Đang tải... (xem toàn văn)
Hệ thức lượng trong tam giác và cách giải bài tập A Lí thuyết Định lý cosin Cho tam giác ABC Ta có 2 2 2BC AB AC 2AB AC cosA= + − 2 2 2AC AB BC 2AB BCcosB= + − 2 2 2AB AC BC 2AC BCcosC= + − Hệ quả 2[.]
Hệ thức lượng tam giác cách giải tập A Lí thuyết - Định lý cosin: Cho tam giác ABC Ta có: BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AC.cosA AC2 = AB2 + BC2 − 2AB.BCcosB AB2 = AC2 + BC2 − 2AC.BCcosC Hệ quả: AB2 + AC2 − BC2 cos A = 2AB.AC AB2 + BC2 − AC2 cos B = 2AB.BC AC2 + BC2 − AB2 cosC = 2AC.BC - Định lí sin: Cho tam giác ABC, R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: BC sin A = AB sin C = AC sin B = 2R - Độ dài đường trung tuyến: Gọi ma ,mb ,mc độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC, ta có: AC2 + AB2 BC2 ma = − BC2 + AB2 AC2 mb = − AC2 + BC2 AB2 mc = − - Diện tích tam giác: 1 S = BC.h a = AC.h b = AB.h c ( h a , h b , h c độ dài đường cao kẻ từ 2 đỉnh A, B, C ) 1 S = AB.AC.sin A = AC.BC.sin C = AB.BC.sin B 2 AB.AC.BC = p.r ( R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác, r bán kính 4R đường tròn nội tiếp tam giác p nửa chu vi tam giác ) S= S = p(p − BC)(p − AB)(p − AC) ( p nửa chu vi tam giác ) - Ôn lại hệ thức lượng tâm giác vuông, tỉ số lượng giác góc nhọn cơng thức tính diện tính tam giác, tứ giác đặc biệt B Các dạng Dạng 1: Tính tốn đại lượng Phương pháp giải: Vận dụng định lí sin, cosin, trung tuyến, diện tích quan hệ đại lượng cần tính, dạng tam giác đặc biệt Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 1cm , AC = 2cm A = 120o Tính BC Lời giải: Áp dụng định lí cosin ta có: BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AC.cosA BC2 = 12 + 22 − 2.1.2.cos120o −1 BC = + − 4. = BC = (cm) Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 23, AC = 24, B = 60o Tính góc C Lời giải: Áp dụng định lí sin ta có: AB sin C = AC sin B AB.sin B 23.sin 60o 23 sin C = = = AC 24 48 C 56o6' Dạng 2: Chứng minh hệ thức, tính giá trị biểu thức: Phương pháp giải: Vận dụng phương pháp chứng minh đẳng thức: biến đổi cho hai vế nhau, từ giả thiết ban đầu dẫn đến đẳng thức cơng nhận đúng,… Sử dụng định lí tam giác vuông, tam giác thường, hệ thức lượng tam giác Ví dụ minh họa: AB2 + AC2 − BC2 Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích S Chứng minh cot A = 4S Lời giải: AB2 + AC2 − BC2 Xét VT = 4S Áp dụng định lí cosin ta có: AB2 + AC2 − BC2 cos A = 2AB.AC cosA.2AB.AC = AB2 + AC2 − BC2 Áp dụng cơng thức tính diện tích ta có: S= AB.AC.BC 4R VT = 2cos A.AB.AC 2R.cos A = AB.AC.BC BC 4R Áp dụng định lí sin ta có: BC sin A = 2R VT = cos A sin A sin A = 2R BC = cot A = VP Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, chứng minh BD2 + AC2 = 2(AB2 + AD ) Lời giải: Ta có O tâm hình bình hành ABCD O trung điểm AC BO trung tuyến tam giác ABC ứng với cạnh AC BC2 + BA AC2 BO = − 4BO = 2(BC2 + BA ) − AC2 (1) Mà O trung điểm BD BD = 2BO BD2 = 4BO2 (1) BD = 2(CB2 + AB2 ) − AC2 BD2 + AC2 = 2(CB2 + AB2 ) BD2 + AC2 = 2(AB2 + AD ) ( AD = CB ) (điều cần phải chứng minh) Dạng 3: Chứng minh tam giác Phương pháp giải: Áp dụng hệ thức lượng tam giác, định lí, cơng thức diện tích, đường trung tuyến bất đẳng thức, đẳng thức A = 90o Tam giác ABC vuông A cos A = BC = AB2 + AC AB = AC B = C Tam giác ABC cân A sin B = sin C cos B = cosC AB = AC = BC Tam giác ABC A = B = C o o o AB = AC;A = 60 (B = 60 )(C = 60 ) Tam giác ABC nhọn có ba góc nhọn Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC Chứng minh A nhọn BC2 AB2 + AC2 Lời giải: Áp dụng định lí cosin ta có: AB2 + AC2 − BC2 cos A = 2AB.AC Mà AB.AC lớn nên cos A dấu với biểu thức ( AB2 + AC2 − BC2 ) A nhọn 0o A 90o cos A AB2 + AC2 − BC2 BC2 AB2 + AC2 Bài 2: Cho tam giác ABC có nửa chu vi p diện tích S Xét dạng tam giác ABC biết S = p.(p – BC) Lời giải: Áp dụng cơng thức tính diện tích ta có: S = p(p − BC)(p − AB)(p − AC) p(p − BC)(p − AB)(p − AC) = p(p − BC) (p − AB)(p − AC) = p(p − BC) (p − AB)(p − AC) = p.(p − BC) AB + AC + BC AB + AC + BC − AB − AC 2 = AB + AC + BC AB + AC + BC − BC 2 (AC + BC − AB)(AB + BC − AC) = (AB + AC + BC)(AB + AC − BC) BC2 − (AC − AB)2 = (AB + AC)2 − BC2 BC2 − (AC2 − 2AC.AB + AB2 ) = AB2 + 2AB.AC + AC2 − BC2 2BC2 = 2AB2 + 2AC2 BC2 = AC2 + AB2 Vậy tam giác ABC tam giác vuông A Dạng 4: Giải tam giác toán thực tế Phương pháp giải: Giải tam giác tìm số đo cạnh, góc cịn lại tam giác biết giải thiết, áp dụng hệ thức lượng, định lí, cơng thức tính diện tích, đường trung tuyến,… Bài toán thực tế giải cách chuyển toán tam giác để xác định số đo yêu cầu Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = 17cm, B = 44o , C = 75o Tính A AB, AC Lời giải: Ta có: A + B + C = 180o A = 180o − B − C = 180o − 44o − 75o = 61o Áp dụng định lí sin ta có: BC.sin C 17.sin 75o BC AB = AB = sin C = sin A AB 18,77(cm) sin 61o sin A AC 13,5(cm) BC.sin B 17.sin 440 AC = BC AC = = sin B sin A sin 61o sin A Bài 2: Một ô tô từ A đến C A C núi cao nên ô tô phải chạy thành hai đoạn đường từ A đến B từ B đến C, đoạn đường tạo thành tam giác ABC có AB =15km, BC = 10km góc B = 105o Giả sử người ta khoan hầm qua núi tạo đường thẳng từ A đến C, tính độ dài đoạn đường Lời giải: Áp dụng định lí cosin ta có: AC2 = AB2 + BC2 − 2AB.BCcosB AC2 = 152 + 102 − 2.15.10.cos105o 402,65 AC = 402,65 = 20,07 (km) C Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 4cm , AC = 5cm cos A = Tính độ dài cạnh BC Đáp án: BC = 17cm Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 4cm C = 30o Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Đáp án: R = 4cm Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = Tính diện tích tam giác ABC Đáp án: S = Bài 4: Cho tam giác ABC Chứng minh A tù BC2 AB2 + AC2 Đáp án: A tù 90o A 180o cosA BC2 AB2 + AC2 Bài 5: Cho tam giác ABC Chứng minh cos A p(p − BC) = AB.AC Đáp án: Dựng hình vẽ để chứng minh: AD = AB, I trung điểm BD Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, B = 40o ,C = 50o Tính AC, BC Đáp án: AC = 4,19cm ; BC = 6,53cm Bài 7: Cho tam giác ABC có r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC AB2 + AC2 + BC2 = 36r Xét dạng tam giác ABC Đáp án: ABC tam giác Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH Biết AH = AB.sin A Xét dạng tam giác ABC Đáp án: Tam giác ABC cân C Bài 9: Cho ba đường AB, BC, CA có AB = 300m, BC = 450m AC = 350m Một hồ nước nằm Bạn Hùng đứng bờ hồ điểm M nằm trung điểm BC Bạn muốn bơi qua hồ đến vị trí điểm A bên hồ để nhà Bằng kiến thức học em tính tốn đưa lời khuyên cho bạn Hùng có nên bơi qua hồ không Biết bạn hùng bơi tối đa 200m Đáp án: Không nên (AM = 235,85m) Bài 10: Từ vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30o , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15o30' Hỏi núi cao mét so với mặt đất? Đáp án: 134,7m ... 2AB2 + 2AC2 BC2 = AC2 + AB2 Vậy tam giác ABC tam giác vuông A Dạng 4: Giải tam giác toán thực tế Phương pháp giải: Giải tam giác tìm số đo cạnh, góc cịn lại tam giác biết giải thiết, áp dụng... 152 + 102 − 2.15 .10. cos105o 402,65 AC = 402,65 = 20,07 (km) C Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 4cm , AC = 5cm cos A = Tính độ dài cạnh BC Đáp án: BC = 17cm Bài 2: Cho tam giác... 4,19cm ; BC = 6,53cm Bài 7: Cho tam giác ABC có r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC AB2 + AC2 + BC2 = 36r Xét dạng tam giác ABC Đáp án: ABC tam giác Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH