TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 7 1

Phần III : Hàm Phức và Ứng dụng Nội dung phần III: Phần này gồm có chương Chương 7: Hàm giải tích Chương 8: Tích phân phức Chương 9: Chuổi hàm phức Chương 10: Lý thuyết thặng dư Chương 11: Ứng dụng lý thuyết thặng dư Chương 12: Phép biến đởi bảo giác Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Chapter 7: Hàm giải tích (Analytic Function) Chương 7: Nội dung 7.1 Hàm phức 7.2 Giới hạn và liên tục 7.3 Đạo hàm của hàm phức 7.4 Điều kiện Cauchy – Riemann 7.5 Hàm phức giải tích và tính chất 7.6 Các hàm phức bản Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7.1 Hàm phức (Complex Function) a) Định nghĩa: Hàm phức (hay Function of a complex variable ) w = f(z) : là ánh xạ cho phép gán một số phức z miền D mp phức đến một số phức w = f(z) miền D’ cũng mp phức  Miền D của hàm phức là tập tất cả số phức z để hàm phức f(z) là xác định được  Ví dụ: w = f(z) = z2 – (2+j)z định nghĩa một hàm phức b) Phân loại hàm phức: Đơn trị: w = f(z) = z2 Đa trị: w = f(z) = sqrt(z) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  Một số khái niệm tập số phức thông dụng: i Đường tròn tâm z0, bán kính R:  Ký hiệu: C(z0 ,R)  z : z  z  R  Tập hợp điểm nằm đường tròn tâm z0, bán kính R Chúng thỏa phương trình : |z – z0| = R R z0  Chiều dương qui ước là CCW  Đường tròn đơn vị: tâm O, bán kính 1, ký hiệu |z| =  Ví dụ: Minh họa đường tròn C: |z – – j3| = mặt phẳng phức ? Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM ii Đĩa hở tâm z0, bán kính r:  Ký hiệu: D(z0 , r )  z : z  z0  r   Tập hợp điểm bên hình tròn tâm z0, bán kính r (không tính biên)  Nếu r là sớ dương vơ cùng bé  nào đó, ta có định nghĩa về miền lân cận của sớ phức z0 : một khái niệm quan trọng  Nếu khơng xét tâm z0, ta có đĩa hở vơ tâm, ký hiệu: D '(z0 , r )  z :  z  z0  r   Nếu xét cả biên, ta có đĩa kín hình, ký hiệu: D(z0 , r )  z : z  z0  r  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM r z0 (Đĩa hở) r z0 (Đĩa kín) iii Vành khăn hở tâm z0, bán kính r1 & r2:  Ký hiệu: A(z0 , r1 , r2 )  z : r1  z  z0  r2   Tập hợp điểm giữa hai đường tròn tâm z0, bán kính r1 và r2 (khơng tính biên) Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM r1 z0 r2 iv Nửa mặt phẳng: Nửa mặt phẳng phải: Tập hợp điểm nằm bên phải đường thẳng z = a z : a  Re(z) a (Nửa mặt phẳng phải) Nửa mặt phẳng trái: Tập hợp điểm nằm bên trái đường thẳng z = a z : Re(z)  a a (Nửa mặt phẳng trái) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM v Dải vô hạn: Dải ngang: Tập hợp điểm nằm giữa hai đường thẳng z = ja và z = jb z : a  I m(z)  b jb ja (Dải ngang) Dải dọc: Tập hợp điểm nằm giữa hai đường thẳng z = a và z = b z : a  Re(z)  b a (Dải dọc) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM b 10 5) Hàm Hyperbol phức : a) Định nghĩa: ez  ez ez  ez cosh z  ,sinh z  2 sinhz cosh z 1 tanhz  ;coth z  ;sechz  ;cosechz  coshz sinh z coshz sinhz b) Tính chất: i coshz và sinhz giải tích khắp nơi ii (coshz)’ = sinhz và (sinhz)’ = coshz iii (coshz)2 – (sinhz)2 = iv cosh(a ± b) = cosha.coshb ± sinha.sinhb và cosh(jy) = cosy v sinh(a ± b) = sinha.coshb ± cosha.sinhb và sinh(jy) = jsiny Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 55  VD 7.6.3: Compute using Casio a) cosh(j5)   b) sinh(j 3 )  e j5 e j5  1515 e j3  / e j3  / 2 c) sinh(1  j/2)   e1 j / e1 j / 2  0.2837  j j   j j[ee1 ]  j1.5431  j[  k2] d) sinh(z)  j  z   Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 56 6) Hàm Logarit phức : a) Định nghĩa: w  ln z  ln r  j(  2n) (–π <  ≤ π) b) Tính chất: (H 7.2) và (H 7.3)  Đây là hàm đa trị y r v  + 2π z   x H 7.2  Trị chính (principal value):  Đạo hàm:  Và: H 7.3 w2 w1 ln(r) u Ln(z)  lnr  jθ  ln(z)  '  1/ z ln(z1z2 )  ln z1  ln z2 ln(z1 / z2 )  lnz1  lnz2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 57  VD 7.6.4: Compute using Casio a) Ln(j)  Ln(1 / 2)  ln1  j /  j / b) Ln(  1)  Ln(1)  ln1  j  j c) Ln(  j2)     Ln(2  )  ln  j  0.6931  j1.57  ln  j(  2n) d) e  2  z  z Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 58 7) Hàm lũy thừa tổng quát : a) Định nghĩa: wz e s s.ln(z) b) Tính chất: (H 7.5) và (H 7.6)  Đây là hàm đa trị (vô số trị trả về) w  z s   e   e s ln z [  ln r  (  2n )] e  n e e (  j )[ln r  j(  2n )] j[  ln r  (  2n )] jn  Trị chính (principal value): z e Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM s s.Ln(z) 59  Biểu diễn ánh xạ: s s ln z wz e H7.5 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM H7.6 60 c) Tính chất của dãy {n}: n  e  ln r  e 2n  o (e 2 n )  o q  {n} là Cấp số nhân với Công bội q  e n 2 d)Tính chất của dãy {n} : n   ln r    2n  o  n(2)  o  np  n  là Cấp số cộng với Cơng sai Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM p  2 61 e) Vị trí của dãy điểm {wn}: (H7.7) và (H7.8) Ta có nhiều trường hợp tùy theo ( < 0,  = 0,  > 0;  < 0,  = 0,  > 0)   0(q  1) (and )   0( p  0) H 7.7 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM   0(q  1) (and )   0( p  0) H 7.8 62  VD 7.6.5: Compute using Casio a) j  e j e 2+j b) jln( j) e jln(1 2)  (  2 k  ) e  e (2 j) ln(3) e (2 ln 3 k  )  e e ;e j[ j(  2 k  )] 5  ;e 9  (2  j)(ln 3 jk  ) (ln  k4) j2(ln1) j2( jk ) k  c)  e e e j2 j4(ln(  j)) d) (  j)  e e j4 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM  j4( j(   k  )) e k8  63 8) Hàm lượng giác và Hypebôn ngược : Hàm lượng giác ngược: cos1 z  i ln z  (z2  1)1/  sin 1 z  i ln iz  (1  z2 )1/  tan Hàm Hypebôn ngược: 1 cosh i iz z  ln i z 1 i i z z  ln i z sinh 1 z  ln z  (z2  1)1/  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 1 1z z  ln 1z 64  VD 7.6.6: Elementary Functions j  Find the principal value of complex power: (  3)  ? j  j ln( 3)  j  1 (  3)  e e j ln 3 j   1 j(ln 3) /  e ln ln  (  3)  e cos   jsin   j  (  3)  0.3456  j0.126 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 65  VD 7.6.7: Elementary Functions Find all solutions to the equation: sin(z)  sin x.cosh y  jcos x.sinh y   cos x   x   k  Because cosh y   x   k2 1 y   cosh  1 z  (  k2)  jcosh Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 66 VD 7.6.8: Compute sin–1z ? Let z  sin  j e  cos   jsin   jz   z j  ln[ jz   z ] ln[ jz   z ] sin z  j 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 67 VD 7.6.9: Show that : cos z  ln z  z  1   1 j 1 sec z  ln 1 j 1 1z z co t z  ln j2 1 tan z  ln j2 1 1 jz 1 jz cosec z  ln j j z 1 z z j z j Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 68 VD 7.6.10: Using MATLAB Write a function my_log(z0) return the multivalued expression of log(z0) ? Print its principal value ? Compare with the function of MATLAB ? % ex7_4: Tinh log(z0) z0 = + i*12; syms n real ; roh = abs(z0); theta = angle(z0); x = vpa(log(roh),5); y = vpa(theta + n*2*pi,5); xdot = x + i*y ; disp('******** Answer **********'); disp(xdot); disp('******** Principal value **********');value = double(subs(xdot,'n',0)); disp(value); disp('******** Compare with MATLAB **********'); tolerance = (log(5+i*12)-value)/log(5+i*12)*100; fprintf('Tolerance = %5.3f \n ',tolerance); ******** Answer ********** 1.176*i + 6.2832*i*n + 2.5649 ******** Principal value ********** 2.5649 + 1.1760i ******** Compare with MATLAB ********** Tolerance = 0.002 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 69