Chuyên đề 26 tìm số giá trị nguyên thoả biểu thức chứa mũ và logarit vd vdc hướng dẫn giải

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 26: TÌM SỐ GIÁ TRỊ NGUYÊN THOẢ BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT x  16 x  16 log  log 343 27 ? Câu 39_TK2023 Có số nguyên x thỏa mãn A 193 B 92 C 186 D 184 Lời giải Chọn D D   ;     4;   TXĐ: Ta có: x  16 x  16 log  log 343 27  log  log  x  16   3  log  x  16   3log   log  1 log x  16  3log  3log   log x  16      log  log  log   log x  16    log 3  log  x   16   log 213  x  16  213   9277  x  9277 Kết hợp điều kiện ta có x    96;  95; ;  5;5; ;95;96 Vậy có 184 số nguyên x thỏa mãn Câu 47_TK2023 Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn log  x  y  x   log  x  y  log x  log  x  y  24 x  ? A 89 B 48 C 90 Lời giải D 49 Chọn B Điều kiện: x  Ta có: log  x  y  x   log  x  y  log x  log  x  y  24 x   log  x  y  x   log x log  x  y  24 x   log  x  y   x2  y  x   x  y  24 x   x2  y2   24 x   log   log  log    log   2 1 2  x x y x   x y        x2  y   24 x   log   1  log   0   x y   x  Đặt: t  24  x2  y log (1  t )  log    0 (t  0) t   x , bất phương trình trở thành: Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 24  24  f (t )    0, t  f (t ) log (1  t )  log    (1  t ) ln t  24 t ln t  có  Xét hàm số Suy hàm số đồng biến khoảng (0; )    24  f (8) log (1  8)  log    0   Ta có Từ suy ra: (1)  f (t )  f (8)  t 8  x2  y2 8  ( x  4)  y 16 x Đếm cặp giá trị nguyên ( x; y ) Ta có: ( x  4) 16   x 8 , mà x  nên  x 8 Với x 1, x 7  y {2; 1;0} nên có 10 cặp Với x 2, x 6  y {3; 2; 1;0} nên có 14 cặp Với x 3, x 5  y {3; 2; 1;0} nên có 14 cặp Với x 4  y {4; 3; 2; 1; 0} nên có cặp Với x 8  y 0 có cặp Vậy có 48 cặp giá trị nguyên ( x; y ) thỏa mãn đề Câu 1: Tính tổng tất nghiệm nguyên bất phương trình A B C Lời giải Chọn B Điều kiện: x  log  x  3  log x  x  x  0 D Ta có log  x  3  log x  x  x  0  log  x    x  log x  x  * f  t  log t  t D  0;    Xét hàm số Ta có f  t     t  D  t ln hàm số f đồng biến D Suy  *  f  x  3  f  x   x  4 x   x 3 Vậy tập hợp nghiệm nguyên bất phương trình Câu 2:  1; 2; 3  x2  x 1  log   16 x    Số nghiệm nguyên bất phương trình A B C 10   x   x 1 D 11 Lời giải: Chọn A Điều kiện: x 0 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT  x2  x 1  log    16 x     x   x 1  log  x  x  1  log  16 x    x  x  0  1 3  1 3   log   x        x     log  x   2 4 2 4      3   3 f  t  log  t     t   4    với t 0 có Xét hàm số nên f  t đồng biến khoảng 3 3     2 x   4 4  f  t   2t 2 0  3  t   ln 4  , t 0  0;  Suy 1 3   x    2 x   x x   2 4  x    x   1; 2 Câu 3:  x 0 3 2 32   0,1  x  2,9  2  x  3x  0 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình log  60 x  120 x  10m  10   3log  x 1  biến x Số phần tử S A 11 B 10 Điều kiện có miền nghiệm chứa giá trị nguyên C Lời giải x    6 x  12 x  m   D 12  * log  60 x  120 x  10m  10   3log  x 1    log  x 12 x  m  1  log  x  1   log  x  12 x  m  1  log  x  1  x  12 x  m    x  1  1  x  12 x  m   x  x  x   m   x  3x  x  f  x   1  Hệ điều kiện  * trở thành: x   f  x  x3  3x  x   1;   Xét hàm số khoảng f  x  3 x  x  Ta có:  x  f  x  3x  x  0    x 3 Từ Bảng biến thiên: Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Để bất phương trình log  60 x  120 x  10m  10   3log  x  1  có miền nghiệm chứa giá trị nguyên biến x  11  m  0    m 2 Vậy có 11 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn toán Câu 4: log  x  x   m    log  x  x  3 Cho bất phương trình với m tham số Có tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình nghiệm với x thuộc khoảng A 30  1;3 ? B 28 C 29 Lời giải D Vơ số Ta có log  x  x   m    log  x  x    log  x  x   m   log  x  10 x  15  2 5 x  10 x  15  x  x   m  x  14 x  11  m  1  x   1;3   x   1;3  x  x   m   x  x    m   f  x  4 x  14 x  11  1;3 Ta có f  x  8 x  14  với x   1;3 m  f  1 29 Vậy để thoả mãn g  x  x  x   1;3 Ta có bảng biến thiên g  x   1;3 * Xét * Xét Vậy để thoả mãn  m 0  m 0 Khi m 29 , suy có 30 giá trị nguyên tham số m Câu 5: Có số nguyên log  x  y  1 log  x  x  y 1 A Đặt B x cho tồn số thực y thỏa mãn ? C Lời giải D log  x  y  1 log  x  x  y  1 2t Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT t  x  y  3t  x  y  3    2 t t  x  x  y  4  x  1  y 4 1      x  1  y    x  1  y       x  1  y   4t   2 2    Ta có: t t 9      t  4 Lại có  x  1 2 t t  y 4   x  1 4 4 2  x    2;  1;0 log  y  1 log  y  1 Nếu x 0 ta có phương trình Ta thấy phương trình có nghiệm y 0 Nếu x  ta có phương trình log  y 3t t t log3 y log 2 y 2t    2.9 4  t log  y 3 t 2 y 4 log Ta thấy phương trình có nghiệm y 3 log  y  1 log  y  1 2t x  Nếu ta có phương trình t  y  3   2.9t  4.3t  4t  * t 2 y  4 t t VT  *  4t t Ta có 2 y  1  t 0  2.9  Suy Vậy có giá trị nguyên x thỏa mãn yêu cầu toán Câu 6: Có bao   log (2 x nhiêu số ngun x thỏa nên phương trình vơ nghiệm mãn  1)  log (4 x  2)   log  x    log x  x  x   0 A phương trình ? D C B Vô số bất Lời giải Điều kiện: x  log (2 x  1)   log (2 x  1)  log (4 x  2)   x log (4  2)  Do x  nên    log (2 x  1)  log (4 x  2)    log (2 x  1)  log (4 x  2)   log  x    log x  x  x   0 Khi đó,  log  x    log x  x  x  0  log  x    x   log3 x  x  0  log  x    x  log x  x  * Xét hàm số f  t  log t  t liên tục D  0;    Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Ta có f  t    *  Suy Câu 7:   0, t  D  t ln hàm số f (t ) đồng biến D f  x    f  x   x  9 x   x 8 Bất phương trình A vơ nghiệm  6   log  log x x  x có số nghiệm nguyên dương B nghiệm C nghiệm D nghiệm Lời giải log 22 x  log Điều kiện: x  BPT cho  log 22 x  log 6  log x  log x.log 0 x x   log x  0  x 6    log x  1  log x  log  0  1 x  log x  log x  1  log (1)  log x  0   log x  1  log x  log  0  log x  log3 0 (2) x x    Xét phương trình: Giải (1) : (1)  x 2 (t / m) x (2)  log x log  log x  log  log 3.log x log  log x x Giải (2) :  log x   log 3 log  log x  log 2  log 3 log  log x 1  x 2 (t / m) log Ta có bảng xét dấu Vậy BPT cho có nghiệm x 2 Câu 8: Có số nguyên x thoả mãn A B  x  1   2 x  1  ĐKXĐ: Ta có  2log  x    log  x    log  x  1  x  1  x   C Lời giải ? D  x   x 1  D  1;     x   x 1 log  x  1  x 1  x   log3  x  x     x  x    log  x  1   x  1 f  t   log t  t , t 1  f  t   Đặt Suy f t đồng biến 1   0, t  t.ln log t  1;  Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Suy f  x  x    f  x  1  x  x  2 x     x 5 Vậy có số nguyên x thoả mãn Câu 9: Có số tự nhiên x cho giá trị x tồn số y thoả mãn log ( x  y ) log  x  y  ? B A D C Lời giải Điều kiện: x  y  t  t  x 3  y  x  y 3  t  2 t  y   y 6t t log ( x  y ) log  x  y   x  y 6     Đặt , suy Bất phương trình  1  1  y  2.3t y  9t  6t 0 muốn có nghiệm t  2  9     0      t 1  3 t Do đó: Thử lại: t t x  y 6  x 6  x   0;1; 2 t log 2  t   y   x 0     t t y      y     1;0  * Với t 1  y 3t  y 1  x 1     t t t 1  y 6 1     6 * Với có nghiệm t 0, y 0 t  y 2  3t   y 3t  y 2  x 2       t t t t t t   y 6 9   8.3  12 0      6 * Với t 1, y  Vậy x   0;1; 2 có nghiệm Câu 10: Biết tập nghiệm bất phương trình log   x  x    log  x  x     a; b  Khi tổng a  2b A Xét hàm số B f  x  log  f  x   x  1  2   g  x  Dễ đánh giá Bảng biến thiên:   C Lời giải  x  x    log  x  x   D     2 x  x   x  x  ln  x  x   ln    0 x  x   x  x  ln  x  x   ln    , x   Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Có f    f  1 3 dựa vào bảng biến thiên ta có f  x    x   0;1 Vậy a 0; b 1 ; suy a  2b 2  x; y  thỏa mãn x 2021 y  log  x  y   2 x  y ? Câu 11: Có cặp số nguyên A 2020 B C 2019 D 10 Lời giải Chọn D Đặt log  x  y   t y t t y Suy x  2 , x 2  y  t 2  2t  y    y  2.2 y  y 2.2t  t Phương trình cho trở thành: x x g  x  2.2  x g  x  2.2 ln   0, x y g  x  Xét hàm số có nên hàm số đồng biến y t y log  x  Khi 2.2  y 2.2  t  y t hay y y y y y Suy x  2  x 2  2 y  y  y  log 2021 1 Mà  x 2021 nên 2 2021   y  log 2021 hay y   2,3, ,11 Lại có y số nguyên nên tức 10 giá trị thỏa mãn y Xét biểu thức x 2 , giá trị nguyên y cho tương ứng giá trị nguyên x nên có 10 cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn yêu cầu đề x; y  3x  3x  9 y  log y Câu 12: Có cặp số nguyên  thỏa mãn  y  2020 A 2020 B C D Lời giải Chọn C Ta x x x  x  9 y  log y    x   9 y  3log y    x   3 log3 y có:  3log y  * t f t 3   t   Xét hàm số:   t f  t 3 ln   0, t   y  f t Ta có:   Suy hàm số đồng biến  *  f  x   f   log y   x 2  log y  y 3 x  Khi đó:    y  2020 x, y Do nguyên 3 x  2020   x   log 2020  x   2;3; 4;5; 6; 7;8 nên: Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT x; y  Ứng với giá trị x có giá trị y nên có cặp số  nguyên thỏa mãn yêu cầu toán Câu 13: Có cặp số nguyên dương  x; y  với x 2020 thỏa mãn  x  y  3   y   log  x  1 B 2020 A 1010 C Lời giải D Chọn C Đặt log  x  1 t  x 3t   3t  1  y 3   32 y   t  3.3t  t 3.32 y  y , ta f  u  3.3  u  f  u  3.3u ln   0, u    f  u  u Xét hàm số 2y y Do  t 2 y , nên x 3   2 x  đồng biến  y y   1; 2;3 Vì x 2020  4039  y log 4039 Vì y nguyên dương nên Ta thấy với  x; y  thỏa mãn giá trị nguyên y tìm giá trị nguyên x Vậy có cặp  a; b  thỏa mãn a 100 2a  3b  2a1 ? Câu 14: Có cặp số nguyên A 163 B 63 C 37 D 159 Lời giải Chọn B 2a  3b  a 1  log a  b  log a 1  a log  b   a  1 log Ta có a log   a      a  1 log   Với Do với a   1; 2;3; ;100   a  1 log    a log 2 có  số nguyên b thỏa mãn 100 Vậy theo qui tắc cộng có tất     a 1 log a 1     a log 2 63 cặp số nguyên thỏa mãn  x    y  số nguyên Chú ý: hai số thực x  y có tất  a; b  với  a  b  100 để phương trình a x ln b b x ln a có Câu 15: Có cặp số nguyên nghiệm nhỏ ? A B 4751 C 4656 D 4750 Lời giải Chọn B x ln a a  ln a  a ln b b ln a      x log a   ln b b b  ln b  Ta có ln a a ln a ln b  ln a  a log a      a  b  100    0;1  1  ln b ln b b a b   b b Với ln x  ln x g  x  g  x    g  x   x   0;e  g  x   x   e;   x có x Hàm số , , x x Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT g  2 g    ln 2 ln ln ln ln ln 98 ln 99       98 99 Vì a 2  b   5;6; ;99 Trường hợp 1: trường hợp có 95 cặp số thỏa mãn a 3  b   4;5; ;99 Trường hợp 2: trường hợp có 96 cặp số thỏa mãn a 4  b   5;6; ;99 Trường hợp 3: trường hợp có 95 cặp số thỏa mãn a k   5; 6; 98 b   k  1; ;99 Trường hợp 4: với có 99  k cách chọn b , trường 98   99  k  4465 hợp có tất cặp số thỏa mãn Vậy có tất 95  96  95  4465 4751 cặp số thỏa mãn x y x y Câu 16: Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn 3 ? A B C D Vô số Lời giải Chọn B  x  y log t   2 x y x2  y2   t t   x  y log t Đặt , Vì  x  y 2  x  y   log 24 t 2 log t  ln t ln t ln    ln t  ln ln ln ln t ln  ln  x x y   2   x    1;0;1  3,18  x 3,18   ln ln ln   Suy 0  y log t  y 0 x 0     0  y log t t 1  Nếu ln t  y  1  1  y log t ln  x 1     2 1  y log t  ln t  1   ln t  ln  ln  t  y  Nếu ln t  y 1     y log t ln  x      2   1  y log t  ln t  1   ln t  ln  ln   t   y  Nếu x   0;1 Vậy 2 Câu 17: Có cặp số nguyên x thỏa mãn A 9704 a x   a; b  với a 100 ; b 100 cho tồn số thực 1 b  x  b a? B 9702 C 9698 D 9700 Page 10 Sưu tầm biên soạn