8 phương trình vi phân cấp 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 Phương trình vi phân Giới thiệu Phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng việc ứng dụng toán học lĩnh vực khoa học khác nhiều trình thực tế mơ tả phương trình vi phân cách dễ dàng đầy đủ Tuy nhiên, để hiểu ứng dụng phương trình vi phân, cần nắm vững kiến thức khoa học tự nhiên (vật lý, hóa học, sinh học,v.v), kỹ thuật, v.v TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 Phương trình vi phân Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp Định nghĩa Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp f (x, y , y 0) = biểu thức tổng quát tập hợp vơ hạn hàm, thỏa mãn phương trình vi phân Nó xác định dạng tường minh y = F (x, C ) dạng ẩn Φ(x, y , C ) = 0, C số tùy ý TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 Phương trình vi phân tách biến Bài toán thực tế Bài toán làm lạnh vật thể Ví dụ Nhiệt độ bánh mỳ lị giảm từ 100o C xuống 60o C vòng 20min Nhiệt độ môi trường xung quanh 25o C Hỏi sau phút từ lúc lấy bánh mỳ ra, nhiệt độ bánh mỳ hạ xuống 30o C ? TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 Phương trình vi phân tách biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Bài toán thực tế PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 Phương trình vi phân tách biến Bài toán thực tế Tốc độ làm lạnh vật thể giảm nhiệt độ T đơn vị thời gian τ biểu diễn dT đạo hàm dτ Theo định luật Newton, tốc độ làm lạnh vật thể tỉ lệ với hiệu số nhiệt độ vật thể T môi trường xung quanh t Phương trình vi phân trình làm lạnh bánh mỳ dT = k(T − t), dτ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) k-hệ số tỉ lệ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 Phương trình vi phân tách biến Bài tốn thực tế Giải phương trình vi phân dT dT = kd τ ⇔ = kd τ T − t T − 25 Z Z dT = k d τ ⇒ ln |T −25| = kτ +ln C ⇒ T − 25 ⇒ T − 25 = Ce kτ Hằng số C tìm dựa vào điều kiện τ = 0min T = 100o C Khi 100 − 25 = Ce k.0 ⇒ C = 75 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 Phương trình vi phân tách biến Bài toán thực tế Hệ số tỉ lệ k tìm dựa vào điều kiện τ = 20min T = 60o C Khi   201 60 − 25 = 75e k.20 ⇒ e k = 15   20τ Vậy T = 75 + 25 Do T = 30o C 15   20τ −20 ln 15 + 25 ⇒ τ = ≈ 30 = 75 15 ln − ln 15 71min TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 Phương trình vi phân tách biến Định nghĩa Phương trình vi phân tách biến Định nghĩa Phương trình vi phân có dạng P(x)dx + Q(y )dy = (1) gọi phương trình vi phân tách biến Nghiệm tổng quát phương trình Z Z P(x)dx + Q(y )dy = C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 Phương trình vi phân tách biến Ví dụ Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát phương trình xdx + (y + 1)dy = Nghiệm tổng quát phương trình cho Z Z x2 y2 xdx + (y + 1)dy = C ⇒ + +y =C 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 10 / 61 + x = C ⇒ ln |x + y | + x = C ln |x| + ln x x +y x +y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 36 / 61 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp Ví dụ Phương trình vi phân có dạng   a x + b y + c 1 y0 = f a2x + b2y + c2 a1 b1 6= Khi hệ phương Trường hợp a2 b2  a1x + b1y + c1 = trình có nghiệm a2x + b2y + c2 = (x0, y0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 37 / 61 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp Ví dụ Đổi biến X = x − x0, Y = y − y0 ⇒ y = Y Phương trình cho viết lại !   Y a1 + b1 X a1X + b1Y Y0 = f ⇒ Y0 = f a2X + b2Y a2 + b2 YX phương trình đẳng cấp TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 38 / 61 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp Ví dụ