PPT Chuong 2 [Compatibility Mode] CC hh öö ôô nn gg II II GG II AA ÛÛ II HH EE ÄÄ PP HH ÖÖ ÔÔ NN GG TT RR ÌÌ NN HH AAxx==bb 111 ))) HHH eee äää ccc ooo ùùù AAA lll aaa øøø mmm aaa ttt rrr aaa äää nnn[.]
Chương II : GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ax=b 1) Hệ có A ma trận tam giác a11 Ax = a12 a22 a 23 a33 0 a1n x1 b1 a2 n x2 b = ann xn b n Tính nghiệm xn → xn −1 → xn − → xn −3 → x1 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính Ví dụ : = 18.0 x1 + x2 + x3 + 0.1x2 + x3 = 20.2 +0 + 0.01x3 = 0.1 x1 = x2 = x = 10 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính 2) Hệ có A ma trận tam giác a11 a 21 A x = a31 a n1 a 22 a32 a33 an x1 b b x2 2 = a nn x n b n Tính nghiệm x1 → x2 → x3 → x4 → xn Ngô Thu Lương Phương pháp Tính 3) Giải phương pháp nhân tử LU : ( A ma trận vuông ) a) Nội dung : Phân tích ma trận A = L.U L ma trận tam giác U ma trận tam giác Việc giải hệ phương trình đưa giải hai hệ phương trình dạng tam giác Quy ước l11 = l22 = l33 = = : có nghiệm Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính Cách tìm L, U từ ma trận A : Nhân hàng1 L với cột U tìm u11 Nhân hàng2 L với cột U tìm l21 Nhân hàng3 L với cột U tìm l31 Nhân hàng1 L với cột U tìm u12 Nhân hàng1 L với cột U tìm u13 Nhân hàng2 L với cột U tìm u22 Nhân hàng3 L với cột U tìm l32 Nhân hàng2 L với cột U tìm u23 Nhân hàng3 L với cột U tìm u33 Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính 4) Phương pháp Cholesky ( phương pháp bậc hai ) a) Nội dung : Biểu diễn ma trận A dạng A = B BT B ma trận tam giác T ( B : ma trận chuyển vị B , ma trận tam giác ) Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính b) Nhận xét : Cách tìm B tương tự phương pháp LU số phép tính giảm lần Phương pháp Cholesky không đòi hỏi đường chéo ma trận B Khi lấy bậc quy ước lấy số học ( số dương ) Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính 1 1 A = 1 5 1 14 Ví du ï : B= Ngô Thu Lương 0 0 Phương pháp Tính −1 A = −1 −1 −1 B = Ngô Thu Lương 0 Phương pháp Tính b) Nhận xét : *) Phương pháp dùng A đối xứng xác định dương 5) Các phương pháp lặp : (thường dùng cho hệ với ma trận A có kích thước lớn) 5.1) Định nghóa : (Chuẩn vectơ ) x ∞ = max xi 1≤ i ≤ n ( xi : thành phần véctơ x ) (chuẩn vô hạn , hàng ) Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính 5.1) Định nghóa : (Chuẩn vectơ ) n x 1= ∑ i =1 xi ( chuaån 1, coät ) − 1 x= − 3 x ∞= x 1= x ≥0 x =0 Ngơ Thu Lương ↔ x=0 Phương pháp Tính 5.2) Định nghóa ( Chuẩn ma trận ) n A ∞ = Max ∑ a i j 1≤ i ≤ n j =1 (chuaån vô hạn , chuẩn hàng) n A = Max ∑ a i j 1≤ j ≤ n i =1 (chuẩn , chuẩn cột ) Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính 4 Ví duï : A = 2 3 n A ∞ = Max ∑ a i 1≤ i ≤ n j =1 n A = Max ∑ j 1≤ j ≤ n i =1 ta coù = Max ( , ) = j = Max ( 6, 4) = Caùc tính chất chuẩn ma trận : A ≥0 A = ⇔ A= A+ B A x ≤ A + B ≤ A x Ngô Thu Lương Phương pháp Tính 5.3) Định nghóa ( Số điều kiện cuả ma trận A) k1 ( A ) = cond ( A ) = A A − 1 k ∞ ( A ) = cond ∞ ( A ) = A ∞ A − ∞ 4 3 −1/2 3/ 2 − Ví dụ : A = , A = − 2 k∞ ( A) = A ∞ A−1 = = 21 ∞ −1 k1 ( A ) = A A = = 21 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính Ví dụ : 1 A = 4.1 3 6.1 5.01 − 3859 − 3920 3900 A−1 = 1980 2010 − 2000 − 100 100 − 100 k∞ ( A) = 164790.69 k1( A) = 73566 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính Sự biến thiên nghiệm tỷ lệ với biến thiên vế phải với hệ số tỷ lệ laø k ( A) x − x ' ≈ k ( A) b − b ' 5.4)) Phương pháp lặp Jacobi ( lặp đơn ) : a) Nội dung: *) Đưa hệ A x = b dạng x = Φ x + g *) Kiểm tra điều kiện Φ = q < (chuẩn hàng cột) *) Lấy x (0) véctơ giá trị ban đầu tùu ý (k ) *) Dãy lặp x xây dựng theo công thức ( k + ) ( k ) x = Φx + g Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính b) Đánh giá sai số : x (k ) −x d k q ≤ 1− q x (1) − x (0) công thức tiên nghiệm q (k ) d x −x ≤ x ( k ) − x ( k −1) 1− q công thức hậu nghiệm Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính Ví dụ : Xét hệ phương trình 10 x1 − 1x2 + x3 = 1x1 + 10 x2 − 1x3 = x + x + 10 x = − 10 + x − x3 + x1 = + x3 + x = − x1 x = − x − 0.3 x −1 Φ ∞ = 0.5 = q∞ Φ = 0.4 = q1 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính (k ) (k ) x(k +1) = + x − x +0 (k +1) (k ) (k ) x = − x + x + 0.5 x(k +1) = − 2x(k ) − 0.3x(k ) −1 Với x ( ) = [ 0 ]T , số bước lặp k = k (k ) x1 (k ) x2 (k ) x3 Sai số ∞ Ngơ Thu Lương 0 0.5 0.25 0.4 0.270 0.360 -1 -1.15 -1.170 - 0.04 Phương pháp Tính c)Nhận xét : A ma trận có đường chéo trội theo haøng : ⇒ Φ ∞