Slide 1 Phần 2 Toán tử Laplace Phép biến đổi Lapalace Phép biến đổi Lapalace ngược Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện Toán Kỹ Thuật 2014 1[.]
Phần Toán tử Laplace Phép biến đổi Lapalace Phép biến đổi Lapalace ngược Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện Tốn Kỹ Thuật 2014 Chương Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa −1 f (t ) L= = {F ( s)} a + j∞ 2π j a −∫j∞ F ( s )e st d s F(s) : ảnh Laplace f(t) : gốc Định lý Lerch cặp biến đổi f(t) ↔ F(s) Tính trực tiếp → khó !! Đơn giản Dùng bảng tra cặp gốc ảnh thơng dụng Tính chất phép biến đổi Laplace Toán K ỹ Thuật 2014 Các tính chất phép biến đổi Laplace L −1 {a1F1 ( s) + a2 F2 ( s)} L {F ( s + a)} Tính dời theo t L = a1 f1 (t ) + a2 f (t ) Tính dời theo s −1 (a1 , a2 : số) Tính tuyến tính −1 {e − st0 = e− at f (t ) } (a : số thực) F ( s) = f (t − t0 ).u (t − t0 ) (t0 > 0) Tính đổi thang đo (đồng dạng) L −1 Tốn K ỹ Thuật 2014 t {F (as)} = f a a ( a > 0) Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược cho hàm sau 3s F ( s= ) − s s +4 ( s ) 4e G= −2 s + s+3 H (s) = 4s + Toán K ỹ Thuật 2014 2t f (= t) − 3cos 2t 3! g (t )= 4δ (t − 2) + 2e −3t t h(t ) = sin Các tính chất phép biến đổi Laplace Laplace ngược đạo hàm ảnh F(s) (nhân gốc cho tn ) L −1 F ( n) ( s ) = (−1)n t n f (t ) { L −1 {F ( s )} = Ví dụ s +1 F ( s ) = ln s −1 } L −1 {F ( n) ( s )} (−1) n t n 1 → F '( s ) = − s +1 s −1 → L −1 { F '( s )} = e − t − et = −2sinh t −1 L F '( s )} { sinh t −1 f (t ) L { F= ( s )} →= = t −t Toán K ỹ Thuật 2014 Các tính chất phép biến đổi Laplace Laplace ngược tích phân ảnh F(s) (chia gốc cho t ) +∞ f (t ) −1 L ∫ F ( x ) dx = t s +∞ −1 −1 L { F ( s)} = t L ∫ F ( s ) ds s Ví dụ F ( s ) = +∞ +∞ s ( s − 1) +∞ xdx −1 = = ∫s ∫s ( x − 1)2 2( x − 1) 2(s − 1) s 1 t sinh t −1 −1 → L = sinh t f (t ) L { F= ( s )} →= − 2( s 1) → F ( x)dx = Toán K ỹ Thuật 2014 Các tính chất phép biến đổi Laplace Tích chập (Convolution) L {F ( s)G ( s)} = −1 t f (t ) ∗ g (t ) = ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ Ví dụ : tìm L −1 Giải s ( s + 2) t 1 −2 t −1 −2( t −τ ) (t ) ; L −1 e L −1 u= ∫ u (τ )e dτ →L = s s + 2 s ( s + 2) f (= t) Toán K ỹ Thuật 2014 e −2( t −τ ) t = 2(1 − e −2t ) Các tính chất phép biến đổi Laplace Nhân cho sn (đạo hàm gốc f(t) ) ◦ Nếu ◦ Thì ◦ Hay f (0− )= f '(0− )= = f ( n −1) (0− )= L −1 {s F (s)} n =f n d L −1 {G ( s)} = n dt (n) L (t ) −1 G (s) n s Chia cho sn (tích phân gốc f(t) ) t t t F s ( ) −1 L n = ∫ ∫ ∫ f (t )dt n s 0 0− L −1 {G ( s)} Toán K ỹ Thuật 2014 t t t 0 0− = ∫ ∫ ∫ L −1 {s nG ( s )} d nt Biến đổi ngược cho hàm hữu tỷ Hàm hữu tỷ P ( s ) bm s m + bm−1s m−1 + + b1s + b0 (s) = F= Q( s) s n + an−1s n−1 + + a1s + a0 P( s) F (s) = ( s − s1 )( s − s2 ) ( s − sn ) ( m < n) Nghiệm đơn kn k1 k2 F= (s) + + + ( s − s1 ) ( s − s2 ) ( s − sn ) Nghiệm bội n−r a0 ki a1 a2 ar −1 F (s) = + + + + +∑ r r −1 r −2 ( s − s0 ) ( s − s0 ) ( s − s0 ) ( s − s0 ) i =1 ( s − si ) Toán K ỹ Thuật 2014 Biến đổi ngược cho hàm hữu tỷ Phương pháp hàm tường minh (Clearing Fraction) k3 k1 k2 s2 − s2 − → F (s) = = + + F (s) = s ( s + 1)( s + 2) s s + s + s + 3s + s s − 2= k1 ( s + 1)( s + 2) + k2 s ( s + 2) + k3 s ( s + 1) s2 → k1 + k2 + k3 = s → 3k1 + 2k2 + k3 = s0 → 2k1 = −2 1 F ( s ) =− + + s s +1 s + f (t ) = L Toán K ỹ Thuật 2014 {F ( s)} = (−1 + e −1 −t −2 t + e )u (t ) 10 Biến đổi ngược cho hàm hữu tỷ Phương pháp Heviside (Heviside Cover up) s − 2s − s − 2s − F (s) = → F (s) = ( s + 1)( s + s + 5) ( s + 1)( s + + j 2)( s + − j 2) A Bs + C → F (s) = + s + s + 2s + (−1) − 2(−1) − → A= = −1 (−1) + 2(−1) + Làm tắt (Short Cuts) tìm B & C s − 2s − F (0) = ( s + 1)( s + s + 5) s =0 −7 A C = =+ → C= −2 5 s ( s − s − 7) lim ( sF ( s ) ) =lim =1 =A + B → B =2 s →+∞ s →+∞ ( s + 1)( s + s + 5) Toán K ỹ Thuật 2014 14 Biến đổi ngược cho hàm hữu tỷ Phương pháp Heviside (Heviside Cover up) Nghiệm đơn P( s) kn k1 k2 ( s − si ) F ( s ) s = s = ki = F= + + + ( s) i Q '( s ) s = si ( s − s1 ) ( s − s2 ) ( s − sn ) Nghiệm bội n−r a0 ki a1 a2 ar −1 = F (s) + + + + +∑ r r −1 r −2 ( s − s0 ) ( s − s0 ) ( s − s0 ) ( s − s0 ) i =1 ( s − si ) r a= ( s − s ) F ( s) 0 s = s0 i d d r r a ( s s ) F ( s) ) = − a1 s s F s = ( − ) ( ) ( ) → i i ! ds i ( 0 ds s = s0 s=s Toán K ỹ Thuật 2014 15 Biến đổi ngược cho hàm hữu tỷ Phương pháp Heviside (Heviside Cover up) s + 16 s + 23s + 13 F (s) = ( s + 1)3 ( s + 2) a0 a1 a2 k → F ( s= ) + + + ( s + 1) ( s + 1) s +1 s + k s + 16 s + 23s + 13 = ( s + 1) ( s + 2) S =−2 a0 s + 16 s + 23s + 13 = ( s + 1) ( s + 2) S =−1 a1 d s + 16 s + 23s + 13 = ( s + 1) ( s + 2) ds S =−1 a2 d s + 16 s + 23s + 13 = 2! ds ( s + 1) ( s + 2) S =−1 Toán K ỹ Thuật 2014 16 Biến đổi ngược cho hàm hữu tỷ Phương pháp hỗn hợp (Hybrid Method) s + 16 s + 23s + 13 F (s) = ( s + 1)3 ( s + 2) a1 a2 → F ( s= ) + + + ( s + 1) ( s + 1) s +1 s + ( s + 1)3 ( s + 2) F ( s) = = 4s + 16s + 23s + 13 = 2( s + 2) + a1 ( s + 1)( s + 2) + a2 ( s + 1) ( s + 2) + ( s + 1)3 s3 → a2 + = → a2 = 13 F (0) = = + a1 + + → a1 = 2 Toán K ỹ Thuật 2014 17 Biến đổi ngược cho hàm hữu tỷ Hàm hữu tỷ P ( s ) bm s m + bm−1s m−1 + + b1s + b0 (s) = F= Q( s) s n + an−1s n−1 + + a1s + a0 ( m < n) Nghiệm đơn (thực) n ki −1 F (s) = ∑ = f (t ) L= {F ( s)} i =1 ( s − si ) n ∑k e i =1 sit i Nghiệm đơn (có cặp phức liên hiệp s1,2 =−α ± j β ) n n ki F (s) = ∑ = f (t ) Re k1e s1t + ∑ ki e sit i =1 ( s − si ) i =3 { ∗ k1 = k = k ∠ϕ Toán K ỹ Thuật 2014 } s1 =−α + j β 18 Biến đổi ngược cho hàm hữu tỷ Ví dụ s − 2s − s − 2s − F (s) = → F (s) = ( s + 1)( s + s + 5) ( s + 1)( s + + j 2)( s + − j 2) −1 1+ j 1− j F (s) = + + s +1 s +1− j2 s +1+ j2 f (t ) = L −1{ F ( s )} = −e − t + Re { 2∠450 e( −1+ j 2) t } e − t + 2 e −t cos(2t + 450 ) u (t ) f (t ) =− f (t = ) e − t (−1 + 2cos 2t − 2sin 2t ) Toán K ỹ Thuật 2014 19 Biến đổi ngược cho hàm hữu tỷ Hàm hữu tỷ P ( s ) bm s m + bm−1s m−1 + + b1s + b0 (s) = F= Q( s) s n + an−1s n−1 + + a1s + a0 ( m < n) Nghiệm bội n−r a0 ki a1 a2 ar −1 = F (s) + + + + +∑ r r −1 r −2 ( s − s0 ) ( s − s0 ) ( s − s0 ) ( s − s0 ) i =1 ( s − si ) n−r a0 r −1 a1 a f (t ) t + t r −2 + + r −1 t e s0t + ∑ ki e sit (r − 2)! 0! i =1 (r − 1)! Toán K ỹ Thuật 2014 20