Tọa độ của vectơ, tọa độ của một điểm và cách giải bài tập A Lí thuyết Tọa độ của điểm trên trục Cho M là một điểm tùy ý trên trục (O; e ) Khi đó tồn tại duy nhất một số k sao cho OM ke= Ta gọi số k đ[.]
Tọa độ vectơ, tọa độ điểm cách giải tập A Lí thuyết - Tọa độ điểm trục: Cho M điểm tùy ý trục (O; e ) Khi tồn số k cho OM = ke Ta gọi số k tọa độ điểm M trục (O; e ) - Tọa độ vectơ trục: Cho hai điểm A B trục (O; e ) Khi tồn số k cho AB = ke Độ dài đại số AB trục (O; e ) kí hiệu AB Nếu AB hướng với e AB Nếu AB ngược hướng với e AB Nếu hai điểm A B trục (O; e ) có tọa độ a b AB = b – a - Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB trục (O; i ) là: x I = xA + xB - Tọa độ vectơ mặt phẳng Oxy: Có u = (x; y) u = xi + y j Cho hai điểm A(x A ; y A ) B(x B ; y B ) ta có: AB = (x B − x A ; y B − y A ) - Tọa độ điểm mặt phẳng Oxy: Có M(x; y) OM = xi + y j - Tọa độ trung điểm I (x I ; y I ) đoạn thẳng AB là: x I = xA + xB y + yB ; yI = A 2 - Tọa độ trọng tâm G (x G ; y G ) tam giác ABC tính theo cơng thức: xG = xA + xB + xC y + yB + yC ; yG = A 3 - Điều kiện để hai vectơ phương: Hai vectơ u = (u1;u ) v = (v1; v ) với v phương có số k cho u1 = kv1 u = kv Nếu k > u hướng với v , ngược lại, k < u ngược hướng với v - Hai vectơ chúng có hồnh độ tung độ - Cho u = (u1;u ) v = (v1; v ) , đó: u + v = (u1 + v1;u + v ) u − v = (u1 − v1;u − v ) k.u = (ku1;ku ) , k B Các dạng Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trục (O;i) mặt phẳng Oxy Phương pháp giải: Áp dụng lí thuyết tọa độ điểm, tọa độ vectơ trục tọa độ điểm, tọa độ vectơ mặt phẳng Oxy, tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác, tính chất vectơ để xác định tọa độ điểm tọa độ vectơ theo yêu cầu đề Ví dụ minh họa: Bài 1: Trên trục tọa độ (O;i) cho điểm A, B có tọa độ -2; Tìm tọa độ vectơ AB tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB Giải: Ta có: AB = x B − x A = − (−2) = + = AB = 3i Tọa độ vectơ AB trục tọa độ (O;i) Tọa độ điểm I là: x I = x A + x B (−2) + −1 = = 2 Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (-3;1), B (2;4) C (2;1) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC, tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB, AC Giải: Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác ta có: xG = x A + x B + x C −3 + + = = 3 yG = yA + yB + yC + + = =2 3 1 G = ;2 3 Áp dụng công thức tọa độ trung điểm đoạn thẳng ta có: Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB có: xI = x A + x B −3 + −1 = = 2 yI = yA + yB + = = 2 5 I = − ; 2 Gọi J trung điểm đoạn thẳng AC có: xJ = x A + x C −3 + −1 = = 2 yJ = y A + yC + = =1 2 J = − ;1 Dạng 2: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng u + v , u − v ku Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức tính tọa độ vectơ u + v , u − v ku Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho hai vectơ u = (3; −2) v = (1;6) Tính tọa độ vectơ u + v , u − v ku với k = Giải: +) Ta có: u + v = (u1 + v1;u + v ) = ( + ; -2 + ) = (4;4) +) Ta có: u − v = (u1 − v1;u − v ) = (3 − 1; −2 − 6) = (2; −8) +) Ta có: k.u = (ku1;ku ) = (5.3; −2.5) = (15; −10) Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (1;3) B (4;0) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 3AM + AB = Giải: Gọi tọa độ điểm M ( x;y) +) Tọa độ vectơ AB là: AB = ( – ; – ) = ( 3;-3 ) +) Tọa độ vectơ AM là: AM = ( x – ; y – ) +) Ta có: 3AM + AB = 3(x − 1) + = 3(y − 3) − = 3x = 3y − 12 = x = y = M = ( 0;4 ) Dạng 3: Bài toán liên quan đến phương hai vectơ Phân tích vectơ qua hai vectơ không phương Phương pháp giải: Áp dụng điều kiện để hai vectơ phương liên quan đến tọa độ: Hai vectơ u = (u1;u ) v = (v1; v ) với v phương có số k cho u1 = kv1 u = kv Nếu k > u hướng với v , ngược lại, k < u ngược hướng với v Để phân tích c = (c1;c ) qua hai vectơ u = (u1;u ) v = (v1; v ) không phương, ta giả sử c = xu + yv Khi ta quy giải hệ u1x + v1y = c1 phương trình u x + v y = c2 Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho A (1;2), B (-2;6) Điểm M nằm trục Oy cho ba điểm A, B, M thẳng hàng Tìm tọa độ điểm M Giải: Ta có: M nằm trục Oy M = (0;y) Ta có: AB = (−3;4) , AM = (−1; y − 2) Ba điểm A, B, M thẳng hàng AB phương với AM −3 = −1 y − =3 y−2 3y – = y= 10 10 M = 0; 3 Bài 2: Cho vectơ a = (4; −2) , b = (−1; −1) c = (2;5) Phân tích vectơ b theo hai vectơ a c Giải: x=− −1 = 4x + 2y Giả sử b = xa + yc −1 = −2x + 5y y = − 1 b=− a− c C Bài tập tự luyện Bài 1: Trên trục tọa độ (O; i ) cho điểm A, B có tọa độ -5 Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB Đáp án: x I = −1 Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M (x;y) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua trục hoành Đáp án: M’ (x;-y) Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD tâm I có A (1;3) Biết điểm B thuộc trục Ox BC hướng với i Tìm tọa độ vectơ AC Đáp án: AC = (3;-3) Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD cạnh a Biết BAD = 60o , A trùng với gốc tọa độ O; C thuộc Ox x B 0, y B Tìm tọa độ đỉnh B, C hình thoi ABCD a a ; ;C = a 3;0 Đáp án: B = 2 ( ) Bài 5: Cho a = (x;2) , b = (−5;1) c = (x;7) Vectơ c = 2a + 3b Tìm x Đáp án: x = 15 Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (-3;3) , B (1;4) , C (2;-5) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn: 2MA − BC = 4CM −5 Đáp án: M = ; 6 Bài 7: Cho a = (0;1) , b = (−3; −2) , c = (−1;2) Tính tọa độ vectơ u = 3a + 2c − 4b Đáp án: u = (10;15) Bài 8: Cho điểm A (1;-2) , B (0;3) , C (-3;4) , D (-1;8) Ba điểm điểm cho thẳng hàng ? Đáp án: Ba điểm A, B, D Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (6;3) , B (-3;6) Xác định điểm D trục tung cho A, B, D thẳng hàng Đáp án: D = (0;5) Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho A (m-1;-1) , B (2;2-2m) , C (m+3;3) Tìm m để A, B, C ba điểm thẳng hàng Đáp án: m = ... (−1; y − 2) Ba điểm A, B, M thẳng hàng AB phương với AM −3 = −1 y − =3 y−2 3y – = y= 10 10 M = 0; 3 Bài 2: Cho vectơ a = (4; −2) , b = (−1; −1) c = (2;5) Phân tích vectơ... = (u1 − v1;u − v ) = (3 − 1; −2 − 6) = (2; −8) +) Ta có: k.u = (ku1;ku ) = (5.3; −2.5) = (15; ? ?10) Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (1;3) B (4;0) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 3AM + AB = ... 7: Cho a = (0;1) , b = (−3; −2) , c = (−1;2) Tính tọa độ vectơ u = 3a + 2c − 4b Đáp án: u = (10; 15) Bài 8: Cho điểm A (1;-2) , B (0;3) , C (-3;4) , D (-1;8) Ba điểm điểm cho thẳng hàng ? Đáp