PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Bài giảng điện tử PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứ[.]
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm Định nghĩa Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm Xét phương trình tuyến tính cấp có dạng L(y ) = a0(x)y 00(x) + a1(x)y 0(x) + a2(x)y = F (x), a0(x), a1(x), a2(x) hàm liên tục đoạn [a, b] a0(x) 6= khoảng [a, b] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm Định nghĩa Phương pháp giải Giải phương trình L(y ) = thu tập nghiệm {y1(x), y2(x)} Nghiệm tổng quát ytn = C1y1(x) + C2y2(x), C1, C2 = const Tìm nghiệm riêng yr phương trình khơng L(y ) = F (x) Nghiệm tổng quát phương trình bậc hai cho ytq = ytn + yr TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm Điều kiện ban đầu Trong toán ứng dụng, nghiệm phương trình vi phân địi hỏi phải thỏa mãn điều kiện bổ sung Số điều kiện cấp cao phương trình Ví dụ phương trình vi phân cấp có điều kiện bổ sung x = a y (a) = α, y 0(a) = β, với α, β = const Định nghĩa Phương trình vi phân cấp với điều kiện bổ sung gọi toán cho trước giá trị ban đầu Bài toán cho trước giá trị ban đầu thường có nghiệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số Bài toán thực tế Dao động tự TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số Bài toán thực tế Dao động tự Tại vị trí cân bằng, trọng lực nặng với lực đàn hồi lò xo Lực có xu hướng đẩy nặng vị trí cân tỉ lệ với ly độ, có nghĩa ky , với k hệ số đàn hồi lò xo Phản lực tỉ lệ với vận tốc chuyển động dy nặng, có nghĩa lực λ , với λ hệ dt số tỉ lệ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số Bài toán thực tế Tổng lực tác động lên nặng ky + λ Theo định luật II Newton ta có dy dt dy d 2y ky + λ = −m dt dt d 2y dy ⇔ m + λ + ky = Đây phương dt dt trình vi phân cấp 2, nhất, với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số Bài toán thực tế Dao động cưỡng Trong trường hợp lực cản khơng tồn tại, cịn nặng dao động theo ngoại lực có chu kỳ, theo quy luật ` sin ωt Trong trường hợp này, có lực có xu hướng đưa nặng vị trí cân k(y + ` sin ωt) Theo định luật II Newton, ta d 2y d 2y ky + k` sin ωt = −m ⇔ m + ky = −k.` sin ωt dt dt TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số Định nghĩa Phương trình vi phân cấp hai với hệ số Định nghĩa Phương trình vi phân cấp hai với hệ số phương trình có dạng Ay 00 + By + Cy = f (x), A, B, C = const TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số Phương trình Bước Giải phương trình Giải phương trình Ay 00 + By + Cy = Phương trình đặc trưng Ak + Bk + C = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 10 / 38