1. Trang chủ
  2. » Tất cả

Toa do diem vecto trong he truc toa do oxyz toan 12 bcpnp

12 9 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 12
Dung lượng 638,2 KB

Nội dung

TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm góc[.]

TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Hệ trục tọa độ không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz vng góc với đơi chung điểm góc O Gọi i; j; k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox; Oy; Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng  Oxy  ;  Oyz  ;  Oxz  đơi vng góc với gọi mặt phẳng tọa độ 2 Chú ý: i; j; k vectơ đơn vị đôi vng góc nên i  j  k  i j  j.k  k i  II Tọa độ, vectơ 1) Định nghĩa: Nếu u   x; y; z   u  x.i  y j  z.k 2) Các công thức vectơ Cho vectơ: u   x1; y1; z1  v   x2 ; y2 ; z2  ta có:  Tổng hiệu hai vectơ: u  v   x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2   Tích vectơ với số: ku   k x1; ky1; kz1   k    x1  x2   Hai vectơ nhau: u  v   y1  y2 z  z  Chú ý:   0;0;0  ; i  1;0;0  ; j   0;1;0  ; k   0;0;1 III Tọa độ điểm 1) Định nghĩa: Điểm M  x ; y ; z   OM  x i  y j  z k (trong x hoành độ, y tung độ z cao độ) 2) Tính chất: Cho điểm A  x1; y1; z1 ; B x2 ; y2 ; z  ta có: Vectơ AB có tọa độ là: AB   x2  x1; y2  y1; z2  z1  ; vectơ BA   x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2  x1  x2   xM   y y Trung điểm đoạn AB M có tọa độ là:  yM   z1  z2   zM   x1  x2 y1  y2 z1  z2  ; ;  2   Khi đó: M  Nếu C  x3 ; y3 ; z3  x1  x2  x3  x  G   y y y ABC tạo thành tam giác có trọng tâm G thì:  yG   z1  z2  z3   zG   B BÀI TẬP Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ a  1; 2;3 ; b   0; 1;1 ; c  1;5;  a) Tìm tọa độ vectơ u  a  b  c v  2a  3b  c b) Tính a.b ; b.c a.c c) Tính cos  a ; b  cos  b ; c  Lời giải: a) Ta có: u  1; 2;3   0; 1;1  1;5;    0; 4;  v  1; 2;3   0; 1;1  1;5;    2; 4;6    0; 3;3   1;5;    3;6;11 b) Ta có: a b     1; b c  3; a c  17 c) cos  a ; b   a b a.b  1 b.c 3 3  ; cos b; c        30 15 b.c   Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A  0;1; 2  ; B  2;1;0  ; C 1; 4;5 a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành c) Tính cosin góc ABC d) Tìm điểm M thuộc trục hồnh cho MB  MC Lời giải: x A  xB  xC  1  xG   y y y a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có:  yG  A B C   G 1; 2;1  z A  z B  zC  1  zG   b) Để ABCD hình bình hành AB  DC   2;0;   1  xD ;  yD ;5  zD   D  1; 4;3 c) Ta có: BA   2;0; 2  ; BC   1;3;5  Suy cos ABC  cos  BA; BC   BA.BC  10 4   BA.BC    25 70 d) Do điểm M  Ox nên ta gọi M  x;0;0 ta có MB  MC  MB  MC   x    12  02   x  1  42  52  x  x   x  x  42  x  2 37 Vậy M   ; 0;    37 Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho a   2; 5;3 ; b   0; 2; 1 ; c  1;7;  ; d   0; 17; 2  a) Tìm u  a  4b  2c b) Tìm m; n; p biết d  m.a  n.b  p.c Lời giải: a) Ta có: u   2; 5;3   0; 2; 1  1;7;    2; 5;3   0;8; 4    2;14;    0; 27;3  b) Ta có: d  m.a  n.b  p.c   0; 17; 2   m  2; 5;3  n  0; 2; 1  p 1;7;   2m  p  m     5m  2n  p  17  n  3m  n  p  2  p  2   Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ u   x ; x  3;  v   y ;  4;  Tìm x y để u v phương Lời giải: Để u v phương u  k v   x ; x  3;   k  y ;  4;  1   x  y k     x  ky 4      x   4 k   x      x    8k  y   k     Vậy x  1; y  Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A  2;5;3 ; B  3;7;4  ; C  x ; y ;6  , tìm x, y để A, B, C thẳng hàng Lời giải: Ta có: AB  1; 2;1 ; AC   x  2; y  5;3 x   k k    Để A, B, C thẳng hàng AC  k AB   y   2k   x  3  k  y  11   Vậy x  5; y  11 Ví dụ 6: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ a  1;log 5; m  b   3;log5 3;  Tìm m để a  b Lời giải: Để a  b  a.b    log3 5.log5  4m     4m   m  1 Ví dụ 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ a   2; 1;  a) Tìm vectơ b phương với a , biết b  10 b) Tìm vectơ c phương với a , biết a c  100 Lời giải: a) Vì b phương với a nên b  k a   2.k ;  k ; 4k  Lại có: b  10   2k    k   16k  25k  10  k   k  2 Do b  2a   ; 2;8  b  2 a   4 ; 2;   b) Vì c phương với a nên c  k a   2 k ;  k ; 4k  Khi a c  8k  k  16k  25k  100  k   c  8 ;  4;16  Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ với hệ trục Oxyz, cho hai vectơ a b cho  a ; b   120 , biết a  2; b  Tính a  b a  2b Lời giải: Ta có: a  b   a  b   a  2a b  b   a b cos120   13  12 cos120  2 2 Do a  b  Lại có: a  b   a  2b   a  4a b  b   a b cos120  4.9  40  24 cos120  52 2 2 Do đó: a  2b  52 Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ u  i   m  1 j  2k Tìm giá trị m để u  Khi giá trị m bằng: m  B m  A   m  2 C m  D m  2 Lời giải: m  Chọn A  m  2 Ta có: u  1; m  1;  suy u  12   m  1  22    m  1    2 Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với trọng tâm G Biết A 1; 1; 2  , B  2;1; 3 , G 1; 2; 3 Khi tọa độ điểm C : A  ;  ;   3 3 B  0; 6; 4  C  4; 2; 8 Lời giải: D  1; 4; 1  xC  3.1     Giả sử C  xC ; yC ; zC  Khi đó:  yC   2     6  C  0; 6; 4  Chọn B   zC   3    4 Ví dụ 11: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a   2; 1;10  , biết b chiều với a có a b  10 Chọn phương án A b   6;3;0  B b   4; 2;0  C b   6; 3;0  D b   4; 2;0  Lời giải: k  Ta có: b  k.a   2k ; k ;0   k    a b  4k  k  10    k  2  L   b   4; 2;0  Chọn D Ví dụ 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1; 2; 1 ; B  2; 1;3 ; C  3;5;1 Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D  4;8; 3 B D  2; 2;5 C D  2;8; 3 D D  4;8; 5 Lời giải: Vì ABCD hình bình hành nên AB  DC  1; 3;    3  xD ;5  yD ;1  zD   D  4;8; 3 Chọn A Ví dụ 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a   2; 1;0  ; b  1; 2;3 ; c   4; 2; 1 mệnh đề sau: (1) a  b (2) b c  (3) a phương với c (4) b  14 Trong bốn mệnh đề có mệnh đề đúng? A B C Lời giải: Ta có a b      a  b 1 +) b c        D +)    a không phương với c  3 sai +) b  12  22  32  14    Chọn C Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;1;1 , B  1;2;3 Tìm tọa độ điểm M cho AM  BM A M  ; ;  2  B M 1;3;  C M  4;3;5 D M  5;0; 1 Lời giải: Giả sử M  a; b; c  Ta có: AM  BM   a  2; b  1; c  1   a  1; b  2; c  3 a    a  1 a  4    b    b    b   M  4;3;5  Chọn C   c  c    c   Ví dụ 15: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M  1;1;  ; N 1; 4;3 ; P  5;10;5 Khẳng định sau sai? A MN  14 B Các điểm O, M, N, P thuộc mặt phẳng C Trung điểm NP I  3;7;4  D M, N, P ba đỉnh tam giác Lời giải: Ta có: MN  2;3;1 ; MP  6;9;3 suy MP  3MN nên M, N, P thẳng hàng suy khẳng định D sai Các khẳng định lại Chọn D Ví dụ 16: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tam giác ABC có A 1; 2; 1 , B  3;0;3 Tìm tọa độ điểm C cho G  2; 2;  trọng tâm tam giác ABC A C  2; 4;  B C  0; 2;  C C 8;10;10  Lời giải: D C  2; 4; 4  a  3.2     Giả sử C  a; b; c  Vì G trọng tâm ABC nên b  3.2     G  2; 4;  Chọn A c  3.2  1      Ví dụ 17: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A  0;0;0  , B  3;0;0  , D  0;3;0  D  0;3; 3 Tọa độ trọng tâm tam giác A’B’C’ là: A 1;1; 2  B  2;1; 1 C 1;2; 1 D  2;1; 2  Lời giải:  AA  DD  0;0; 3  A  0;0; 3   G  2;1; 2  Chọn D Từ giả thiết ta có:  AB  3;0;0   AB  B  3;0; 3    AB  3;0;0   DC  C  3;3;0  Ví dụ 18: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc hai vectơ a 1; 2; 2  b  1; 1;0  A  a, b   120 B  a, b   45 C  a, b   60 D  a, b   135 Lời giải: Gọi  góc hai vectơ Ta có: cos    1   1   2  12  22   2   1   1 2  02  1    135 Chọn D Ví dụ 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 1;3 , B  2; 3;5 , C  1; 2;6  Biết điểm M  a; b; c  thỏa mãn MA  2MB  2MC  , tính T  a  b  c A T  B T  C T  11 D T  10 Lời giải: Ta có: MA  2MB  2MC   MA  2CB   MA  2BC   3;1;1  M  7; 3;1 Suy T  a  b  c  11 Chọn C Ví dụ 20: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M  2;3; 1 , N  1;1;1 P 1; m  1;  Tìm m để tam giác MNP vuông N A m  6 B m  C m  4 D m  Lời giải: Ta có: NM  3; 2; 2  , NP  2; m  2;1 Để tam giác MNP vng N NM NP   3.2   m     2    m  Chọn B Ví dụ 21: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A B thỏa mãn OA  3i  j  4k AB  i  j Trung điểm I AB có tọa độ A I  2; 2; 2  C I  ; 3; 4  B I  2; 2;  2  D I  7; 3; 4  Lời giải: Ta có: A  3; 2; 4  , OB  OA  AB  4i  j  4k suy B  4; 4; 4  Do trung điểm AB là: I  ; 3; 4  Chọn C 2  Ví dụ 22: Vectơ u   a; b; c  có độ dài 2, tạo với vectơ a  1;1;1 góc 30 , tạo với vectơ b  1;1;0  góc 45 Tìm tất giá trị a A a  B a   C a  2 D a   Lời giải: Ta có: cos  u; a   abc  cos 30  a  b  c  3 Lại có: cos  u; b   c  ab  cos 45  a  b    2 a  b  Mặt khác u  a  b  c   a    a     2a  4a    a  2 Chọn C Ví dụ 23: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho a b tạo với góc 120 Biết a  4; b  , giá trị biểu thức A  a  b  a  b B A  50 A A  50 C A  D A  37  13 Lời giải: Ta có: a  b   a  b   a  2a.b  b  16  a b cos120   37 2 2 Tương tự a  b   a  b   a  2a.b  b  16  a b cos120   13 2 2 Do A  a  b  a  b  37  13 Chọn D Ví dụ 24: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết tọa độ đỉnh A  3; 2;1 , C  4; 2;0 , B  2;1;1 , D  3;5;  Tọa độ điểm A là: A A  3;3;1 B A  3; 3;3 C A  3; 3; 3 D A  3;3;3 Lời giải: Trung điểm AC O  ; 2;  2 2 1 Trung điểm B’D’ O  ;3;  2 2 Do ABCD.A’B’C’D’ hình hộp nên AA  OO   xA  3; y A  2; z A  1   0;1;   A  3;3;3 Chọn D Ví dụ 25: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho vectơ u vng góc với vectơ a  1;1;1 b  1; 1;3 , u tạo với tia Oz góc tù u  Tọa độ vectơ u là: A  2; 1; 1 B  4; 2;  C  4; 2; 2 Lời giải:   x  y  z  1 Gọi u   x; y; z  ta có  x  y  3z      x2  y  z      24  3 Do u tạo với tia Oz góc tù nên u.k   z  D  2; 2; 4  x  y  z  x  2z  vào (3) ta được: 4z  z  z  24  x  y  3z  y  z Từ (1) (2) ta có:  Với điều kiện z   z  2  u   4; 2; 2 Chọn C Ví dụ 26: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2; 1 ; B  2; 1;3 ; C  4;7;5 Gọi điểm D  a; b; c  chân đường phân giác hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC Tính a  b  c A B 22 C D Lời giải: Ta có: AB  26; BC  26 Theo tính chất đường phân giác ta có: BA DA DA    BC DC DC 2 1  a   a   1 Do D nằm điểm A C nên DA   DC  C D  2   b   b  2  2  1  c   c   a     11  b   a  b  c  Chọn A  c    Ví dụ 27: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A 1; 2;3 ; B  5; 2; 1 Tìm tọa độ điểm M  a; b; c  thỏa mãn MA.MA  4MB.MB Giá trị biểu thức a  b  c A 2 B 2 C  D Lời giải: 2 Ta có: MA.MA  4MB.MB  MA2 MA  16.MB2 MB  MA4  16MB4  MA  2MB Theo đề ta dễ thấy hai vectơ MA; MB chiều 1  xM    xM   Do MA  2MB  2  yM   2  yM   M  9; 6; 5   a  b  c  2 Chọn B  3  zM   1  zM  Ví dụ 28: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A 1;2; 1 , B  2;3;4  C  3;5; 2  Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A I  ; 4;1  2  37 B I  ; 7;    27 C I   ;15;    D I  2; ;    2 Lời giải: Nhận thấy AB 1;1;5 ; AC 2;3; 1   AB AC  nên tam giác ABC vuông A trung điểm 5  I  ;4;1  tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng ABC Chọn A 2  ... hệ trục Oxyz, cho hai vectơ a b cho  a ; b   120  , biết a  2; b  Tính a  b a  2b Lời giải: Ta có: a  b   a  b   a  2a b  b   a b cos120   13  12 cos120  2 2 Do a  b... có: a  b   a  2b   a  4a b  b   a b cos120  4.9  40  24 cos120  52 2 2 Do đó: a  2b  52 Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ u  i   m  1 j  2k Tìm giá...  16  a b cos120   37 2 2 Tương tự a  b   a  b   a  2a.b  b  16  a b cos120   13 2 2 Do A  a  b  a  b  37  13 Chọn D Ví dụ 24: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hình

Ngày đăng: 17/02/2023, 08:23

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w