Đề thi môn Phương trình vi phân

http://baigiangtoanhoc.com Đề thi kết thúc học phần ĐHQG TP HCM ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ I Năm 2011 MÔN: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Thời gian làm bài: 90 phút) t  x t  f (t , x) tương đương với phương trình tích phân x(t )  x0   f ( s, x( s ))ds  x (t0 )  t0 t0 Câu I Hãy chứng minh toán  Câu II Định lý tồn nghiệm Picard – Lindelof sau: Xét toán điều kiện đầu sau:  x t  f (t , x) (1) Trong f  C (U , R ) với U tập hợp mở R2  x ( t )  t  0 (t0 , x0 )  U Giả sử tồn tập V   t0  T , t0  T   BS ( x0 )  U cho f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x V   Đặt M  sup f (t , x) , T0  T , ( t , x )V S   Khi tốn (1) có nghiệm x V   t0  T , t0  T  M lim K n ( x0 )  x.n n  a Khi chứng minh định lý phương pháp ánh xạ co, người ta chọn không gian Banach x ? X nào? b Khi chứng minh định lý phương pháp ánh xạ co, người ta chọn ánh xạ co k nào? Kiểm tính chất co ánh xạ k này? 5n (n  1) Câu III Cho không gian Banach X, ánh xạ K : X  X x0  X Giả sử: K ( x)  K ( y )  xy n! n với x, y  X Hãy chứng minh tồn u  X thỏa mãn K (u )  u n lim K n ( x0 )  u n  Câu IV Giả sử số thực a, b, c, d thỏa mãn: a < b c > d Gọi X không gian C ( a, b  , R) với chuẩn sup, gọi Y không gian C ( a, b  ,  d , e ) với chuẩn sup Biết X không gian Banach a Dùng định nghĩa tính chất đóng, chứng minh Y không gian X b Dùng định nghĩa tính chất đầy đủ, chứng minh Y khơng gian đóng X (Chú thích: không áp dụng định lý: “ Không gian đóng khơng gian Banach khơng gian Banach”) Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net