TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 3 1

Phần II: Toán Tử Laplace Nội dung phần II: Phần gồm có chương Chương 3: Phép Biến đởi Laplace thuận Chương 4: Phép Biến đổi Laplace ngược Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào ODE Chương 6: Ứng dụng biến đổi Laplace vào giải tích mạch Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Chapter 3: Biến đổi Laplace (Laplace Transform) Chương 3: Nội dung 3.1 Định nghĩa biến đổi Laplace 3.2 Tính chất của biến đổi Laplace 3.3 Biến đổi Laplace của các hàm bản 3.4 Bảng tra gốc – ảnh Laplace 3.5 Các phương pháp tìm biến đổi Laplace 3.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi Laplace Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3.1 Định nghĩa biến đổi Laplace a) Định nghĩa biến đổi Laplace thuận:  Biến đổi Laplace của hàm f(t), ký hiệu F(s), còn gọi ảnh Laplace của f(t), xác định theo:  F(s)  L{f(t)}   f (t).e dt  st Với s mợt sớ phức , có dạng : s =  + j  Tích phân cận ∞ nên biến đổi Laplace tích phân đặc biệt Nếu dùng tích phân tính F(s) thì ta theo nguyên tắc:   T f (t).e dt  lim  f (t).e dt  st  st T   Có khái niệm điều kiện của s để biến đổi tồn tại Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM b) Nhận xét biến đổi Laplace: i Laplace Transform = mapping f(t) F(s) time-domain s-domain ii Determine causal signal f(t).u(t) f(t) iii Can take lower limit as 0–  sudden change at t =  F(s)  L{f(t)}    f (t).e dt  st Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 3.1.1: Tìm biến đổi Laplace Unit Step Function u(t) or 1(t) : 1  for : t  u (t )   0  for : t   T  st T e  sT L{u(t)}   e dt  lim  e dt  lim  (1  lim e ) T  T   s T  s 0  st L{u(t)}  s  st (Miền hội tụ Re(s) > 0) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM EX3.1.2: Tìm biến đổi Laplace (t)  Impulse or Delta or Dirac Function (t) :   for : t   (t )   0  for : t  0  Xét biến đổi Laplace của (t – t0) :  L{ (t-t )}    (t  t0 )e dt  e  st  st0    (t  t )dt  e  st0 0  Vậy biến đổi Laplace của (t – t0) : L{ (t  t )}  e st (Hội tụ với mọi s)  Và biến đổi Laplace của (t) : Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM L{ (t)}  3.2 Các tính chất của biến đổi Laplace 1) Multiplication by a constant: If: Then: L{f(t)}  F(s) L{k.f(t)}  k.F(s) Example: Find the Laplace Transform of f(t)  2u(t ) ? Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2) Addition / Subtraction: If: L{f1 (t)}  F1 (s) and L{f (t)}  F2 (s) Then: L{f1 (t)  f (t) }  F1 (s)  F2 (s) Example: Find the Laplace Transform of : L{2(t)   4u(t) }      s Lưu ý: L{3}  L{3.u(t)}  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM s s s 10  EX1: Mô tả hàm dùng MATLAB % Description: This m-file demonstrates how to plot the combination signal % y(t)=(2t)[u(t)-u(t-1)] + (-2t+4)[u(t-1)-u(t-3)] + (2t-8)[u(t-3)-u(t-4)] clear; clf; t = -1:0.01:5; ft = (2*t).*((t>=0)-(t>=1)) + (-2*t+4).*((t>=1)-(t>=3)) + (2*t-8).*((t>=3)(t>=4)); plot(t,ft,'r'); grid; xlabel('t '); ylabel('f(t)'); Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33  EX2: Mô tả hàm dùng MATLAB % Description: This m-file demonstrates how to plot the combination signal % x(t) = -2(t +1)/3 (khi -1 < t =-1)&(t2)&(t 0: f(t)  f1 (t)  f (t)  f3 (t)   f1 (t)  f1 (t  T)u(t  T)  f1 (t  2T)u(t  2T)  F(s)  F1 (s)  F1 (s).esT  F1 (s).es2T  f(t) t F1(s) = Laplace Transform over first period only Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2T 3T A periodic function f1(t) F1 (s) Then: F(s)   sT 1 e T t T f2(t) t T 2T f3(t) t 2T 3T Decomposition of f(t) 35 3.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi Laplace: EX1: Find F(s) if f(t) = 12 V ? syms t x s; ft = sym('12'); Fs = laplace(ft); simple(Fs); 12/s EX2: Find F(s) if f(t) = 12cos(3t + /4) V ? syms t x s; ft = sym('12*cos(3*t + pi/4)'); Fs = laplace(ft); simple(Fs); 12*(1/2*s*2^(1/2)-3/2*2^(1/2))/(s^2+9) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 36 3.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi Laplace: EX3: Find F(s) if f(t) = 4t2 + e–2t.cos(3t) ? syms t x s; ft = sym('4*t^2+exp(-2*t)*cos(3*t)'); Fs = laplace(ft); simple(Fs); 8/s^3+(s+2)/((s+2)^2+9) EX4: Find F(s) if f(t) = 4[u(t) – u(t – 1)] + 2(t) ? syms s t ; ft = sym('4*(Heaviside(t)-Heaviside(t-1)) + 2*Dirac(t)'); Fs = laplace(ft); simple(Fs); 2+(4-4*exp(-s))/s Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37 VD 3.6.1: Tìm ảnh Laplace hàm: a f(t) = u(t) e F(s) = (E/s).e-st0 F(s) = 1/s b f(t) = u(t – t0) F (s)  c d f(t) = E.u(t-t0) f  st0 e s f(t) = Asin(t)  F ( s)  A s  2 f(t) = Asin(t +) (AC) f(t) = E (nguồn DC) g F(s) = E/s s    F ( s)  A  cos(  )  sin(  )  s2   s  f(t) = E.e-at F(s) = E/(s+a) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM h f(t) = At + B F(s) = A/s2 + B/s 38 VD 3.6.2: Tìm ảnh Laplace hàm: a) f(t) = e-2t.cos(3t).u(t) b) f(t) = 2t.u(t) + 5e-3(t-2).u(t-2) ( s  2) F(s)  ( s  2)2  1 F(s)   e2 s s ( s  3) 2e-(t-1).u(t) 2e F(s)  ( s  1) d) f(t) = (t + 4).u(t) F(s)   s s c) f(t) = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39 VD 3.6.2: Tìm ảnh Laplace haøm: e) f) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 40 VD 3.6.3: Tìm ảnh Laplace hàm (t): 3a Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41 VD 3.6.4: Ảnh Laplace hàm xung 4a 4b f(t)  E[u(t )  u(t  T )] E f(t)  t[u (t )  u (t  T )] T E E f (t )  t.u(t )  (t  T ).u(t  T )  E.u(t  T ) T T E  sT F ( s)  1  e  s E E  sT  sT F ( s)  1 e   e  Ts s Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 42 VD 3.6.4: Ảnh Laplace hàm xung c) f(t) = 10 t(s) 10  20e s  10e2 s F(s)  s -10 d) f(t) = t(s) F(s)  1  e s  e3s  e4 s  s syms s t ; ft = sym('(2*t)*(Heaviside(t)-Heaviside(t-1))+2*(Heaviside(t-1)Heaviside(t-3))+(-2*t+8)*(Heaviside(t-3)-Heaviside(t-4))'); Fs = laplace(ft); simple(Fs); (2-2*exp(-s)-2*exp(-3*s)+2*exp(-4*s))/s^2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43 VD 3.6.4: Ảnh Laplace hàm xung e) f(t) = 10 t(s) f) f(t) = 10 2 s 3s F(s)   e  e  s 10 t(s) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2 s 4 s  F(s)  2  e  e  s 44 VD 3.6.4: Ảnh Laplace haøm xung g) h) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45 VD 3.6.4: Ảnh Laplace hàm xung i) j) k) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 46 VD 3.6.5: Ảnh Laplace hàm tuần hoaøn a) f(t) = 10 b) f(t) = … t(s) 10 … t(s) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM F(s)  F(s)  11  e2 s  s 1  e5 s  1  e2 s  s 1  e4 s  47