Giải Toán 9 Bài 7 Tứ giác nội tiếp Lý thuyết Tứ giác nội tiếp 1 Khái niệm tứ giác nội tiếp Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác n[.]
Giải Toán Bài 7: Tứ giác nội tiếp Lý thuyết Tứ giác nội tiếp Khái niệm tứ giác nội tiếp Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) Định lý + Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180° + Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180° tứ giác nội tiếp đường tròn Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp + Tứ giác có tổng hai góc đối 180° + Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện + Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác + Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α + Chú ý: Để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp ta chứng minh tứ giác hình sau: Hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân Giải tập tốn trang 89, 90 Tập Bài 53 (trang 89 SGK Toán Tập 2) Biết ABCD tứ giác nội tiếp Hãy điền vào trống bẳng sau (nếu có thể) Trường hợp Góc A 800 Góc B 700 Góc C Góc D Xem gợi ý đáp án Theo đề ta có ABCD tứ giác nội tiếp - Trường hợp 1: Ta có: Vậy góc cịn lại là: - Trường hợp 2: ó - Trường hợp 3: Ta có: Có Ta chọn 600 950 400 650 740 980 - Trường hợp 4: Còn lại Chẳng hạn chọn - Trường hợp 5: - Trường hợp 6: Vậy điền vào ô trống ta bảng sau: Trường Góc A 800 750 600 1000 1060 950 Góc B 700 1050 700 400 650 820 Góc C 1000 1050 1200 800 740 850 Góc D 1100 750 1100 1400 1150 980 hợp Bài 54 (trang 89 SGK Tốn Tập 2) Tứ giác ABCD có góc ABC + góc ADC = 180o Chứng minh đường trung trực AC, BD, AB qua điểm Xem gợi ý đáp án Vẽ hình minh họa Tứ giác ABCD có mà hai góc hai góc vị trí đối nên tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD, OA=OB=OC=OD (cùng bán kính đường trịn (O) ) + Vì OA = OB nên O thuộc đường trung trực đoạn AB + Vì OA = OC nên O thuộc đường trung trực đoạn AC + Vì OD = OB nên O thuộc đường trung trực đoạn BD Do đường trung trực AB, BD, AB qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Bài 55 (trang 89 SGK Toán Tập 2) Cho ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm M, biết Hãy tính số đo góc Xem gợi ý đáp án Vẽ hình minh họa Ta có: (1) +) ∆MBC tam giác cân cân M (MB= MC) nên +) ∆MAB tam giác cân M (MA=MB) nên (theo (1) Vậy đ Ta có: (số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn) đ Mà đ (số đo góc tâm số đo cung bị chắn) Vậy đ Suy (vì C nằm cung nhỏ cung BD) (4) Ta có: ∆MAD tam giác cân cân M (MA= MD) Suy (5) Có ∆MCD tam giác vuông cân M (MC= MD) Suy (6) Theo (2) (6) CM tia nằm hai tia CB, CD ta có: Giải tập toán trang 89 Tập 2: Luyện tập Bài 56 (trang 89 SGK Toán Tập 2) Xem hình 47 Hãy tìm số đo góc tứ giác ABCD Xem gợi ý đáp án Ta có (hai góc đối đỉnh) Đặt Theo tính chất góc ngồi tam giác, ta có: (góc ngồi ) (1) (góc ngồi ) (2) Lại có (hai góc đối diện tứ giác nội tiếp) (3) Từ (1), (2), (3) suy Hay Từ (1), ta có: Từ (2), ta có: (hai góc kề bù) (hai góc đối diện tứ giác nội tiếp) Bài 57 (trang 89 SGK Tốn Tập 2) Trong hình sau, hình nội tiếp đường trịn: Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng, hình thang, hình thang vng, hình thang cân? Vì sao? Xem gợi ý đáp án * Hình bình hành nói chung khơng nội tiếp đường trịn tổng hai góc đối diện khơng * Trường hợp riêng hình bình hành hình chữ nhật (hay hình vng) nội tiếp đường trịn tổng hai góc đối diện * Hình thang nói chung hình thang vng khơng nội tiếp đường trịn * Hình thang cân ABCD (BC= AD) có hai góc đáy nhau: Vì AD // CD nên (hai góc phía), suy Vậy hình thang cân ln có tổng hai góc đối diện nên tứ giác nội tiếp Bài 58 (trang 90 SGK Toán Tập 2) Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D cho DB = DC a) Chứng minh ABDC tứ giác nội tiếp b) Xác định tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, D,C Xem gợi ý đáp án Vẽ hình a) Theo giả thiết tam giác ABC nên Suy \widehat{ACD}=\widehat{ACB} +\widehat{BCD} (tia CB nằm hai tia CA, CD) (1) Do DB = CD nên ∆BDC cân D Từ Từ (1) (2) có (2) nên tứ giác ABDC tứ giác nội tiếp b) Vì nên AD đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABDC, tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABDC trung điểm AD Bài 59 (trang 90 SGK Tốn Tập 2) Cho hình bình hành ABCD Đường tròn qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD P khác C Chứng minh AP = AD Xem gợi ý đáp án Vẽ hình minh họa Do tứ giác ABCP nội tiếp nên ta có: (1) Ta lại có: (hai góc phía CD//AB) (2) Từ (1) (2) suy ra: Vậy ABCP hình thang cân, suy AP = BC (3) Mà BC = AD (hai cạnh đối hình bình hành) (4) Từ (3) (4) suy AP = AD (đpcm) Bài 60 (trang 90 SGK Toán Tập 2) Xem hình 48 Chứng minh QR // ST Xem gợi ý đáp án Kí hiệu hình vẽ +) Ta có tứ giác ISTM nội tiếp đường trịn nên: Mà nên suy (kề bù) (1) +) Ta có tứ giác IMPN nội tiếp đường trịn nên: Mà nên suy (kề bù) (2) +) Ta có tứ giác INQS nội tiếp đường tròn nên: Mà (kề bù) nên suy Từ (1), (2), (3) suy Do QR // ST (3) (hai góc vị trí so le trong)