17 hệ phương trình vi phân cấp 1

HAØM SOÁ y = f(x) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ĐỊNH NGHĨA Hệ tổng quát Hệ chính tắc t biến x1, x2 , , xn ẩn hàm F1(t,x1,x2, , xn, x1’,x2’, ,xn’) = 0 Fn(t,x1,x2, , xn, x1’,x2’, ,xn’) = 0 x1’ = f1(t,x1[.]

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP ĐỊNH NGHĨA F1(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = Hệ tổng quát … Fn(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn) Hệ tắc … xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) t : biến x1, x2 , …, xn : ẩn hàm BÀI TỐN CAUCHY Tìm nghiệm hệ x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn) ……………………… xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) x1(t0) = 1 Thỏa điều kiện ………… xn(t0) = n Hệ n ptvp cấp tương đương ptvp cấp n nên hệ nghiệm có n số tự PHƯƠNG PHÁP KHỬ B1: xây dựng ptvp cấp n theo hàm chọn trước B2: giải ptvp cấp n vừa tìm rút hệ với (n – 1) hàm Vd:  x ' x '(t ) 2 y  e t  t  y ' y '(t )  x  3y  e (1) (2)  y  x ' 3y ' e t  y  y  e t  3y ' e t (3)     t t  x ' 2 y  e  x ' 2y  e (3)  y " 3y ' y  2e t t Tt cấp hệ số 2t  y C1e  C2e  2te (2)  x  y ' 3y  e t t t   C1e  2C2e 2t t t 2t t  2( t  1)e  3(C1e  C2e  2te )  e 2C1et  C2e t  (4t  3)e t  x 2C1e t  C2e t  (4t  3)e t  t 2t t  y C1e  C2e  2te t Cách khử cho hệ pt (tuyến tính)  x  a1x  b1y  f1 (t )   y  a2 x  b2 y  f2 (t ) (1) (2) Lấy đạo hàm pt (1) theo t (3) Thay y’ từ pt (2) vào (3) (4) Rút y từ (1) thay vào (4) Pt kết pt cấp theo ẩn hàm x biến t Nếu xuất phát từ pt (2), ta có pt cấp theo y HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP HỆ SỐ HẰNG X’(t) = AX(t) + F(t)  x1 (t )        x ( t )   n   x1 (t )        x (t )   n  (Hệ ẩn hàm )  f1 (t )        f (t )   n   a11  a1n  A      : ma trậ n vuô ng caá pn   a   a  n1 nn  Ví dụ  x ' x '(t ) 2y  e t 1/  t y '  y '( t )  x  y  e   x(t )  X(t )   y ( t )    et  F(t )    et     2 A       x ' x  y  2z  t  sin t  2 /  y ' 2 x  y  z  t  t z '  y  z  e  ln t   t  sin t  1       X ( t )  X( t )   t ,      2  et  ln t       x(t )    X( t )  y ( t )    z( t )    PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHƠNG THUẦN NHẤT A chéo hóa X’ = AX + F(t)  X’ = PDP-1X + F(t) (  P: P-1AP = D (chéo) ) Đặt Y = P-1X:  P-1X’ = DP-1X + P-1F(t)  Y’ = DY + G(t)  y1   1    y1   g1 (t )   y       y   g ( t )       2     .               yn   0  n   yn   gn (t )  PPTRỊ RIÊNG TÌM NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT X’(t) = AX(t)  Y’ = DY  y1 '   1    y1   y '      y       2             y n '  0  n   y n   y1 '(t ) 1y1 (t )  y '(t )  y (t )  2    yn '(t ) n yn (t )  y1 '(t ) 1y1 (t )  y '(t )  y (t )  2    yn '(t ) n yn (t ) n  y1 t  c1e1t  2 t  y t  c 2e    n t  yn t  c ne k t  X PY  c k e Pk  Xk e k 1 k t (Pk cột thứ k P)  Pk , k 1, , n : hệnghiệ mđltt củ a hệthuầ n nhấ t Định lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A có n giá trị riêng thực 1, 2 … n (kể trị riêng bội), n vector riêng P1, P2 , … , Pn độc lập tuyến tính  Nghiệm tổng quát pt nhất: T n X t   x1 t , x t ,  , xn t   c k e Pk k 1 k t Vd:  x1 x1  x  2x  1 2   x2 x1  x  2x  X  1  X    x  2 x  x  x  2 4  3   1  A  I  1 0  2 6 A 1  2 4   (6   ) 0  1   p1       1 p 0 ( A  1I)P 0     2 4 p      1  2 Chọn vector riêng: P1   1 , P2        0   1       p1  5     ( A  2I)P 0   p 0     2  2 p  1     Chọn VTR: P3      2   1t 1t 2 t 6t X1 e P1 , X2 e P2 , X3 e P3 e P2  X  Ck Xk k 1  1  2  1 0t  0t  6t     C1e   C2e  C3e        0   1  2       6t   C1  2C2  C3e  x1    6t    x   C1  C3e     x   t      C2  2C3e 