 1 s+a s s2 + a2 a s2 + a2 n! s n+1 Miền hội tụ Re {s} > Re {s} > −a Re {s} > Re {s} > Re {s} > Các tính chất phép biến đổi Laplace Tính tuyến tính ◦= Nếu F2 ( s ) L { f1 (t )} F= ( s ) ; L { f (t )} L {a1 f1 (t ) + a2 f (t )} =a1 F1 ( s ) + a2 F2 ( s ) ◦ Thì (a1 , a2 : số) L {a1 f1 (t ) + a2 f (t )} = +∞ − st a f ( t ) + a f ( t ) e ) dt 2 ∫( 1 0− +∞ +∞ − 0− − st = a f ( t ) e dt + ∫ 11 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 ∫ a2 f (t )e − st dt = a1 F1 ( s ) + a2 F2 ( s ) 10 Ví dụ Cho f(t) hình vẽ tìm biến đổi Laplace f ”(t) 0 t f (t ) = −2t + 0 f (t ) d f (t ) dt t f (t = ) t [u (t ) − u (t − 2) ] + (−2t + 6) [u (t − 2) − u (t − 3) ] t -2 d f (t ) dt 2 t