Phương trình đường elip và cách giải bài tập A Lí thuyết tổng hợp Định nghĩa Cho hai điểm cố định 1F và 2F và một độ dài không đổi 2a lớn hơn 1 2FF Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho 1[.]
Phương trình đường elip cách giải tập A Lí thuyết tổng hợp - Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 F2 độ dài không đổi 2a lớn F1F2 Elip tập hợp điểm M mặt phẳng cho FM + F2M = 2a - Các thành phần Elip: Trong mặt phẳng Oxy + Hai tiêu điểm: F1 (-c; 0) F2 (c; 0) + Bốn đỉnh: A (-a; 0), A (a; 0), B1 (0; -b) B (0; b) + Độ dài trục lớn: A1A = 2a + Độ dài trục nhỏ: B1B = 2b + Tiêu cự: F1F2 = 2c - Phương trình tắc elip: Cho elip (E) có tiêu điểm F1 F2 Điểm M thuộc elip FM + F2M = 2a Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho F1 (-c; 0) F2 (c; 0) Khi ta có: x y2 M (x; y) (E) + = (1) với b2 = a − c2 a b Phương trình (1) phương trình tắc elip - Hình dạng elip: Elip có hai trục đối xứng Ox, Oy có tâm đối xứng gốc toạ độ - Liên hệ đường tròn đường elip: + Từ hệ thức b2 = a − c2 ta thấy tiêu cự elip nhỏ b gần a, tức trục nhỏ elip gần trục lớn Lúc elip có dạng gần đường tròn + Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x + y = a Với x ' = x điểm M (x; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’; y’) cho : b với y ' = y a < b < a) tập hợp điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình: (0 x '2 y'2 + = elip (E) Khi ta nói đường trịn (C) co thành elip (E) a b2 B Các dạng Dạng 1: Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ Elip Phương pháp giải: x y2 Cho elip (E) có phương trình + = a b - Trục lớn (E) nằm Ox: A1A = 2a - Trục nhỏ (E) nằm Oy: B1B = 2b - Tiêu cự (E): F1F2 = 2c = a − b - Tiêu điểm (E): F1 (-c; 0) F2 (c; 0) với c = a − b2 - Tâm sai (E): e = c với c = a − b2 a Ví dụ minh họa: Bài 1: Xác định độ dài trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai elip (E) có phương x y2 + = trình: 25 Lời giải: x y2 + = , ta có: Xét phương trình elip (E) : 25 a = 25 a = b2 = b = c = a − b2 = 25 − = 16 = Từ ta có: Tiêu điểm (E): F1 (-4; 0) F2 (4; 0) Tiêu cự (E): F1F2 = 2.4 = Tâm sai (E): e = Trục lớn (E) nằm Ox: A1A2 = 2.5 = 10 Trục nhỏ (E) nằm Oy: B1B2 = 2.3 = x y2 + = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục Bài 2: Cho elip có phương trình 100 64 lớn, trục nhỏ elip Lời giải: Xét phương trình elip : x y2 + = 1, ta có: 100 64 a = 100 a = 10 b2 = 64 b = c = a − b2 = 100 − 64 = 36 = Từ ta có: Tiêu điểm (E): F1 (-6; 0) F2 (6; 0) Tiêu cự (E): F1F2 = 2.6 = 12 Tâm sai (E): e = = 10 Trục lớn (E) nằm Ox: A1A2 = 2.10 = 20 Trục nhỏ (E) nằm Oy: B1B2 = 2.8 = 16 Dạng 2: Viết phương trình tắc Elip Phương pháp giải: Từ thông tin đề cho, ta áp dụng hệ thức: + Hai tiêu điểm: F1 (-c; 0) F2 (c; 0) + Bốn đỉnh: A (-a; 0), A (a; 0), B1 (0; -b) B (0; b) + Độ dài trục lớn: A1A = 2a + Độ dài trục nhỏ: B1B = 2b + Tiêu cự: F1F2 = 2c + Tâm sai (E): e = c 1 a + b2 = a − c2 x y2 Từ tìm a b để viết phương trình tắc elip: + = a b Ví dụ minh họa: Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn 10, độ dài trục nhỏ Lời giải: Gọi đỉnh elip là: A (-a; 0), A (a; 0), B1 (0; -b) B (0; b) Ta có độ dài trục lớn: A1A2 = 2a = 10 a = Ta có độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b = b = x y2 x y2 + = Ta có phương trình tắc elip: + = 25 Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự 16 tâm sai 0,8 Lập phương trình tắc elip (E) Lời giải: Gọi tiêu điểm elip là: F1 (-c; 0) F2 (c; 0) Ta có tiêu cự: FF = 2c = 16 c = Ta có tâm sai: e = c = 0,8 = 0,8 a = 10 a a Có: b2 = a − c2 = 102 − 82 = 36 b = Từ ta có phương trình tắc elip: x y2 x y2 + =1 + = 102 62 100 36 Dạng 3: Lập phương trình Elip qua điểm qua điểm thỏa mãn điều kiện Phương pháp giải: - Lập phương trình elip (E) qua hai điểm A B: x y2 + Gọi phương trình tắc elip (E): + = (a > b > 0) a b + Do hai điểm A B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm vào phương trình (E) ta hai phương trình ẩn a ,b2 + Giải hệ phương trình ta a ,b2 Phương trình tắc elip - Lập phương trình tắc elip (E) qua điểm M thỏa mãn điều kiện tiêu cự ; độ dài trục lớn, trục nhỏ; tâm sai x y2 + Gọi phương trình tắc elip (E) : + = (a > b > 0) a b + Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm vào phương trình (E) ta phương trình ẩn a ,b2 + Từ điều kiện đề thiết lập phương trình ẩn a ,b2 , với a − b2 = c2 Kết hợp ba phương trình để tìm a ,b2 Phương trình tắc elip ( E) Ví dụ minh họa: Bài 1: Lập phương trình tắc elip (E) biết tiêu điểm F1 (− 3;0) 3 elip qua điểm A 1; Lời giải: x y2 Gọi phương trình tắc elip (E) là: + = (a > b > 0) a b Một tiêu điểm F1 (− 3;0) Tiêu điểm lại F2 ( 3;0) Tiêu cự: FF = 2c = c = a − b2 = c2 = a = + b (1) 3 Biết elip qua điểm A 1; ta có: 3 12 + = + = (2) 2 a b a 4b Thế (1) vào (2) ta có: + =1 3+ b 4b 4b + + 3b = 4b (3 + b ) 7b2 + = 12b + 4b 4b + 5b − = b2 = −9 b = Loại b = −9 b > 0) a b2 3 12 3 = + = (1) Biết elip qua điểm M 1; ta có: + 2 a b a 4b Biết elip qua điểm N (0; 1) ta có: Thế (2) vào (1) ta có: 1 + = = b = (2) a b b + = 1 a2 = a 4.1 Phương trình tắc elip là: x2 + y2 = Dạng 4: Tìm giao điểm đường thẳng Elip Phương pháp giải: x y2 + Phương trình elip có dạng: + = đường thẳng : y = mx + n a b + Ta xét phương trình: x (mx + n) + = (*) Ta có trường hợp: a2 b2 TH1: (*) có nghiệm số giao điểm (đường thẳng cắt elip) TH2: (*) có nghiệm số giao điểm (đường thẳng tiếp xúc elip) TH3: (*) vơ nghiệm số giao điểm (đường thẳng elip khơng có điểm chung) Ví dụ minh họa: x y2 + = đường thẳng d : 3x + 4y − 12 = Có 16 giao điểm đường thẳng d elip (E)? Lời giải: 3x x y2 = ta Ta có d : 3x + 4y − 12 = y = − , thay vào phương trình ( E ) : + 16 3x 3− x x ( x − 4) + =1 + =1 16 16 16 2x − 8x = x = y = x = y = Vậy d cắt (E) hai điểm phân biệt A(0; 3), B(4; 0) Bài 1: Cho elip ( E ) : x y2 = đường thẳng d : x − 2y + = Số giao điểm Bài 2: Cho elip (E) : + đường thẳng d elip (E) bao nhiêu? Lời giải Tọa độ giao điểm elip đường thẳng nghiệm hệ: x y2 2 =1 + x + 2y = y − 2y − = 8 x = 2y − x = 2y − x − 2y + = Có nghiệm y nên có nghiệm x có giao điểm C Bài tập tự luyện Bài 1: Xác định tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ elip có phương trình: x2 + y = 49 Đáp án: A1A2 = 14;B1B2 = 2;FF =8 x y2 + = Bài 2: Xác định tiêu điểm, tâm sai elip có phương trình: 64 16 Đáp án: F1 (−4 3;0),F2 (4 3;0),e = x y2 Bài 3: Xác định tiêu cự, tâm sai elip có phương trình: + = Đáp án: F1F2 = 2,e = 2 Bài 4: Viết phương trình tắc elip có độ dài trục lớn 10 độ dài trục nhỏ x y2 + =1 Lời giải: 25 Bài 5: Viết phương trình tắc elip có độ dài trục lớn 20 có tiêu điểm F2 (3; 0) x y2 + =1 Đáp án: 100 91 Bài 6: Viết phương trình tắc elip có độ dài trục nhỏ 12 có tiêu điểm F1 (-2; 0) Đáp án: x y2 + =1 40 36 Bài 7: Viết phương trình tắc elip qua điểm A(3; 0) có tiêu điểm F1 (-2; 0) x y2 + =1 Đáp án: Bài 8: Viết phương trình tắc elip qua điểm A(0; 5) có độ dài tiêu cự x y2 + =1 Đáp án: 34 25 Bài 9: Tìm phương trình tắc elip qua điểm A(6; 0) tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn x y2 + =1 Đáp án: 36 27 Bài 10: Lập phương trình tắc elip, biết elip qua hai điểm A(7; 0) B(0; 3) x y2 =1 Đáp án: + 49 ... tắc elip - Hình dạng elip: Elip có hai trục đối xứng Ox, Oy có tâm đối xứng gốc toạ độ - Liên hệ đường tròn đường elip: + Từ hệ thức b2 = a − c2 ta thấy tiêu cự elip nhỏ b gần a, tức trục nhỏ elip. .. A1A2 = 2.5 = 10 Trục nhỏ (E) nằm Oy: B1B2 = 2.3 = x y2 + = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục Bài 2: Cho elip có phương trình 100 64 lớn, trục nhỏ elip Lời giải: Xét phương trình elip : x y2... + = 1, ta có: 100 64 a = 100 a = 10 b2 = 64 b = c = a − b2 = 100 − 64 = 36 = Từ ta có: Tiêu điểm (E): F1 (-6; 0) F2 (6; 0) Tiêu cự (E): F1F2 = 2.6 = 12 Tâm sai (E): e = = 10 Trục lớn (E)