Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập A Lí thuyết tổng hợp 1 Các vectơ của đường thẳng +) Vectơ chỉ phương Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu u 0 và giá của u song son[.]
Phương trình đường thẳng cách giải tập A Lí thuyết tổng hợp Các vectơ đường thẳng: +) Vectơ phương: Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng u giá u song song trùng với +) Vectơ pháp tuyến: Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng n n vng góc với vectơ phương +) Nhận xét: - Nếu u vectơ phương đường thẳng k u ( k ) vectơ phương - Nếu n vectơ pháp tuyến đường thẳng k n ( k ) vectơ pháp tuyến - Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng - Một đường thẳng có vơ số vectơ phương, vơ số vectơ pháp tuyến Phương trình tổng qt đường thẳng: +) Định nghĩa: Phương trình : ax + by + c = ( a + b ) phương trình tổng quát đường thẳng nhận n (a; b) làm vectơ pháp tuyến +) Các dạng đặc biệt: : ax + c = , a song song với Oy trùng với Oy a = c = : ay + c = , a song song với Ox trùng với Ox a = c = : ax + by = , a + b2 qua gốc tọa độ O(0; 0) Phương trình tham số đường thẳng: x = x + at +) Định nghĩa: Hệ , a + b phương trình tham số đường y = y0 + bt thẳng qua điểm A ( x ; y ) nhận vectơ u(a;b) làm vectơ phương, với t tham số +) Chú ý: Với t thay vào phương trình tham số ta điểm M (x; y) Một đường thẳng có vơ số phương trình tham số x − x y − y0 = ( a.b ) phương trình tắc a b đường thẳng qua điểm M ( x ; y ) nhận u(a;b) làm vectơ phương - Phương trình tắc: - Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng cắt hai trục Ox Oy hai x y điểm A (a; 0), B (0; b) với a.b có phương trình đoạn chắn + = a b Hệ số góc: Phương trình đường thẳng qua điểm M ( x ; y ) có hệ số góc k thỏa mãn: y − y0 = k(x − x ) + Nếu có vectơ phương u = (u1;u ) với u1 hệ số góc k = u2 u1 + Nếu có hệ số góc k có vectơ phương u = (1;k) Vị trí tương đối hai đường thẳng: +) Xét hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = d : a x + b y + c = với a12 + b12 0,a 2 + b 2 Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ phương trình: a1x + b1y + c1 = (1) a x + b y + c = 2 Ta có trường hợp sau: TH1: Hệ (1) có nghiệm ( x ; y ) d1 d M ( x ; y ) TH2: Hệ (1) có vơ số nghiệm d trùng với d TH3: Hệ (1) vô nghiệm d // d +) Chú ý: Với a , b ,c ta có: d1 d a1 b1 a b2 d1 / /d a1 b1 c1 = a b2 c2 d1 d a1 b1 c1 = = a b2 c2 Góc hai đường thẳng: + Cho hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = có vectơ pháp tuyến n1 d : a x + b y + c = có vectơ pháp tuyến n với a12 + b12 0,a 2 + b 2 , góc hai đường thẳng kí hiệu (d1 ,d ) , (d1 ,d ) nhỏ 90o Đặt = (d1,d2 ) ta có: ( ) cos = cos n1 ,n = a1a + b1b2 a12 + b12 a 2 + b2 + Chú ý: d1 ⊥ d n1 ⊥ n a1a + b1b2 = Nếu d d có phương trình đường thẳng y = k1x + m1 y = k x + m d1 ⊥ d2 k1.k = −1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình ax + by + c = điểm M ( x ; y ) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng kí hiệu d (M, ) tính cơng thức: d(M, ) = ax + by + c a +b 2 B Các dạng Dạng 1: Cách viết dạng phương trình đường thẳng Phương pháp giải: a) Cách viết phương trình tổng quát đường thẳng + Tìm vectơ pháp tuyến n(a;b) đường thẳng + Tìm điểm M ( x ; y ) thuộc + Viết phương trình theo cơng thức: a(x − x ) + b(y − y0 ) = + Biến đổi thành dạng ax + by + c = Nếu đường thẳng 1 song song với đường thẳng : ax + by + c = 1 có phương trình tổng quát ax + by + c’ = 0, c ≠ c’ Nếu đường thẳng 1 vng góc với đường thẳng : ax + by + c = 1 có phương trình tổng qt -bx + ay + c’ = 0, c ≠ c’ b) Cách viết phương trình tham số đường thẳng + Tìm vectơ phương u = (u1;u ) đường thẳng + Tìm điểm M ( x ; y ) thuộc x = x + u1 t + Viết phương trình tham số: y = y0 + u t Nếu có hệ số góc k có vectơ phương u = (1;k) Nếu có vectơ pháp tuyến n(a;b) có vectơ phương u = (−b;a) u = (b; −a) ngược lại c) Cách viết phương trình tắc đường thẳng (chỉ áp dụng có vectơ phương u = (a;b) với a.b ) + Tìm vectơ phương u = (a;b) ( a.b ) đường thẳng + Tìm điểm M ( x ; y ) thuộc + Viết phương trình tắc: x − x y − y0 = a b d) Cách viết phương trình đoạn chắn đường thẳng (chỉ áp dụng đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy) + Tìm hai giao điểm với trục Ox, Oy A(a; 0), B(0; b) + Viết phương trình đoạn chắn x y + = ( a.b ) a b Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy hai điểm A(0; 5) B(6; 0) Viết phương trình tổng quát phương trình đoạn chắn đường thẳng d Lời giải: Vì A(0; 5) B(6; 0) thuộc đường thẳng d nên ta có AB vectơ phương đường thẳng d AB = (6 − 0;0 − 5) = (6; −5) Vectơ pháp tuyến d n = (5;6) Chọn điểm A(0; 5) thuộc đường thẳng d, ta có phương trình tổng qt đường thẳng d: 5.(x – 0) + 6.(y – 5) = 5x + 6y – 30 = Vì đường thẳng d cắt trục Ox, Oy hai điểm A(0; 5) B(6; 0) nên ta có x y + = phương trình đoạn chắn: Bài 2: Cho đường thẳng d qua hai điểm M(5; 8) N(3; 1) Viết phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng d Lời giải: Vì M(5; 8) N(3; 1) thuộc đường thẳng d nên ta có MN vectơ phương đường thẳng d, có MN = (3 – 5; – 8) = (-2; -7) Chọn điểm N(3; 1) thuộc đường thẳng d ta có phương trình tham số đường thẳng x = − 2t d: y = − 7t Chọn điểm M(5; 8) thuộc đường thẳng d ta có phương trình tắc đường x −5 y −8 = thẳng d: −2 −7 Dạng 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp giải: Áp dụng lí thuyết vị trí tương đối hai đường thẳng: d1 : a1x + b1y + c1 = d : a x + b y + c = với a12 + b12 0,a 2 + b 2 Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ phương trình: a1x + b1y + c1 = (1) a x + b y + c = 2 Với a , b ,c ta có: d1 d a1 b1 a b2 d1 / /d a1 b1 c1 = a b2 c2 d1 d a1 b1 c1 = = a b2 c2 Ví dụ minh họa: Bài 1: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau: a) d1 : 4x − 10y + = d : x + y + = b) d :12x − 6y + 10 = d : 2x − y + = c) d5 :8x + 10y − 12 = d : 4x + 5y − = Lời giải: a) Xét hai đường thẳng d1 : 4x − 10y + = d : x + y + = có: −10 d d cắt 1 b) Xét hai đường thẳng d :12x − 6y + 10 = d : 2x − y + = có: 12 −6 10 = =6 = d // d −1 c) Xét hai đường thẳng d5 :8x + 10y − 12 = d : 4x + 5y − = có: 10 −12 = = = d5 d6 −6 Bài 2: Cho hai đường thẳng: d1 : x − 2y + = d : 3x − y = Tìm tọa độ giao điểm d d Lời giải: −2 d1 d Gọi tọa độ giao điểm d d M(x; y) với x −1 y nghiệm hệ phương trình: Xét tỉ số: x − 2y + = x − 2y = −5 x = 3x − y = 3x − y = y = Vậy d1 d M (1; 3) Dạng 3: Tính góc hai đường thẳng Phương pháp giải: Áp dụng lí thuyết góc hai đường thẳng: - Cho hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = có vectơ pháp tuyến n1 d : a x + b y + c = có vectơ pháp tuyến n với a12 + b12 0,a 2 + b 2 , góc hai đường thẳng kí hiệu (d1 ,d ) , (d1 ,d ) nhỏ 90o Đặt = (d1,d2 ) ta có: ( ) cos = cos n1 ,n = a1a + b1b2 a12 + b12 a 2 + b2 - Chú ý: d1 ⊥ d n1 ⊥ n a1a + b1b2 = d1 ⊥ d2 u1 ⊥ u x1x + y1y2 = với u1 = (x1; y1 ) vectơ phương d , u = (x ; y2 ) vectơ phương d Nếu d d có phương trình đường thẳng y = k1x + m1 y = k x + m d1 ⊥ d2 k1.k = −1 Ví dụ minh họa: x = − 2t Bài 1: Cho hai đường thẳng d : d’: y = − t d d’ x = + t ' Xác định số đo góc y = + 3t ' Lời giải: x = − 2t Xét d : ta có vectơ phương d u = (-2; -1) y = − t Vectơ pháp tuyến d n = (1; -2) x = + t ' Xét d’: ta có vectơ phương d’ u ' = (1; 3) y = + 3t ' Vectơ pháp tuyến d’ n ' = (-3; 1) Ta có: cos(d,d ') = cos(n,n ') = −2.1 + (−1).3 (−2) + 12 ( −1) + 32 = 5 = Góc hai đường thẳng nhỏ 90o (d,d ') = 45o Bài 2: Cho hai đường thẳng d: 4x – 2y + = d’: x + 2y + = Xác định số đo góc d d’ Lời giải: Xét d: 4x – 2y + = ta có vectơ pháp tuyến d n = (4; -2) Xét d’: x + 2y + = ta có vectơ pháp tuyến d’ n ' = (1; 2) Ta có: n n ' = 4.1 + (-2).2 = d ⊥ d' (d,d ') = 90o Dạng 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp giải: Áp dụng lí thuyết khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng có phương trình ax + by + c = điểm M ( x ; y ) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng kí hiệu d (M, ), tính cơng thức: d(M, ) = ax + by + c a + b2 Ví dụ minh họa: Bài 1: Tìm bán kính đường trịn tâm C(-2; -2) Biết đường tròn tiếp xúc với đường thẳng : 5x + 12y -10 = Lời giải: Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng : 5x + 12y – 10 = nên ta có bán kính đường trịn khoảng từ tâm C đến đường thẳng Ta có: R = d(C, ) = 5.(−2) + 12(−2) − 10 52 + 122 = 44 13 x = − 3t Bài 2: Cho điểm A (3; 6) Tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng d: y = + 2t Lời giải: x = − 3t Xét đường thẳng d: ta có vectơ phương d u = (-3; 2) y = + 2t vectơ pháp tuyến d n = (2; 3) Chọn điểm M (4; 7) thuộc d ta có phương trình tổng qt d là: 2.(x – 4) + 3.(y – 7) = 2x – + 3y – 21 = 2x + 3y – 29 = Khoảng cách từ A (3; 6) đến đường thẳng d là: d(A,d) = 2.3 + 3.6 − 29 +3 2 = 13 C Bài tập tự luyện Bài 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng d biết d qua điểm A (3; 5) B (4; 6) Đáp án: d: - x + y = Bài 2: Viết phương trình tham số đường thẳng d’ biết d’ qua điểm A (2; 7) B (0; 5) x = − 2t Đáp án: d’: y = − 2t Bài 3: Viết phương trình tắc đường thẳng d qua hai điểm M (1; 6) N (2; 3) Đáp án: d: x −1 y − = −3 Bài 4: Viết phương trình đoạn chắn đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: 4x – 3y + = d qua điểm (2; 3) Đáp án: d: 4x - 3y + = Bài 5: Xét vị trí tương đối đường thẳng d: 3x – 5y + = đường thẳng d’: 3x – 5y = Đáp án: d // d’ Bài 6: Cho đường thẳng d: 2x – 6y + = đường thẳng d’: x – m + = Tìm m để d // d’ Đáp án: m = Bài 7: Cho hai đường thẳng d: 6x – y = d’: 2x + 8y – = Tìm tọa độ giao điểm I d d’ Đáp số: I ; 50 25 Bài 8: Cho hai đường thẳng d: 8x – 3y + = d’: x = Tìm số đo góc d d’ Đáp án: (d,d ') = 20o33' Bài 9: Cho điểm A (4; 7) đường thẳng d’: x – = Tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng d Đáp án: d (A, d’) = x = + 2t Bài 10: Cho đường thẳng d: Tìm m để khoảng cách A (2; m) y = + t đường thẳng d Đáp số: m = 3−5 ... a) d1 : 4x − 10y + = d : x + y + = b) d :12x − 6y + 10 = d : 2x − y + = c) d5 :8x + 10y − 12 = d : 4x + 5y − = Lời giải: a) Xét hai đường thẳng d1 : 4x − 10y + = d : x + y + = có: ? ?10 d d... b) Xét hai đường thẳng d :12x − 6y + 10 = d : 2x − y + = có: 12 −6 10 = =6 = d // d −1 c) Xét hai đường thẳng d5 :8x + 10y − 12 = d : 4x + 5y − = có: 10 −12 = = = d5 d6 −6 Bài 2: Cho... + 12y -10 = Lời giải: Vì đường trịn tiếp xúc với đường thẳng : 5x + 12y – 10 = nên ta có bán kính đường trịn khoảng từ tâm C đến đường thẳng Ta có: R = d(C, ) = 5.(−2) + 12(−2) − 10 52 +