Đang tải... (xem toàn văn)
TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm góc[.]
TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Hệ trục tọa độ không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz vng góc với đơi chung điểm góc O Gọi i; j; k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox; Oy; Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng Oxy ; Oyz ; Oxz đơi vng góc với gọi mặt phẳng tọa độ 2 Chú ý: i; j; k vectơ đơn vị đôi vng góc nên i j k i j j.k k i II Tọa độ, vectơ 1) Định nghĩa: Nếu u x; y; z u x.i y j z.k 2) Các công thức vectơ Cho vectơ: u x1; y1; z1 v x2 ; y2 ; z2 ta có: Tổng hiệu hai vectơ: u v x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 Tích vectơ với số: ku k x1; ky1; kz1 k x1 x2 Hai vectơ nhau: u v y1 y2 z z Chú ý: 0;0;0 ; i 1;0;0 ; j 0;1;0 ; k 0;0;1 III Tọa độ điểm 1) Định nghĩa: Điểm M x ; y ; z OM x i y j z k (trong x hoành độ, y tung độ z cao độ) 2) Tính chất: Cho điểm A x1; y1; z1 ; B x2 ; y2 ; z ta có: Vectơ AB có tọa độ là: AB x2 x1; y2 y1; z2 z1 ; vectơ BA x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 x1 x2 xM y y Trung điểm đoạn AB M có tọa độ là: yM z1 z2 zM x1 x2 y1 y2 z1 z2 ; ; 2 Khi đó: M Nếu C x3 ; y3 ; z3 x1 x2 x3 x G y y y ABC tạo thành tam giác có trọng tâm G thì: yG z1 z2 z3 zG B BÀI TẬP Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ a 1; 2;3 ; b 0; 1;1 ; c 1;5; a) Tìm tọa độ vectơ u a b c v 2a 3b c b) Tính a.b ; b.c a.c c) Tính cos a ; b cos b ; c Lời giải: a) Ta có: u 1; 2;3 0; 1;1 1;5; 0; 4; v 1; 2;3 0; 1;1 1;5; 2; 4;6 0; 3;3 1;5; 3;6;11 b) Ta có: a b 1; b c 3; a c 17 c) cos a ; b a b a.b 1 b.c 3 3 ; cos b; c 30 15 b.c Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A 0;1; 2 ; B 2;1;0 ; C 1; 4;5 a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành c) Tính cosin góc ABC d) Tìm điểm M thuộc trục hồnh cho MB MC Lời giải: x A xB xC 1 xG y y y a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có: yG A B C G 1; 2;1 z A z B zC 1 zG b) Để ABCD hình bình hành AB DC 2;0; 1 xD ; yD ;5 zD D 1; 4;3 c) Ta có: BA 2;0; 2 ; BC 1;3;5 Suy cos ABC cos BA; BC BA.BC 10 4 BA.BC 25 70 d) Do điểm M Ox nên ta gọi M x;0;0 ta có MB MC MB MC x 12 02 x 1 42 52 x x x x 42 x 2 37 Vậy M ; 0; 37 Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho a 2; 5;3 ; b 0; 2; 1 ; c 1;7; ; d 0; 17; 2 a) Tìm u a 4b 2c b) Tìm m; n; p biết d m.a n.b p.c Lời giải: a) Ta có: u 2; 5;3 0; 2; 1 1;7; 2; 5;3 0;8; 4 2;14; 0; 27;3 b) Ta có: d m.a n.b p.c 0; 17; 2 m 2; 5;3 n 0; 2; 1 p 1;7; 2m p m 5m 2n p 17 n 3m n p 2 p 2 Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ u x ; x 3; v y ; 4; Tìm x y để u v phương Lời giải: Để u v phương u k v x ; x 3; k y ; 4; 1 x y k x ky 4 x 4 k x x 8k y k Vậy x 1; y Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A 2;5;3 ; B 3;7;4 ; C x ; y ;6 , tìm x, y để A, B, C thẳng hàng Lời giải: Ta có: AB 1; 2;1 ; AC x 2; y 5;3 x k k Để A, B, C thẳng hàng AC k AB y 2k x 3 k y 11 Vậy x 5; y 11 Ví dụ 6: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ a 1;log 5; m b 3;log5 3; Tìm m để a b Lời giải: Để a b a.b log3 5.log5 4m 4m m 1 Ví dụ 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ a 2; 1; a) Tìm vectơ b phương với a , biết b 10 b) Tìm vectơ c phương với a , biết a c 100 Lời giải: a) Vì b phương với a nên b k a 2.k ; k ; 4k Lại có: b 10 2k k 16k 25k 10 k k 2 Do b 2a ; 2;8 b 2 a 4 ; 2; b) Vì c phương với a nên c k a 2 k ; k ; 4k Khi a c 8k k 16k 25k 100 k c 8 ; 4;16 Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ với hệ trục Oxyz, cho hai vectơ a b cho a ; b 120 , biết a 2; b Tính a b a 2b Lời giải: Ta có: a b a b a 2a b b a b cos120 13 12 cos120 2 2 Do a b Lại có: a b a 2b a 4a b b a b cos120 4.9 40 24 cos120 52 2 2 Do đó: a 2b 52 Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ u i m 1 j 2k Tìm giá trị m để u Khi giá trị m bằng: m B m A m 2 C m D m 2 Lời giải: m Chọn A m 2 Ta có: u 1; m 1; suy u 12 m 1 22 m 1 2 Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với trọng tâm G Biết A 1; 1; 2 , B 2;1; 3 , G 1; 2; 3 Khi tọa độ điểm C : A ; ; 3 3 B 0; 6; 4 C 4; 2; 8 Lời giải: D 1; 4; 1 xC 3.1 Giả sử C xC ; yC ; zC Khi đó: yC 2 6 C 0; 6; 4 Chọn B zC 3 4 Ví dụ 11: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a 2; 1;10 , biết b chiều với a có a b 10 Chọn phương án A b 6;3;0 B b 4; 2;0 C b 6; 3;0 D b 4; 2;0 Lời giải: k Ta có: b k.a 2k ; k ;0 k a b 4k k 10 k 2 L b 4; 2;0 Chọn D Ví dụ 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1; 2; 1 ; B 2; 1;3 ; C 3;5;1 Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D 4;8; 3 B D 2; 2;5 C D 2;8; 3 D D 4;8; 5 Lời giải: Vì ABCD hình bình hành nên AB DC 1; 3; 3 xD ;5 yD ;1 zD D 4;8; 3 Chọn A Ví dụ 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a 2; 1;0 ; b 1; 2;3 ; c 4; 2; 1 mệnh đề sau: (1) a b (2) b c (3) a phương với c (4) b 14 Trong bốn mệnh đề có mệnh đề đúng? A B C Lời giải: Ta có a b a b 1 +) b c D +) a không phương với c 3 sai +) b 12 22 32 14 Chọn C Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;1;1 , B 1;2;3 Tìm tọa độ điểm M cho AM BM A M ; ; 2 B M 1;3; C M 4;3;5 D M 5;0; 1 Lời giải: Giả sử M a; b; c Ta có: AM BM a 2; b 1; c 1 a 1; b 2; c 3 a a 1 a 4 b b b M 4;3;5 Chọn C c c c Ví dụ 15: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1;1; ; N 1; 4;3 ; P 5;10;5 Khẳng định sau sai? A MN 14 B Các điểm O, M, N, P thuộc mặt phẳng C Trung điểm NP I 3;7;4 D M, N, P ba đỉnh tam giác Lời giải: Ta có: MN 2;3;1 ; MP 6;9;3 suy MP 3MN nên M, N, P thẳng hàng suy khẳng định D sai Các khẳng định lại Chọn D Ví dụ 16: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tam giác ABC có A 1; 2; 1 , B 3;0;3 Tìm tọa độ điểm C cho G 2; 2; trọng tâm tam giác ABC A C 2; 4; B C 0; 2; C C 8;10;10 Lời giải: D C 2; 4; 4 a 3.2 Giả sử C a; b; c Vì G trọng tâm ABC nên b 3.2 G 2; 4; Chọn A c 3.2 1 Ví dụ 17: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A 0;0;0 , B 3;0;0 , D 0;3;0 D 0;3; 3 Tọa độ trọng tâm tam giác A’B’C’ là: A 1;1; 2 B 2;1; 1 C 1;2; 1 D 2;1; 2 Lời giải: AA DD 0;0; 3 A 0;0; 3 G 2;1; 2 Chọn D Từ giả thiết ta có: AB 3;0;0 AB B 3;0; 3 AB 3;0;0 DC C 3;3;0 Ví dụ 18: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc hai vectơ a 1; 2; 2 b 1; 1;0 A a, b 120 B a, b 45 C a, b 60 D a, b 135 Lời giải: Gọi góc hai vectơ Ta có: cos 1 1 2 12 22 2 1 1 2 02 1 135 Chọn D Ví dụ 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 1;3 , B 2; 3;5 , C 1; 2;6 Biết điểm M a; b; c thỏa mãn MA 2MB 2MC , tính T a b c A T B T C T 11 D T 10 Lời giải: Ta có: MA 2MB 2MC MA 2CB MA 2BC 3;1;1 M 7; 3;1 Suy T a b c 11 Chọn C Ví dụ 20: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 P 1; m 1; Tìm m để tam giác MNP vuông N A m 6 B m C m 4 D m Lời giải: Ta có: NM 3; 2; 2 , NP 2; m 2;1 Để tam giác MNP vng N NM NP 3.2 m 2 m Chọn B Ví dụ 21: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A B thỏa mãn OA 3i j 4k AB i j Trung điểm I AB có tọa độ A I 2; 2; 2 C I ; 3; 4 B I 2; 2; 2 D I 7; 3; 4 Lời giải: Ta có: A 3; 2; 4 , OB OA AB 4i j 4k suy B 4; 4; 4 Do trung điểm AB là: I ; 3; 4 Chọn C 2 Ví dụ 22: Vectơ u a; b; c có độ dài 2, tạo với vectơ a 1;1;1 góc 30 , tạo với vectơ b 1;1;0 góc 45 Tìm tất giá trị a A a B a C a 2 D a Lời giải: Ta có: cos u; a abc cos 30 a b c 3 Lại có: cos u; b c ab cos 45 a b 2 a b Mặt khác u a b c a a 2a 4a a 2 Chọn C Ví dụ 23: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho a b tạo với góc 120 Biết a 4; b , giá trị biểu thức A a b a b B A 50 A A 50 C A D A 37 13 Lời giải: Ta có: a b a b a 2a.b b 16 a b cos120 37 2 2 Tương tự a b a b a 2a.b b 16 a b cos120 13 2 2 Do A a b a b 37 13 Chọn D Ví dụ 24: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết tọa độ đỉnh A 3; 2;1 , C 4; 2;0 , B 2;1;1 , D 3;5; Tọa độ điểm A là: A A 3;3;1 B A 3; 3;3 C A 3; 3; 3 D A 3;3;3 Lời giải: Trung điểm AC O ; 2; 2 2 1 Trung điểm B’D’ O ;3; 2 2 Do ABCD.A’B’C’D’ hình hộp nên AA OO xA 3; y A 2; z A 1 0;1; A 3;3;3 Chọn D Ví dụ 25: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho vectơ u vng góc với vectơ a 1;1;1 b 1; 1;3 , u tạo với tia Oz góc tù u Tọa độ vectơ u là: A 2; 1; 1 B 4; 2; C 4; 2; 2 Lời giải: x y z 1 Gọi u x; y; z ta có x y 3z x2 y z 24 3 Do u tạo với tia Oz góc tù nên u.k z D 2; 2; 4 x y z x 2z vào (3) ta được: 4z z z 24 x y 3z y z Từ (1) (2) ta có: Với điều kiện z z 2 u 4; 2; 2 Chọn C Ví dụ 26: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2; 1 ; B 2; 1;3 ; C 4;7;5 Gọi điểm D a; b; c chân đường phân giác hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC Tính a b c A B 22 C D Lời giải: Ta có: AB 26; BC 26 Theo tính chất đường phân giác ta có: BA DA DA BC DC DC 2 1 a a 1 Do D nằm điểm A C nên DA DC C D 2 b b 2 2 1 c c a 11 b a b c Chọn A c Ví dụ 27: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A 1; 2;3 ; B 5; 2; 1 Tìm tọa độ điểm M a; b; c thỏa mãn MA.MA 4MB.MB Giá trị biểu thức a b c A 2 B 2 C D Lời giải: 2 Ta có: MA.MA 4MB.MB MA2 MA 16.MB2 MB MA4 16MB4 MA 2MB Theo đề ta dễ thấy hai vectơ MA; MB chiều 1 xM xM Do MA 2MB 2 yM 2 yM M 9; 6; 5 a b c 2 Chọn B 3 zM 1 zM Ví dụ 28: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A 1;2; 1 , B 2;3;4 C 3;5; 2 Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A I ; 4;1 2 37 B I ; 7; 27 C I ;15; D I 2; ; 2 Lời giải: Nhận thấy AB 1;1;5 ; AC 2;3; 1 AB AC nên tam giác ABC vuông A trung điểm 5 I ;4;1 tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng ABC Chọn A 2 ... hệ trục Oxyz, cho hai vectơ a b cho a ; b 120 , biết a 2; b Tính a b a 2b Lời giải: Ta có: a b a b a 2a b b a b cos120 13 12 cos120 2 2 Do a b... có: a b a 2b a 4a b b a b cos120 4.9 40 24 cos120 52 2 2 Do đó: a 2b 52 Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ u i m 1 j 2k Tìm giá... 16 a b cos120 37 2 2 Tương tự a b a b a 2a.b b 16 a b cos120 13 2 2 Do A a b a b 37 13 Chọn D Ví dụ 24: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hình