Phương trình đường tròn và cách giải bài tập A Lí thuyết tổng hợp 1 Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R Ta có phương trì[.]
Phương trình đường trịn cách giải tập A Lí thuyết tổng hợp Phương trình đường trịn có tâm bán kính cho trước: Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C) tâm I(a; b), bán kính R Ta có phương trình đường trịn: (x − a) + (y − b) = R - Nhận xét: + Phương trình đường trịn (x − a) + (y − b) = R viết dạng x + y − 2ax − 2by + c = c = a + b − R + Ngược lại, phương trình x + y − 2ax − 2by + c = phương trình đường tròn a + b − c Khi đường trịn có tâm I(a; b) bán kính R = a + b2 − c Phương trình tiếp tuyến đường tròn: Cho điểm M (x ; y ) nằm đường tròn (C) tâm I (a; b) bán kính R Gọi đường thẳng tiếp tuyến với (C) M Phương trình đường tiếp tuyến là: (x0 − a)(x − x ) + (y0 − b)(y − y0 ) = B Các dạng Dạng 1: Tìm tâm bán kính đường trịn Phương pháp giải: Cách 1: Dựa trực tiếp vào phương trình đề cho: Từ phương trình (x − a) + (y − b) = R ta có: tâm I (a; b), bán kính R Từ phương trình x + y − 2ax − 2by + c = ta có: tâm I (a; b), bán kính R = a + b2 − c Cách 2: Biến đổi phương trình x + y − 2ax − 2by + c = phương trình (x − a) + (y − b) = R để tìm tâm I (a; b) , bán kính R Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho đường trịn có phương trình x + y − 6x + 10y − = Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn Lời giải: Gọi tâm đường trịn I (a; b) bán kính R ta có: −2ax = −6x a = I(3; −5) − 2by = 10y b = − R = a + b2 − c = 32 + (−5)2 − (−2) = Vậy đường trịn có tâm I (3; -5) bán kính R = Bài 2: Cho đường trịn có phương trình 4x + 4y − 4x + 8y − 59 = Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn Lời giải: Gọi tâm đường trịn I (a; b) bán kính R ta có: 4x + 4y − 4x + 8y − 59 = x + y − x + 2y − 59 =0 x − x + y + 2y − 59 =0 x2 − x + + y + 2y + − 16 = 1 x − + (y + 1)2 = 16 2 1 x − + (y + 1)2 = 42 2 1 Vậy đường trịn có tâm I ; −1 bán kính R = 2 Dạng 2: Cách viết dạng phương trình đường trịn Phương pháp giải: Cách 1: - Tìm tọa độ tâm I (a; b) đường tròn (C) - Tìm bán kính R đường trịn (C) - Viết phương trình đường trịn dạng (x − a) + (y − b) = R Cách 2: - Giả sử phương trình đường trịn có dạng x + y − 2ax − 2by + c = - Từ đề bài, thiết lập hệ phương trình ẩn a, b, c - Giải hệ tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn Chú ý: Khi đường tròn (C) tâm I qua hai điểm A, B IA2 = IB2 = R Ví dụ minh họa: Bài 1: Lập phương trình đường trịn (C) tâm I (1; -3) qua điểm O (0; 0) Lời giải: Đường tròn (C) qua điểm O (0; 0) nên ta có: IO = R = (0 − 1)2 + (0 + 3) = 10 Đường trịn (C) có tâm I (1; -3) bán kính R = trịn: (x − 1) + (y + 3) = 10 10 , ta có phương trình đường Bài 2: Lập phương trình đường trịn (C) biết đường trịn qua ba điểm A (-1; 3), B (3; 5) C (4; -2) Lời giải: Giả sử phương trình đường trịn có dạng x + y − 2ax − 2by + c = Đường tròn qua điểm A (1; 1) nên ta có phương trình: (−1) + 32 − 2a.(−1) − 2b.3 + c = 2a − 6b + c = −10 (1) Đường tròn qua điểm B (3; 5) nên ta có phương trình: 32 + 52 − 2a.3 − 2b.5 + c = −6a − 10b + c = −34 (2) Đường tròn qua điểm C (4; -2) nên ta có phương trình: 42 + (−2) − 2a.4 − 2b.(−2) + c = −8a + 4b + c = −20 (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: a = 2a − 6b + c = −10 −6a − 10b + c = −34 b = −8a + 4b + c = −20 −20 c = Ta có phương trình đường tròn: 20 x + y − x − y − =0 3 x + y2 − 14 20 x− y− =0 3 Dạng 3: Vị trí tương đối hai đường tròn, đường tròn đường thẳng Phương pháp giải: - Vị trí tương đối hai đường tròn: Cho hai đường tròn ( C1 ) có tâm I1 , bán kính R đường trịn ( C ) có tâm I , bán kính R + Nếu I1I > R + R hai đường trịn khơng có điểm chung + Nếu I1I = R + R hai đường tròn tiếp xúc + Nếu I1I = R1 − R hai đường trịn tiếp xúc + Nếu R − R < I1I < R + R hai đường trịn cắt hai điểm (với R1 R ) - Vị trí tương đối đường trịn đường thẳng: Cho đường tròn (C) tâm I ( x ; y ) có phương trình (x − a) + (y − b) = R x + y − 2ax − 2by + c = đường thẳng có phương trình ax + by + c = + Tính khoảng cách d (I, ) từ tâm I đến đường thẳng theo công thức: d(I, ) = ax + by0 + c a + b2 + Tính bán kính R đường trịn (C) + So sánh d (I, ) với R : Nếu d (I, ) = R đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) Nếu d (I, ) > R đường thẳng khơng giao với đường trịn (C) Nếu d (I, ) < R đường thẳng giao với đường tròn (C) điểm phân biệt Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho đường trịn (C) có phương trình x + y = 32 Xác định vị trí tương đối đường thẳng d’: 3x + 5y – = đường trịn (C) Lời giải: Xét phương trình đường trịn x + y = 32 có: Tâm I (0; 0) Bán kính R = 32 = Xét phương trình đường thẳng: d’: 3x + 5y – = Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d’ : d (I, d’) = 3.0 + 5.0 − 32 + 52 = 34 < R=4 34 Vậy đường thẳng d’ cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình ( x − 1) + ( y − 1) = 25 đường tròn 2 (C’) có phương trình ( x − ) + ( y − ) = 18 Xác định vị trí tương đối hai đường 2 trịn (C) (C’) Lời giải: Xét phương trình đường trịn (C) ( x − 1) + ( y − 1) = 25 , ta có: 2 Tâm I1 (1;1) , bán kính R1 = 25 = Xét phương trình đường trịn (C’) ( x − ) + ( y − ) = 18 , ta có: Tâm I (6;5) , bán kính R = 18 = Ta có: I1I2 = (6 − 1)2 + (5 − 1)2 = 41 R1 + R = + R1 − R = − 2 R1 − R I1I2 R1 + R Vậy hai đường tròn (C) (C’) cắt hai điểm Dạng 4: Tiếp tuyến với đường tròn Phương pháp giải: - Tiếp tuyến điểm M (x ; y ) thuộc đường tròn Ta có: + Nếu phương trình đường trịn có dạng x + y − 2ax − 2by + c = phương trình tiếp tuyến là: xx0 + yy0 − a(x + x ) − b(y + y0 ) + c = + Nếu phương trình đường trịn có dạng (x − a) + (y − b) = R phương trình tiếp tuyến là: (x − a)(x − a) + (y − b)(y − b) = R - Tiếp tuyến vẽ từ điểm N (x ; y ) cho trước nằm ngồi đường trịn + Viết phương trình đường thẳng qua điểm N: y − y0 = m(x − x0 ) mx − y − mx + y0 = (1) + Cho khoảng cách từ tâm I đường tròn (C) tới đường thẳng d R, ta tính m thay m vào phương trình (1) ta phương trình tiếp tuyến Ta ln tìm hai đường tiếp tuyến - Tiếp tuyến d song song với đường thẳng có hệ số góc k + Phương trình đường thẳng d có dạng: y = kx + m (m chưa biết) kx – y + m = (2) + Cho khoảng cách từ tâm I đến d R, ta tìm m Thay vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến Ví dụ minh họa: Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) điểm M (3; 4) biết đường trịn có phương trình (x − 1) + (y − 2) = Lời giải: Xét phương trình đường trịn (C) có: Tâm I (1; 2) bán kính R = = 2 Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M (3; 4) là: (3 – 1)(x – 3) + (4 – 2)(y – 4) = 3x – – x + + 4y – 16 – 2y + = 2x + 2y – 14 = x+y–7=0 Bài 2: Cho đường trịn (C) có phương trình: x + y − 4x + 8y + 18 = Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A (1; 1) Lời giải: Xét phương trình đường trịn: x + y − 4x + 8y + 18 = Ta có tâm I (2; -4) bán kính R = 22 + (−4)2 − 18 = Xét điểm A (1; 1) có: 12 + 12 − 4.1 + 8.1 + 18 Điểm A khơng nằm đường trịn (C) Gọi phương trình đường thẳng qua điểm A (1; 1) với hệ số góc k : y = k(x – 1) + kx – y – k + = Để đường thẳng tiếp tuyến đường trịn (C) khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng phải bán kính R Ta có: d (I, ) = R 2k + − k + k +1 = k + = 2(k + 1) k + 10k + 25 = 2k + k − 10k − 23 = k = − k = + Với k = − ta có phương trình tiếp tuyến (C) là: y = (5 − 3)x − + + y = (5 − 3)x − + Với k = + ta có phương trình tiếp tuyến (C) là: y = (5 + 3)x − − + y = (5 + 3)x − − C Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm tâm bán x + y − 2x − 2y − = kính đường trịn có phương trình: Đáp án: Tâm I (1; 1) R = Bài 2: Tìm tâm bán kính đường trịn có phương trình: (x − 2) + (y − 3) = 18 Đáp án: Tâm I (2; 3) R = Bài 3: Cho phương trình: x + y − 4mx − 2my + 2m + = Tìm m để phương trình phương trình đường trịn Đáp án: m > m −3 Bài 4: Viết phương trình đường trịn tâm I (1; 2) qua điểm B (5; 0) Đáp án: (x − 1) + (y − 2) = 20 Bài 5: Viết phương trình đường trịn qua điểm A (1; 4), B (8; 3) C (5; 0) Đáp án: x + y − 9x − 7y + 20 = Bài 6: Cho đường trịn (C) có phương trình: x + y − = Xác định vị trí tương đối đường trịn với đường thẳng d: x + y – = Đáp án: d cắt (C) hai điểm phân biệt Bài 7: Cho hai đường trịn: (C) có phương trình x + y − 2x + 4y − = (C’) có phương trình x + y + 2x − 2y − 14 = Xét vị trí tương đối hai đường tròn Đáp án: (C) cắt (C’) hai điểm phân biệt Bài 8: Viết phương trình đường trịn qua điểm A (2; 1) tiếp xúc với hai trục Ox, Oy Đáp án: (x − 1) + (y − 1) = Bài 9: Cho phương trình đường trịn (C): (x − 1)2 + (y − 1) = 13 Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) điểm B (3; 4) Đáp án: d: 2x + 3y – 18 = Bài 10: Cho phương trình đường trịn (C): (x − 7) + (y − 1) = 10 Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn (C) qua điểm A (9; 5) Đáp án: d: x – 3y + = d’: 3x + y – 32 = ... qua điểm O (0; 0) nên ta có: IO = R = (0 − 1)2 + (0 + 3) = 10 Đường trịn (C) có tâm I (1; -3) bán kính R = trịn: (x − 1) + (y + 3) = 10 10 , ta có phương trình đường Bài 2: Lập phương trình đường... phương trình x + y − 6x + 10y − = Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn Lời giải: Gọi tâm đường trịn I (a; b) bán kính R ta có: −2ax = −6x a = I(3; −5) − 2by = 10y b = − R = a + b2... (−1) + 32 − 2a.(−1) − 2b.3 + c = 2a − 6b + c = ? ?10 (1) Đường tròn qua điểm B (3; 5) nên ta có phương trình: 32 + 52 − 2a.3 − 2b.5 + c = −6a − 10b + c = −34 (2) Đường tròn qua điểm C (4; -2)