HOÀNG THÁI VI T T NG HỢP Lụ THUY T VÀ CÁCH GI I M T S D NG BÀI T P TỐN (DỐNG CHO HS ƠN THI VÀO L P 10) HOÀNG THÁI VI T- ĐHBK- 01695316875 Truy c p face đ liên h vƠ học t p : https://www.facebook.com/ttbdgdhtv Download t i li u c a Hoàng thái ối t t i : http://www.slideshare.net/barackobamahtv Đà nẵng ,Năm 2015 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TỐN tỉng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Phần I: Đại số A Kiến thức cần nhớ Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A Các công thức biến đổi thức A2 A a b AB A B ( A 0; B 0) c d e f i k m A B ( A 0; B 0) A B A2 B A B A B A2 B A B A2 B A B B A A B B B AB ( B 0) ( A 0; B 0) ( A 0; B 0) ( AB 0; B 0) ( B 0) C C ( A mB) A B2 AB ( A 0; A B ) C C( A m B ) A B2 A B ( A 0; B 0; A B ) Hµm sè y = ax + b (a 0) - Tính chất: + Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a < - Đồ thị: Đồ thị đ- ờng thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) Hµm sè y = ax2 (a 0) - TÝnh chất: + Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > - Đồ thị: Đồ thị đ- ờng cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành + Nếu a < đồ thị nằm phÝa d- íi trơc hoµnh HỒNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TỐN VÞ trÝ t- ơng đối hai đ- ờng thẳng Xét đ- ờng thẳng y = ax + b (d) y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt a a' (d) // (d') a = a' vµ b b' (d) (d') a = a' b = b' Vị trí t- ơng đối đ- ờng thẳng đ- ờng cong Xét đ- ờng thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P) (d) (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) điểm chung Ph- ơng trình bậc hai Xét ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän = b - 4ac ' = b'2 - ac víi b = 2b' Nếu > : Ph- ơng trình cã hai - NÕu ' > : Ph- ¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: nghiệm phân biệt: x1 b b ; x2 2a 2a x1 Nếu = : Ph- ơng trình cã nghiÖm kÐp : x1 x2 b' ' b' ' ; x2 a a - Nếu ' = : Ph- ơng trình cã nghiÖm b' x x kÐp: a - NÕu ' < : Ph- ¬ng trình vô nghiệm b 2a Nếu < : Ph- ơng trình vô nghiệm Hệ thức Viet øng dơng - HƯ thøc Viet: NÕu x1, x2 lµ nghiệm ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×: b S x x a P x x c a - Mét sè øng dơng: + T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta giải ph- ơng trình: x2 - Sx + P = (§iỊu kiƯn S2 - 4P 0) + Nhẩm nghiệm ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) NÕu a + b + c = ph- ơng trình có hai nghiÖm: x1 = ; x2 = c a NÕu a - b + c = th× ph- ¬ng tr×nh cã hai nghiƯm: x1 = -1 ; x2 = HOÀNG THÁI VI T ậ TR c a NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BI T P TON 9 Giải toán cách lập ph- ơng trình, hệ ph- ơng trình B- ớc 1: Lập ph- ơng trình hệ ph- ơng trình B- ớc 2: Giải ph- ơng trình hệ ph- ơng trình B- ớc 3: Kiểm tra nghiệm ph- ơng trình hệ ph- ơng trình nghiệm thích hợp với toán kết luận B dạng tập Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A Để rút gän biĨu thøc A ta thùc hiƯn c¸c b- íc sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đ- a bớt thừa số thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có) - Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng Bi tp: 1) 2) 8 1 2 4 1 1 ; 3) ; 1 4) 14 24 12 ; 5) Cho biĨu thøc a) Rót gän biểu thức A; b) Tìm giá trị x để A > - 6) Cho biÓu thøc x A = 2 x x x x x x x x 10 x B = : x x 2 x 2 x 4 2 x a) Rót gän biĨu thøc B; b) T×m giá trị x để A > Dạng 2: Bài toán tính toán Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức A Tính A mà điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trị cđa biĨu thøc A(x) biÕt x = a C¸ch gi¶i: HỒNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TỐN - Rót gän biĨu thøc A(x) - Thay x = a vµo biĨu thøc rót gän Bài t p : Bµi 9: Cho biĨu thøc : 1 a a 1 a a P = a . a 1 a 1 a a) Tính P a = b) Tìm a để P< Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B Một số ph- ơng pháp chứng minh: - Ph-ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A=B A-B=0 - Ph-ơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B - Ph-ơng pháp 3: Ph- ơng pháp so sánh A = A1 = A2 = = C A=B B = B1 = B2 = = C - Ph-ơng pháp 4: Ph- ơng pháp t- ơng đ- ơng A = B A' = B' A" = B" (*) (*) ®óng ®ã A = B - Ph-ơng pháp 5: Ph- ơng pháp sử dụng giả thiết - Ph-ơng pháp 6: Ph- ơng pháp quy nạp - Ph-ơng pháp 7: Ph- ơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: a1 a2 a3 an n a1.a2 a3 an (víi a1.a2 a3 an ) n Dấu = xảy khi: a1 a2 a3 an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với số a1; a2; a3;; an; b1; b2; b3;…bn a1b1 a2b2 a3b3 anbn 2 (a12 a22 a32 an2 )(b12 b22 b32 bn2 ) Dấu = xảy chØ khi: a a1 a2 a3 n b1 b2 b3 bn Mét sè ph- ơng pháp chứng minh: - Ph-ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A>B A-B>0 - Ph-ơng pháp 2: Biến đổi trùc tiÕp A = A1 = A2 = = B + M2 > B nÕu M HOÀNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TOÁN - Ph-ơng pháp 3: Ph- ơng pháp t- ơng đ- ¬ng A > B A' > B' A" > B" (*) (*) ®óng ®ã A > B - Ph-ơng pháp 4: Ph- ơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C C > B A > B - Ph-ơng pháp 5: Ph- ơng pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi t- ơng đ- ơng để dẫn đến điều vô lí ta kết luận A > B - Ph-ơng pháp 6: Ph- ơng pháp sử dụng giả thiết - Ph-ơng pháp 7: Ph- ơng pháp quy nạp - Ph-ơng pháp 8: Ph- ơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 5: toán liên quan tới ph- ơng trình bậc hai Bài toán 1: Giải ph- ơng trình bËc hai ax2 + bx + c = (a0) Các ph- ơng pháp giải: - Ph-ơng pháp 1: Phân tích đ- a ph- ơng trình tích - Ph-ơng pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai x2 = a x = a - Ph-¬ng pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có = b2 - 4ac + NÕu > : Ph- ơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b b ; x2 2a 2a + NÕu = : Ph- ơng trình có nghiệm kép x1 x2 b 2a + NÕu < : Ph- ơng trình vô nghiệm - Ph-ơng pháp 4: Dïng c«ng thøc nghiƯm thu gän Ta cã ' = b'2 - ac víi b = 2b' + NÕu ' > : Ph- ơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt: x1 b' ' b' ' ; x2 a a + NÕu ' = : Ph- ơng trình có nghiệm kép b' x1 x2 a + NÕu ' < : Ph- ơng trình vô nghiệm - Ph-ơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et Nếu x1, x2 nghiệm ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×: b x1 x2 a x x c a Chó ý: NÕu a, c trái dấu tức a.c < ph- ơng trình có hai nghiệm phân biệt HONG THI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 T NG H P KI N TH C VÀ CC D NG BI T P TON Bài toán 2: BiƯn ln theo m sù cã nghiƯm cđa ph- ¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) XÐt hƯ sè a: Cã thĨ có khả a Tr- ờng hợp a = với vài giá trị m Giả sö a = m = m0 ta cã: (*) trở thành ph- ơng trình bậc ax + c = (**) + NÕu b víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b + NÕu b = vµ c = víi m = m0: (**) vô định (*) vô định + NÕu b = vµ c víi m = m0: (**) v« nghiƯm (*) v« nghiƯm b Tr- ờng hợp a 0: Tính ' + TÝnh = b2 - 4ac NÕu > : Ph- ơng trình có hai nghiệm phân biÖt: x1 b b ; x2 2a 2a Nếu = : Ph- ơng trình cã nghiÖm kÐp : x1 x2 b 2a Nếu < : Ph- ơng trình vô nghiệm + TÝnh ' = b'2 - ac víi b = 2b' Nếu ' > : Ph- ơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: b' ' b' ' ; x2 x1 a a b' Nếu ' = : Ph- ơng trình có nghiÖm kÐp: x1 x2 a NÕu ' < : Ph- ơng trình vô nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận Bài toán 3: Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) có nghiệm Có hai khả để ph- ơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = cã nghiƯm: Hc a = 0, b Hc a 0, hc ' Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mÃn điều kiện điều kiện Bài toán 4: Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm phân biệt a a ' §iỊu kiƯn có hai nghiệm phân biệt Bài toán 5: Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng trình bËc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm: a a hc hc b a ' Bài toán 6: Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiƯm kÐp HỒNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TỐN a §iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp: a hc ' Bài toán 7: Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) vô nghiệm a Điều kiện vụ nghiệm: a hc ' Bài toán 8: Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiƯm a a hc hc b §iỊu kiƯn cã mét nghiÖm: a ' Bài toán : Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu: hc c P a ' c P a c P hc a b S a ' c P a b S a c P hc a b S a ' c P a b S a Bài toán 10 : Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c phô thuéc tham số m) có nghiệm d- ơng Điều kiện có hai nghiệm d- ơng: Bài toán 11 : Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) có nghiệm âm Điều kiện có hai nghiệm âm: Bài toán 12 : Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã nghiƯm tr¸i dấu Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < a c trái dấu Bi tp: mx2 m 2 x m có nghiệm dấu 3mx2 2m 1 x m có nghiệm âm m 1 x2 x m có nghiệm khơng âm HOÀNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TOÁN Bài toán 13 : Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (*) ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã mét nghiƯm x = x1 Cách giải: - Thay x = x1 vào ph- ơng trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = m - Thay giá trị m vào (*) x1, x2 - Hoặc tính x2 = S - x1 x2 = P x1 Bài toán 14 : Tìm điều kiện tham số m để ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham số m) có nghiệm x1, x2 thoả mÃn ®iỊu kiƯn: a x1 x2 b x12 x22 k c 1 n x1 x2 d x12 x22 h §iỊu kiƯn chung: hc ' (*) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: e x13 x23 t b x1 x2 a S (1) x x c P (2) a a Tr- êng hỵp: x1 x2 b x1 x2 Gi¶i hƯ a x1 x2 x1, x2 Thay x1, x2 vµo (2) m Chän giá trị m thoả mÃn (*) b Tr- êng hỵp: x12 x22 k ( x1 x2 )2 x1 x2 k Thay x1 + x2 = S = c b vµ x1.x2 = P = vµo ta cã: a a S2 - 2P = k Tìm đ- ợc giá trị m thoả mÃn (*) c Tr- ờng hợp: 1 n x1 x2 nx1.x2 b nc x1 x2 Giải ph- ơng trình - b = nc tìm đ- ợc m thoả mÃn (*) d Tr- êng hỵp: x12 x22 h S 2P h Gi¶i bất ph- ơng trình S2 - 2P - h chọn m thoả mÃn (*) e Tr- ờng hợp: x13 x23 t S 3PS t Giải ph- ơng trình S 3PS t chọn m thoả mÃn (*) Bài toán 15 : Tìm hai số u v biết tổng u + v = S vµ tÝch u.v = P cđa chóng HỒNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TỐN Ta cã u vµ v lµ nghiƯm ph- ơng trình: x2 - Sx + P = (*) (Điều kiện S2 - 4P 0) Giải ph- ơng trình (*) ta tìm đ- ợc hai số u v cần tìm Bi toỏn 16 TNH GI TR C A CÁC BI U TH C NGHI M Đối toán d ng điều quan trọng c¸c em phải bi t bi n đ i biểu th c nghiệm đư cho biểu th c có ch a t ng nghiệm x1 x2 tích nghiệm x1 x2 để áp dụng hệ th c VI-ÉT r i tính giá trị c a biểu th c 1.Ph- ơng pháp: Bin i biu thc làm xuất hi n : ( x1 x2 ) x1 x2 D¹ng x12 x22 ( x12 x1 x2 x22 ) x1 x2 ( x1 x2 )2 x1 x2 D¹ng x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 D¹ng x14 x24 ( x12 )2 ( x22 )2 x12 x22 x12 x22 ( x1 x2 )2 x1 x2 x12 x22 D¹ng 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 D¹ng x1 x2 ? Ta bi t x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 D¹ng x12 x22 x1 x2 x1 x2 = ( x1 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 D¹ng x13 x23 = x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 =…… D¹ng x14 x24 = x12 x22 x12 x22 =…… D¹ng x16 x26 = ( x12 )3 ( x22 )3 x12 x22 x14 x12 x22 x24 = …… D¹ng 10 x16 x26 ( x12 ) ( x2 ) ( x12 x2 ) ( x12 ) x12 x2 ( x2 ) D¹ng 11 x15 x25 = ( x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 D¹ng13 2 2 x x 2a 1 S 2a x1 a x2 a ( x1 a)( x2 a) p aS a Bài toán 17 : TM H TH C LIểN H GI A HAI NGHI M C A PH NG TRỊNH SAO CHO HAI NGHI M NÀY KHÔNG PH THU C (HAY Đ C L P) V I THAM S Để làm toán lo i này,c¸c em làm lần l t theo b c sau: 1- Đặt điều kiện cho tham số để ph ơng trình đư cho có hai nghiệm x1 x2 (th ng a 0) 2- Áp dụng hệ th c VI-ÉT: x1 x2 c b ; x1 x2 a a 3- Sau dựa vào hệ th c VI-ÉT rút tham số theo t ng nghiệm, theo tích nghiệm sau đ ng v ta s đ c biểu th c ch a nghiệm không phụ thuộc vào tham s.Đó h th c liờn h gia cỏc nghim x1 v x2 không phụ thuộc vào tham sè m HOÀNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 10 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TOÁN - Từ giả thi t: 3x1 5x2 Suy ra: 8 x1 5( x1 x2 ) 64 x1 x2 5( x1 x2 ) 6.3( x1 x2 ) 6 (2) 8 x2 3( x1 x2 ) 64 x1 x2 15( x1 x2 ) 12( x1 x2 ) 36 - Th (1) vào (2) ta đ m c ph ơng trình: m(45m 96) m 32 15 (thoả mưn ) D NG ®å thÞ y ax b(a 0) & y a ' x (a ' 0) t- ơng quan chúng I/.iểm thu c ờng ậ đ ờng qua m Điểm A(xA; yA) thuộc đ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA) Ví d 1: Tìm hệ số a c a hàm số: y = ax2 bi t đ thị hàm số c a qua điểm A(2;4) Gi i: Do đ thị hàm số qua điểm A(2;4) nên: = a.22 a=1 Ví d 2: Trong mặt ph ng tọa độ cho A(-2;2) đ ng th ng (d) có ph ơng trình: y = -2(x + 1) Đ ng th ng (d) có qua A không? Gi i: Ta thấy -2.(-2 + 1) = nên điểm A thuộc v đ ng th ng (d) II.Cách tìm giao m c a hai đ ờng y = f(x) vƠ y = g(x) B c 1: Hoành độ giao điểm nghiệm c a ph ơng trình f(x) = g(x) (*) B c 2: Lấy nghiệm thay vào hai cơng th c y = f(x) y = g(x) để tìm tung độ giao điểm Chú ý: S nghi m phương trình (*) ệà s giao điĨm hai đường III.Quan h gi a hai đ ờng thẳng Xét hai đ ng th ng : (d1) : y = a1x + b1 vµ (d2) : y = a2x + b2 a1 a2 a) (d1) cắt (d2) b) d1) // (d2) c) d1) (d2) d) (d1) (d2) a1 a2 = -1 IV.Tìm u ki n đ đ ờng thẳng đ ng qui B c 1: Giải hệ ph ơng trình g m hai đ ng th ng khơng ch a tham số để tìm (x;y) B c 2: Thay (x;y) vừa tìm đ c vào ph ơng trình cịn l i để tìm tham số V.Quan h gi a (d): y = ax + b vƠ (P): y = a’x2 (a’ 0) 1.Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) B c 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm c a ph ơng trình: a’x2 = ax + b (#) a’x2- ax – b = B c 2: Lấy nghiệm thay vào hai công th c y = ax +b y = ax2 để tìm tung độ giao điểm Chú ý: S nghi m phương trình (#) ệà s giao điểm (d) ốà (P) 2.Tìm điềỐ i n (d) (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau: Từ ph- ơng trình (#) ta có: a ' x ax b (a) 4a ' b HOÀNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 14 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TOÁN a) (d) (P) cắt ph ơng trình (#) có hai nghiệm phân biệt ph ơng trình (#) có nghiệm kép b) (d) (P) ti p xúc v i ph ơng trình (#) vơ nghiệm c) (d) (P) khơng giao VI.Vi t ph ng trình đ ờng thẳng y = ax + b : 1.BiÕt qỐan h ốề h s góc(//hay vu«ng gãc) ốà qỐa điểm A(x0;y0) Chú ý : song song a2=a1 b1 khác b2 Vng góc a2 = - 1/a1 (tìm hiểu sgk) B c 1: Dựa vào quan hệ song song hay vng góc ®Ĩ tìm hệ số a B c 2: Thay a vừa tìm đ c x0;y0 vào công th c y = ax + b để tìm b 2.Biết đồ thị hàm s qỐa điểm A(x1;y1) B(x2;y2) Do đ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2) nên ta có hệ ph ơng trình: Giải hệ ph ơng trình tìm a,b 3.Biết đồ thị hàm s qỐa điểm A(x0;y0) ốà tiếp xúc ốới (P): y = a’x2 +) Do đ ng th ng qua điểm A(x0;y0) nên có ph ơng trình : y0 = ax0 + b +) Do đ thị hàm số y = ax + b ti p xúc v i (P): y = a’x2 nên: Pt: a’x2 = ax + b có nghiệm kép y ax0 b +) Gi¶i hƯ để tìm a,b VII.Ch ng minh đ ờng thẳng qua m c đ nh ( giả sử tham số m) +) Giả sử A(x0;y0) điểm cố định mà đ ng th ng qua v i m, thay x0;y0 vào ph ơng trình đ ng th ng chuyển ph ơng trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm v i m +) Đ ng hệ số c a ph ơng trình v i giải hệ tìm x0;y0 VIII.Tìm khoảng cách hai điểm A; B Gọi x1; x2 lần l- ợt hoành độ A B; y1,y2 lần l- ợt tung độ A B Khi khoảng cách AB đ- ợc tính định lý Pi Ta Go tam giác vuông ABC: AB AC BC ( x2 x1 ) ( y y1 ) IX M t s ng d ng c a đ th hƠm s : ng dụng vào ph ơng trình ng dụng vào tốn cực trị bµi tËp vỊ hµm sè Bµi cho parabol (p): y = 2x2 HỒNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 15 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TOÁN tìm giá trị a,b cho đ- ờng thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) qua A(0;-2) tìm ph- ơng trình đ- ờng thẳng tiếp xúc với (p) B(1;2) Tìm giao điểm (p) với đ- ờng thẳng y = 2m +1 Bài 2: Cho (P) y x đ- êng th¼ng (d): y = ax + b Xác định a b để đ- ờng thẳng (d) qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 3: Cho (P) y x đ- ờng thẳng (d) y = 2x + m VÏ (P) T×m m để (P) tiếp xúc (d) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 4: Cho hàm số (P): y x vµ hµm sè(d): y = x + m Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B Xác định ph- ơng trình đ- ờng thẳng (d') vuông góc với (d) tiếp xúc với (P) Tìm m cho khoảng cách hai điểm A B Bài56: Cho điểm A(-2;2) đ- ờng thẳng ( d1 ) y = -2(x+1) Điểm A có thuộc ( d1 ) không ? Vì ? Tìm a để hàm số (P): y a.x qua A Xác định ph- ơng trình ®- êng th¼ng ( d ) ®i qua A vuông góc với ( d1 ) Gọi A B giao điểm (P) ( d ) ; C giao điểm ( d1 ) với trục tung Tìm toạ độ B C Tính chu vi tam giác ABC? D NG 7: giải ph- ơng trình ph- ơng pháp đặt ẩn số phụ Bài toán1: Giải ph- ơng trình trïng ph- ¬ng ax4 + bx2 + c = Đặt t = x2 (t0) ta có ph- ơng trình at2 + bt + c = Giải ph- ơng trình bậc hai ẩn t sau thay vào t×m Èn x at + bt + c = vô nghiệm nghiệm âm nghiệm kép âm nghiệm d- ơng nghiệm d- ơng Bảng tóm tắt ax4 + bx2 + c = v« nghiƯm v« nghiệm vô nghiệm nghiệm đối nghiệm cặp nghiệm đối Bài toán 2: Giải ph- ơng tr×nh A( x HỒNG THÁI VI T ậ TR 1 ) B( x ) C x x NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 16 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TOÁN = t x2 - tx + = x 1 Suy t2 = ( x )2 = x x t x x x Đặt x Thay vào ph- ơng trình ta có: A(t2 - 2) + Bt + C = At2 + Bt + C - 2A = Giải ph- ơng trình ẩn t sau vào x = t giải tìm x x 1 Bài toán 3: Giải ph- ¬ng tr×nh A( x ) B( x ) C x x Đặt x = t x2 - tx - = x 1 Suy t2 = ( x )2 = x x t x x x Thay vào ph- ơng tr×nh ta cã: A(t2 + 2) + Bt + C = At2 + Bt + C + 2A = Giải ph- ơng trình ẩn t sau vào x = t giải tìm x x Bài toán 4: Giải ph- ơng trình bậc cao Dùng phép biến đổi đ- a ph- ơng trình bậc cao dạng: + Ph- ơng trình tích + Ph- ơng trình bậc hai D NG 8: giải hệ ph- ơng trình ax by c a ' x b ' y c ' Bµi toán: Giải hệ ph- ơng trình Các ph- ơng pháp giải: + Ph- ơng pháp đồ thị + Ph- ơng pháp cộng + Ph- ơng pháp + Ph- ơng pháp đặt ẩn phụ D NG: giải ph- ơng trình vô tỉ Bài toán 1: Giải ph- ơng trình dạng Ta có g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) HOÀNG THÁI VI T ậ TR f ( x) g ( x) (1) (2) (3) NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 17 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TOÁN Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm (1) Bài toán 2: Giải ph- ơng trình dạng f ( x) h( x) g ( x) §iỊu kiƯn cã nghÜa cđa ph- ơng trình f ( x) h ( x ) g ( x) Với điều kiện thoả mÃn ta bình ph- ơng hai vế để giải tìm x D NG 10: giải ph- ơng trình chứa giá trị tuyệt đối Bài toán: Giải ph- ơng trình dạng f ( x) g ( x) Ph- ơng pháp 1: Ph- ơng pháp 2: Ph- ơng pháp 3: g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) XÐt f(x) f(x) = g(x) XÐt f(x) < - f(x) = g(x) Víi g(x) ta cã f(x) = g(x) dụ: Giải ph- ơng trình: 3x 3x Ta cã thĨ gi¶i nh- sau: Lập bảng xét vế trái: x 3 3x 3x 3x Một số d ng khác VÝ 3x Vế trái cộng lại 3x 6x 3x 0x 3x 3x 6x Vậy: + Với x ph- ơng trình (1) 6x 6x x ( tho¶ m·n) + Với x ph- ơng trình (1) x ph- ¬ng trình vô nghiệm 3 + Với x ph- ơngtrình (1) x x x thoả mÃn Bài tập: Bài 1: x x D NG 11 giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài toán: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) Ph- ơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = M - [g(x)]2n , n Z y M Do ®ã ymax = M g(x) = - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: HOÀNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 18 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TOÁN y = m + [h(x)]2k kZ y m Do ®ã ymin = m h(x) = Ph- ơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Ph- ơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức D NG 12: toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đ- ờng - đ- ờng qua điểm Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) ®iĨm A(xA;yA) Hái (C) cã ®i qua A kh«ng? Đồ thị (C) qua A(xA;yA) toạ độ A nghiệm ph- ơng trình (C) A(C) yA = f(xA) Dã ®ã tÝnh f(xA) Nếu f(xA) = yA (C) qua A Nếu f(xA) yA (C) không qua A * t- ơng giao hai đồ thị Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số y = f(x) y = g(x) HÃy khảo sát t- ơng giao hai đồ thị Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm ph- ơng trình hoành độ điểm chung: f(x) = g(x) (*) - Nếu (*) vô nghiệm (C) (L) điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiếp xúc - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) cã ®iĨm chung - NÕu (*) cã nghiƯm (C) (L) có điểm chung * lập ph- ơng trình đ- ờng thẳng Bài toán 1: Lập ph- ơng trình đ- ờng thẳng (D) qua ®iĨm A(xA;yA) vµ cã hƯ sè gãc b»ng k Ph- ơng trình tổng quát đ- ờng thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta có ph- ơng trình (D) Bài toán 2: Lập ph- ơng trình đ- ờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB) Ph- ơng trình tổng quát đ- ờng thẳng (D) : y = ax + b y A ax A b y B ax B b (D) ®i qua A B nên ta có: Giải hệ ta tìm đ- ợc a b suy ph- ơng trình (D) Bài toán 3: Lập ph- ơng trình đ- ờng thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đ- ờng cong (C): y = f(x) Ph- ơng trình tổng quát đ- ờng thẳng (D) : y = kx + b Ph- ơng trình hoành độ điểm chung (D) (P) lµ: HỒNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 19 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TỐN f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiƯm kÐp Tõ điều kiện ta tìm đ- ợc b suy ph- ơng trình (D) Bài toán 3: Lập ph- ơng trình đ- ờng thẳng (D) qua ®iĨm A(xA;yA) k vµ tiÕp xóc víi ®- êng cong (C): y = f(x) Ph- ơng trình tổng quát đ- ờng thẳng (D) : y = kx + b Ph- ơng trình hoành độ điểm chung (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đ- ợc hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ®ã ta cã yA = axA + b (***) Tõ (**) vµ (***) a vµ b Ph- ơng trình đ- ờng thẳng (D) HONG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 20 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TOÁN Phần II: hình học A Kiến thức cần nhớ Hệ thức l- ợng tam giác vuông b2 = ab' c2 = ac' A h2 = b'c' b c ah = bc h B a2 = b2 + c2 tg.cotg = C a TØ sè l- ỵng gi¸c cđa gãc nhän < sin < < coss < sin cos b' H 1 2 2 h b c tg c' cos sin 1 tg 2 cos cot g sin2 + cos2 = 1 cot g 2 Hệ thức cạnh góc tam giác vu«ng sin B b = asinB = acosC a b = ctgB = ccotgC c c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B A b C Đ- ờng tròn - Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đ- ợc đ- ờng tròn - Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đ- ờng tròn có tâm đối xứng; có vô số trục đối xứng - Quan hệ vuông góc đ- ờng kính dây Trong đ- ờng tròn + Đ- ờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây + Đ- ờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc víi d©y Êy HỒNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 21 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TON - Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đ- ờng tròn: + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn - Liên hệ cung dây: Trong ®- êng trßn hay hai ®- êng trßn b»ng nhau: + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn - Vị trí t- ơng đối đ- ờng thẳng đ- ờng tròn: Vị trí t- ơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R dR - Đ- ờng thẳng đ- ờng tròn cắt - Đ- ờng thẳng đ- ờng tròn tiếp xúc - Đ- ờng thẳng đ- ờng tròn không giao HONG THI VI T TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 22 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TỐN - VÞ trÝ t- ơng đối đ- ờng thẳng đ- ờng tròn: Số điểm chung Vị trí t- ơng đối Hệ thức liên hệ d R - Hai đ- ờng tròn cắt - Hai đ- ờng tròn tiếp xóc + TiÕp xóc ngoµi R - r < OO' < R + r OO' = R + r + TiÕp xóc OO' = R - r - Hai đ- ờng tròn không giao + (O) vµ (O') ë ngoµi OO' > R + r + (O) đựng (O') + (O) (O') đồng t©m OO' < R - r OO' = Tiếp tuyến đ- ờng tròn - Tính chất tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính qua tiÕp ®iĨm - DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tun: + Đ- ờng thẳng đ- ờng tròn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đ- ờng tròn đến đ- ờng thẳng bán kính + Đ- ờng thẳng qua điểm đ- ờng tròn vuông góc với bán kính qua A ®iĨm ®ã - TÝnh chÊt cđa tiÕp tun c¾t O M MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: + MA = MB B + MO phân giác góc AMB + OM phân giác cđa gãc AOB HỒNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 23 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TỐN - TiÕp tun chung cđa hai đ- ờng tròn: đ- ờng thẳng tiếp xúc với hai đ- ờng tròn đó: Tiếp tuyến chung TiÕp tuyÕn chung d d d' O O' O O' d' Góc với đ- ờng tròn Loại góc Hình vẽ Công thức tính số đo A B Gãc ë t©m ·AOB sd » AB O A B Gãc néi tiÕp ·AMB sd » AB O M x A Gãc t¹o bëi tia tiếp tuyến dây cung B O à sd » xBA AB B A ·AMB ( sd » » ) AB sdCD M Góc có đỉnh bên đ- ờng trßn O C D M D C Gãc cã đỉnh bên đ- ờng tròn ÃAMB ( sd » » ) AB sdCD O A B HOÀNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 24 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TỐN Chó ý: Trong mét ®- êng tròn - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đ- ờng tròn góc vuông ng- ợc lại góc vuông nội tiếp chắn nửa đ- ờng tròn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Độ dài đ- ờng tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đ- ờng tròn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n0 b¸n kÝnh R : l Rn 180 DiƯn tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R2 - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n : S Các loại đ- ờng tròn Đ- ờng tròn ngoại tiếp tam giác R2n 360 Đ- ờng tròn nội tiếp tam giác A lR Đ- ờng tròn bàng tiếp tam giác A A B C O O F E B J C B C T©m đ- ờng tròn giao ba đ- ờng trung trực tam giác Tâm đ- ờng tròn giao ba đ- ờng phân giác tam giác 10 Các loại hình không gian a Hình trụ - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh - DiÖn tÝch toàn phần: Stp = 2rh + r2 - Thể tích h×nh trơ: V = Sh = r2h HỒNG THÁI VI T TR Tâm đ- ờng tròn bàng tiếp góc A giao điểm hai đ- ờng phân giác góc B C giao điểm đ- ờng phân giác góc A đ- ờng phân giác B (hoặc C) r: bán kính Trong h: chiều cao NG H BK ĐÀ N NG 2015 25 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TỐN b H×nh nãn: - DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl - Diện tích toàn phần: Stp = 2rl + r2 - ThĨ tÝch h×nh trơ: V = r h c H×nh nãn cơt: - DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l - ThÓ tÝch: V = h(r12 r22 r1 r2 ) d Hình cầu - Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = d - Thể tích hình cầu: V = R3 Trong r: bán kính l: đ- ờng sinh h: chiỊu cao r1: b¸n kÝnh d¸y lín r2: b¸n kÝnh ®¸y nhá Trong ®ã l: ®- êng sinh h: chiỊu cao R: bán kính Trong d: đ- ờng kính 11 Tø gi¸c néi tiÕp: DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tỉng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại d- ới góc B dạng tập Dạng 1: Chứng minh hai gãc b»ng C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng kh¸c - Hai gãc b»ng tỉng hc hiƯu cđa hai gãc theo thứ tự đôi - Hai góc cïng phơ (hc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai góc nhọn tù có cạnh đôi song song vuông góc - Hai góc ó le trong, so le đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc mộ tam giác cân - Hai góc t- ơng ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh mmột tam giác cân tam giác - Hai cạnh t- ơng ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây tr- ơng hai cung đ- ờng tròn hai đ- ờng 26 HONG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TỐN D¹ng 2: Chứng minh hai đ- ờng thẳng song song Cách chứng minh: - Chứng minh hai đ- ờng thẳng song song với đ- ờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đ- ờng thẳng vuông góc với ®- êng th¼ng thø ba - Chøng minh chóng cïng tạo với cát tuyến hai góc nhau: + ë vÞ trÝ so le + ë vÞ trÝ so le + vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đ- ờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành Dạng 3: Chứng minh hai đ- ờng thẳng vuông góc Cách chứng minh: - Chóng song song song song víi hai ®- êng thẳng vuông góc khác - Chứng minh chúng chân đ- ờng cao tam giác - Đ- ờng kính qua trung điểm dây dây - Chúng phân giác hai góc kề bù Dạng 4: Chứng minh ba đ- ờng thẳng đồng quy Cách chứng minh: - Chứng minh chúng ba đ- êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n giác (hoặc phân giác phân giác hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 5: Chứng minh hai tam gi¸c b»ng C¸ch chøng minh: * Hai tam giác th- ờng: - Tr- ờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Tr- ờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Tr- ờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có cạnh huyền góc nhọn - Có cạnh huyền cạnh góc vuông - Cạnh góc vuông đôi HOÀNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 27 T NG H P KI N TH C VÀ CÁC D NG BÀI T P TOÁN Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c th- êng: - Có hai góc đôi - Có góc xen hai cạnh t- ơng ứng tỷ lệ - Có ba cạnh t- ơng ứng tỷ lệ * Hai tam giác vuông: - Có góc nhọn - Có hai cạnh góc vuông t- ơng ứng tỷ lệ Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học Cách chứng minh: Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chứng minh: MAC MDB hc MAD MCB - NÕu điểm M, A, B, C, D cúng nằm đ- ờng thẳng phải chứng minh tích trªn cïng b»ng tÝch thø ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: MAE MFB MCE MFD MA.MB = MC.MD * Tr- êng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh MTA MBT Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp C¸ch chøng minh: DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ®Ønh b»ng gãc cđa ®Ønh ®èi diƯn - Tø giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại d- ới góc Dạng 9: Chứng minh MT tiếp tuyến đ- ờng tròn (O;R) Cách chứng minh: - Chứng minh OT MT T (O;R) - Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đ- ờng thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp Dạng 10: Các toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: - Dựa vào hệ thức l- ợng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số l- ợng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vuông - Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tích số kiến thức ch- ơng trình toán để ôn tập tốt em cần đọc kỹ tài liệu xem thêm sách giáo khoa to¸n CHÚC CÁC EM THI T T ! HOÀNG THÁI VI T HOÀNG THÁI VI T ậ TR NG ĐH BK ĐÀ N NG 2015 28