Slide 1 Phần 2 Toán tử Laplace Phép biến đổi Lapalace Phép biến đổi Lapalace ngược Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện Toán Kỹ Thuật 2014 1[.]
Phần Toán tử Laplace Phép biến đổi Lapalace Phép biến đổi Lapalace ngược Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện Tốn Kỹ Thuật 2014 Chương Ứng dụng biến đổi Laplace vào PTVP Phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số an y ( n ) (t ) + an−1 y ( n−1) (t ) + + a1 y '(t ) + a0 y (t ) = f (t ) Điều kiện đầu (sơ kiện) y(0) y’(0) y”(0) …… y= (t ) ytựdo + ycưỡng = y (t ) yquáđộ + y xáclập Nghiệm (riêng, tổng quát) = y (t ) yzero_input + yzero_state y(n-1)(0) Giải trực tiếp → không dễ !! Toán K ỹ Thuật 2014 Dùng biến đổi Laplace Qui trình Phương trình vi phân biến t Biến đổi Lapalce thuận Phương trình đại số biến s Toán K ỹ Thuật 2014 Nghiệm y(t) Biến đổi Lapalce ngược Nghiệm Y(S) Ví dụ : Giải phương trình vi phân Cho y "+ y = t Tìm y(t) Cho biết y(0)=1 ; y’(0)=2 Qui ước ký hiệu Miền t : x, y, z… thay cho x(t), y(t), z(t)… Miền S : X, Y, Z… thay cho X(s), Y(s), Z(s)… Giải L { y} Y= ; L {t} s − − L { y "}= s Y − sy (0 ) − y '(0 )= s Y − s − s+2 ⇒ ( s + 1)Y − s − =2 ⇒ = Y + 2 s s + s ( s + 1) s +1 → y (t ) = t + cos t + sin t ⇒Y = + s s +1 Tốn K ỹ Thuật 2014 Ví dụ : Giải phương trình vi phân 1 t ∈ [0,1] y "+ y = f (t ) = 0 t ∉ [0,1] Cho biết y(0)=0 ; y’(0)=1 Tìm nghiệm riêng y(t) Giải f (t ) = u (t ) − u (t − 1) Biến đổi Laplace cho vế −s −s − e e − s Y − + 4Y = Y ⇒ = + 1 s s + s − e− s 1 = ⇒Y − − + s s − j2 s + j2 s + y (t ) ( − 2cos 2t ) u (t ) − ( − 2cos 2(t − 1) ) u (t − 1) + sin 2t u (t ) Toán K ỹ Thuật 2014 Ví dụ : Giải phương trình vi phân y "+ y '+ y = f '+ f Cho biết y(0-)=2 ; y’(0-)=1 Tìm y(t) f (t ) = e −4t u (t ) Giải s ( s Y − s − 1) + 5( sY − 2) + 6Y = + s+4 s+4 s + ⇒ Y ( s + 5s + 6)= + s + 11 s+4 s + 20 s + 45 s + 20 s + 45 ⇒Y = ( s + 5s + 6)( s + 4) ( s + 2)( s + 3)( s + 4) 3/ 3/ ⇒Y = − − s+2 s+3 s+4 → y (t )= Toán K ỹ Thuật 2014 ( 13 −2 t −3t e − 3e − e −4 t ) u(t ) Ví dụ : Giải phương trình vi phân y "+ y '+ y = f '+ f Cho biết y(0-)=2 ; y’(0-)=1 Tìm yzero_input ; yzero_state f (t ) = e −4t u (t ) Giải ( s 2Y − s − 1) + 5( sY − 2) + 6Y = ⇒ Y ( s + 5s + = 6) Do f(t) s + s+4 s+4 s +1 + s + 11 s+4 Do sơ kiện Nghiệm zero_state nghiệm gây tác động f(t) Nghiệm zero_input nghiệm sơ kiện Tốn K ỹ Thuật 2014 Ví dụ : Giải phương trình vi phân ⇒ Y ( s + 5s + = 6) s +1 + s + 11 s+4 Do f(t) Do sơ kiện s +1 s + 11 ⇒Y + 2 ( s + 4)( s + 5s + 6) s + 5s + 3/ 1/ ⇒ Y = − + − − + s +2 s +3 s +4 s +2 s +3 y (t ) = (− e −2 t + 2e − e yzero_state Toán K ỹ Thuật 2014 −3t −4 t ) u(t ) + ( 7e −2 t − 5e −3t ) u(t ) yzero_input Ví dụ : Giải phương trình vi phân y "+ y '+ y = f '+ f Tìm nghiệm tổng quát y(t) f (t ) = e −4t u (t ) Trường hợp khơng có sơ kiện Đặt y(0-)=A ; y’(0-)=B s ( s Y − As − B ) + 5( sY − A) + 6Y= + s+4 s+4 Giải s + As + Cs + D ⇒ Y ( s + 5s + 6) = + As + A + B = s+4 s+4 k3 k1 k2 As + Cs + D ⇒ Y= = + + ( s + 2)( s + 3)( s + 4) s + s + s + → y (t ) = ( k1e−2t + k2 e−3t + k3e−4t ) u (t ) Toán K ỹ Thuật 2014 Giải hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân cấp x(0) = x0 Điều kiện đầu y (0) = y0 x ' Ax + By = y ' Cx + Dy = sX − x0 = AX + BY sY − y0 = CX + DY Biến đổi Laplace Biến đổi Laplace ngược X (s) → Y ( s ) x(t ) = L −1 { X ( s )} −1 y (t ) = L {Y ( s )} Toán K ỹ Thuật 2014 10 Ví dụ x=' x − y Giải hệ: y =' y − x Biến đổi Laplace x(0) = Biết: y (0) = Giải sX − 8= X − 3Y sY − = Y − X = X s + + s − Giải miền s = − Y s +1 s − Biến đổi ngược Toán K ỹ Thuật 2014 x= (t ) 5e − t + 3e 4t (t ) 5e − t − 2e 4t y= 11