Lý thuyết Cung chứa góc Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB và góc α (0 < α < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn ∠AMB = a là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB Chú ý + Hai cung c[.]
Lý thuyết Cung chứa góc Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB góc α (0 < α < 180°) cho trước quỹ tích điểm M thoả mãn ∠AMB = a hai cung chứa góc α dựng đoạn AB Chú ý: + Hai cung chứa góc α nói hai cung trịn đối xứng qua AB + Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích + Đặc biệt: Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB Cách vẽ cung chứa góc α – Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB – Vẽ tia Ax tạo với AB góc α – Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d – Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa tia Ax -Góc AmB vẽ cung chứa góc α Cách giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần: – Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H – Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T – Kết luận: Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H Giải tập tốn trang 86, 87 Tập Bài 44 (trang 86 SGK Toán Tập 2) Cho tam giác ABC vng A, có cạnh BC cố định Gọi I giao điểm ba đường phân giác Tìm quỹ tích điểm I A thay đổi Xem gợi ý đáp án Vẽ hình minh họa: *Dự đốn : Quỹ tích điểm I cung chứa góc 135º dựng đoạn BC * Chứng minh : Phần thuận : Điểm A ln nhìn đoạn thẳng AB góc 90^\circ nên quỹ tích điểm A đường trịn đường kính BC Xét tam giác ABC vuông A nên CI phân giác góc C nên lại có BI phân giác góc B Xét tam giác IBC có Nên số đo góc BIC ln khơng đổi Vậy điểm A thay đổi đường trịn đường kính BC điểm I thay đổi ln nhìn đoạn thẳng BC góc Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc dựng đoạn BC Phần đảo: Chứng minh điểm I thuộc cung chứa góc 135º dựng đoạn BC, có tam giác ABC thỏa mãn điều kiện + Lấy I cung chứa góc 135º dựng đoạn BC + Kẻ tia Bx cho BI phân giác góc CBx + Kẻ tia Cy cho CI phân giác góc BCy + Bx cắt Cy A Khi I giao điểm hai đường phân giác tam giác ABC Ta có: Vậy ΔABC vuông A thỏa mãn đề Kết luận: Quĩ tích điểm I hai cung chứa góc dựng đoạn BC Bài 45 (trang 86 SGK Toán Tập 2) Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định TÌm quỹ tích giao điểm O hai đường chéo hình thoi Xem gợi ý đáp án Vẽ hình Dự đốn: Quỹ tích cần tìm nửa đường trịn đường kính AB Chứng minh: Phần thuận: Ta biết hai đường chéo hình thoi vng góc với hay O Vậy điểm O nhìn AB cố định góc Quỹ tích điểm O nửa đường trịn đường kính AB Phần đảo: Chứng minh với điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB ta có hình thoi ABCD thỏa mãn đề + Lấy điểm O thuộc nửa đường trịn đường kính AB + Lấy C đối xứng với A qua O + Lấy D đối xứng với B qua O Tứ giác ABCD có AC cắt BD O trung điểm đường ⇒ ABCD hình bình hành Mà O thuộc nửa đường trịn đường kính AB ⇒ AC ⊥ DB ⇒ Hình bình hành ABCD hình thoi Kết luận: Quỹ tích điểm O nửa đường trịn đường kính AB (khác A B) Bài 46 (trang 86 SGK Toán Tập 2) Dựng cung chứa góc 55o đoạn thẳng AB = 3cm Xem gợi ý đáp án Vẽ hình: Trình tự dựng sau: - Dựng đoạn thẳng AB = 3cm (dùng thước đo chia khoảng mm) - Dựng góc (dùng thước đo góc thước thẳng) - Dựng tia Ay vng góc với Ax (dùng êke) - Dựng đường trung trực d đoạn thẳng AB (dùng thước có chia khoảng êke) Gọi O giao điểm d Ay - Dựng đường trịn tâm O, bán kính OA (dùng compa) Ta có: cung chứa góc dựng đoạn thẳng AB = 3cm (một cung) Chứng minh: + O thuộc đường trung trực AB ⇒ OA = OB ⇒ B thuộc đường tròn (O; OA) Ax ⊥ AO ⇒ Ax tiếp tuyến (O; OA) ⇒ Góc BAx góc tạo tiếp tuyến Ax dây AB Lấy M ∈ cung AmB góc AMB góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB ⇒ Cung AmB cung chứa góc 55º dựng đoạn AB = 3cm Kết luận: Bài tốn có nghiệm hình Bài 47 (trang 86 SGK Tốn Tập 2) Gọi cung chứa góc 55o tập 46 cung AmB Lấy điểm M1 nằm bên điểm M2 nằm bên ngồi đường trịn chứa cung cho M1, M2 cung AmB nằm phía đường thẳng AB Chứng minh rằng: a) b) Xem gợi ý đáp án a) điểm nằm cung chứa góc Gọi A', B’ theo thứ tự giao điểm Ta có góc đ ) (hình vẽ) với cung trịn (góc nội tiếp chắn cung AB cung AmB cung chứa Vì góc có đỉnh nằm đường trịn chắn cung A'B' AB nên: đ đ đ Vậy b) điểm nằm ngồi đường trịn (hình vẽ ) Ta có cắt đường trịn A’, B’ đ (góc nội tiếp chắn cung AB cung AmB cung chứa góc ) Vì góc góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn chắn cung A'B' AB nên: đ đ đ Vậy Giải tập toán trang 87 Tập 2: Luyện tập Bài 48 (trang 87 SGK Toán Tập 2) Cho hai điểm A, B cố định Từ A vẽ tiếp tuyến với đường trịn tâm B có bán kính khơng lớn AB Tìm quỹ tích tiếp điểm Xem gợi ý đáp án Vẽ hình minh họa Dự đốn: Quỹ tích đường trịn đường kính AB + Phần thuận: Tiếp tuyến TA vng góc với bán kính BT tiếp điểm T Suy Do AB cố định nên quỹ tích T đường trịn đường kính AB + Phần đảo: Lấy T thuộc đường trịn đường kính AB ⇒ AT ⊥ TB BT < AB ⇒ AT tiếp xúc với đường trịn tâm B, bán kính BT < BA Kết luận: Quỹ tích tiếp điểm đường trịn đường kính AB Bài 49 (trang 87 SGK Tốn Tập 2) Dựng tam giác ABC, biết BC = 6cm, góc A = 40o đường cao AH = 4cm Xem gợi ý đáp án Vẽ hình minh họa Cách dựng: + Kẻ đoạn thẳng AB = 6cm + Dựng cung chứa góc đoạn BC - Vẽ đường trung trực d đoạn BC - Vẽ tia Bx tạo với BC góc - Vẽ tia , tia By cắt đường thẳng d O Vẽ cung BmC tâm O bán kính OB cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ BC không chứa Bx Cung BmC cung chứa góc 40^\circ cần dựng + Vẽ đường thẳng t song song với BC cách BC khoảng 4cm Gọi giao điểm đường thẳng t với cung BmC A A' Khi có hai tam giác thỏa mãn đề ABC tam giác A'BC Chứng minh: + Theo cách dựng có BC = 6cm + A ∈ cung chứa góc 40º dựng đoạn BC + A ∈ t song song với BC cách BC 4cm nên chiều cao tam giác ABC 4cm Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề Bài 50 (trang 87 SGK Toán Tập 2) Cho đường trịn đường kính AB cố định, M điểm chạy đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI = 2MB a) Chứng minh khơng đổi b) Tìm tập hợp điểm I nói Xem gợi ý đáp án Vẽ hình minh họa: a) Gọi O trung điểm AB Xét đường trịn tâm O có đường trịn nên góc nội tiếp chắn nửa hay Xét tam giác vng MBI có Suy khơng đổi thỏa mãn b) Phần thuận: Khi điểm M thay đổi đường trịn đường kính AB điểm I thay đổi ln nhìn cạnh AB góc khơng đổi (với Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc cho ) dựng đoạn AB Nhưng tiếp tuyến PQ với đường trịn đường kính AB A vị trí giới hạn AM Do điểm I thuộc hai cung PmB,Qm'B Hai điểm P, Q điểm giới hạn quỹ tích, điểm B điểm đặc biệt quỹ tích Phần đảo: Lấy điểm I' thuộc cung Qm'B (hoặc cung PmB) Nối AI' cắt đường tròn tâm O M' Ta chứng minh M'I' = 2M'B Xét có góc nội tiếp chắn nửa đường trịn nên Xét tam giác BM'I' vng M' có góc (do I' thuộc cung Qm'B cung chứa dựng đoạn AB) nên mà Kết luận: Quỹ tích điểm I hai cung PmB,Qm'B Bài 51 (trang 87 SGK Toán Tập 2) Cho I, O tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60o Gọi H giao điểm đường cao BB'và CC' Chứng minh điểm B, C, O, H, I thuộc đường tròn Xem gợi ý đáp án Vẽ hình +) Ta có: (góc nội tiếp góc tâm chắn cung BC) (1) +) Lại có (hai góc đối đỉnh) Mà (2) +) Vì I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên BI; CI tia phân giác góc B, góc C Xét tam giác ABC có Xét tam giác BIC theo định lý tổng góc tam giác ta có Do (3) Từ (1), (2), (3) ta thấy điểm O, H, I nằm cung chứa góc dựng đoạn thẳng BC Nói cách khác, năm điểm B, C, O,\, H, I thuộc đường tròn Bài 52 (trang 87 SGK Tốn Tập 2) "Góc sút" phạt đền 11 mét độ? Biết chiều rộng cầu môn 7,32m Hãy hai vị trí khác sân có "góc sút" phạt đền 11 mét Xem gợi ý đáp án Vẽ hình Gọi vị trí đặt bóng để sút phạt đền M, bề ngang cầu mơn PQ M nằm đường trung trực PQ Gọi H trung điểm PQ, Do M nằm đường trung trực PQ nên MH vng góc PQ Tam giác MPH vuông H, áp dụng tỉ số lượng giác tam giác vng ta có: Vậy góc sút phạt đền Vẽ cung chứa góc dựng đoạn thẳng PQ Bất điểm cung vừa vẽ có “góc sút” phạt đền 11m