Tích của vectơ với một số A Lí thuyết Tích của vectơ với một số Cho số k 0 và vectơ a 0 Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là ka , cùng hướng với a nếu k > 0, ngược lại, ngược hướng với[.]
Tích vectơ với số A Lí thuyết - Tích vectơ với số: Cho số k vectơ a Tích vectơ a với số k vectơ, kí hiệu ka , hướng với a k > 0, ngược lại, ngược hướng với a k < có độ dài k a - Tính chất: Với hai vectơ a b bất kì, với số h k, ta có: +) k(a + b) = ka + kb +) (h + k)a = + ka +) h(ka) = (hk)a +) 1.a = a;(−1)a = −a - Quy tắc trung điểm: Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có: MA + MB = 2MI - Quy tắc trọng tâm: Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có: MA + MB + MC = 3MG - Điều kiện để hai vectơ phương: Cho hai vectơ a b ( b ) , a b phương tồn số k để a = kb - Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có tồn số k khác để AB = kAC - Chú ý: Đối với vectơ – không : 0.a = ; k.0 = B Các dạng Dạng 1: Tính độ dài vectơ biết tích vectơ với số Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa tích vectơ với số, quy tắc tổng, hiệu vectơ hệ thức lượng, định lý Py-ta-go để tính độ dài vectơ Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC cạnh a Biết M trung điểm BC Tính độ dài vectơ CB + MA Giải: Ta có: CM = CB (do M trung điểm BC) B, C, M thẳng hàng CB = CM CB + MA = CM + MA = CA CB + MA = CA = CA = a (ABC tam giác cạnh a) Bài 2: Cho hình vng ABCD cạnh 2a tâm O Tính độ dài vectơ Giải: 1 BD + AC 2 +) Vì B, O, D thẳng hàng OD = BD (do O tâm hình vng ABCD) OD = BD +) Vì A, O, C thẳng thàng OC = AC (do O tâm hình vng ABCD) OC = AC +) Ta có: 1 BD + AC = OD + OC 2 +) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: OD + OC = OM +) Xét hình bình hành OCMD có: COD = 90o OC = OD OCMD hình vng +) Xét tam giác DAB vuông A Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: BD2 = AD2 + AB2 BD = (2a) + (2a) = 8a BD = 8a = 2a 1 OD = OC = BD = 2a = a 2 +) Xét tam giác ODM vuông D DM = OC = a ( OCMD hình vng) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: OM = OD2 + DM OM2 = (a 2)2 + (a 2)2 = 4a OM = 4a = 2a 1 BD + AC = OM = OM = 2a 2 Dạng 2: Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước Phương pháp giải: Biến đổi đẳng thức cho dạng AM = u A điểm cố định, u cố định dựng điểm M điểm thỏa mãn AM = u Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A B Tìm điểm C cho 3CA + 2CB = Giải: 3CA + 2CB = 3CA + 2(CA + AB) = 5CA + 2AB = 5CA = −2AB 5CA = 2BA CA = BA Vậy ta dựng điểm C thỏa mãn C, A, B thẳng hàng CA = AB Bài 2: Cho tam giác ABC Tìm điểm K cho: KA + KB + 2KC = Giải: +) Ta có: KA + KB + 2KC = KA + KB = −2KC KA + KB = 2CK (1) +) Gọi I trung điểm AB KA + KB = 2KI (2) +) Từ (1) (2) 2CK = 2KI CK = KI Vậy ta dựng điểm K trung điểm CI C Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC cạnh a, I trung điểm BC Tính độ dài vectơ BA − BC a Đáp án: BA − BC = 2 Bài 2: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Biết K trung điểm OD Tính 1 độ dài vectơ DB + AC Đáp án: 1 a 10 DB + AC = 4 Bài 3: Cho tam giác vng ABC có đường cao AH Biết AB = AC = a Tính độ dài vectơ BC + CA Đáp án: a BC + CA = 2 Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O Cho M điểm có vị trí tùy ý Tính độ dài vectơ u = 4MA − 3MB + MC − 2MD Đáp án: u = a Bài 5: Cho tam giác ABC, có điểm E AB cho EB = AB điểm F trung điểm BC Biết BJ = AC − AB Dựng điểm J Đáp án: Bài 6: Cho tam giác ABC Dựng điểm O cho OA + OB + OC = Đáp án: O trọng tâm tam giác ABC Bài 7: Cho tứ giác ABCD Biết M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Dựng điểm I cho IM + IN + IP + IQ = Đáp án: Bài 8: Cho tam giác ABC Tìm điểm J cho JA − JB − 2JC = Biết I trung điểm AB Đáp án: Bài 9: Cho điểm A, B, C, M Tìm điểm C cho MA + MB − 2MC = Đáp án: C trung điểm AB Bài 10: Cho điểm M, P, Q Tìm điểm M cho MQ = 3QN − 3QM Đáp án: ... 2: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Biết K trung điểm OD Tính 1 độ dài vectơ DB + AC Đáp án: 1 a 10 DB + AC = 4 Bài 3: Cho tam giác vng ABC có đường cao AH Biết AB = AC = a Tính độ dài vectơ BC... Đáp án: Bài 9: Cho điểm A, B, C, M Tìm điểm C cho MA + MB − 2MC = Đáp án: C trung điểm AB Bài 10: Cho điểm M, P, Q Tìm điểm M cho MQ = 3QN − 3QM Đáp án: