BÀI 3 TÍCH của VECTƠ với một số

BÀI TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ MỤC TIÊU Kiến thức -Hiểu định nghĩa tích vectơ với số -Nắm tính chất tích vectơ với số, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm -Nắm điều kiện vectơ phương, ba điểm thẳng hàng Kỹ -Xác định vectơ tích vectơ với số -Chứng minh vectơ phương, ba điểm thẳng hàng -Phân tích vectơ qua hai vectơ khơng phương I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cho số k  vectơ a  Tích vectơ a với số k vectơ, kí hiệu k.a • Nếu k  k a hướng với a • Nếu k  k a ngược hướng với a Độ dài là: ka  k a a Tính chất Với hai vectơ a b bất kì, với số h k, ta có k (a  b )  ka  kb ; (h  k )a   ka; h(ka )  ( hk ) a; 1.a  a;( 1) a   a Điều kiện để hai vectơ phương • b phương a (a  0) có số k thỏa mãn b  ka Mở rộng: Điều kiện cần đủ để A,B,C thẳng hàng có số k cho AB  k AC Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương Cho a không phương với b Khi vectơ x ln biểu diễn dạng x  ma  nb biểu diễn (có số m,n) Trang II.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải Bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, việc sử dụng quy tắc cộng, trừ hai vectơ, cịn sử dụng tính chất phép nhân vectơ với số Ta lưu ý số vấn đề sau • k  a  Tích k a vectơ có + Phương: Cùng phương với vectơ a + Hướng: k  : hướng với vectơ a k  : ngược hướng với vectơ a + Độ dài: | k.a || k | | a | Quy ước: Oa  O kO  O • Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có MA  MB  2MI • Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có MA  MB  2MI Ví dụ: Cho lục giác ABCDEF có tâm O Chứng minh a) AB  EC  2OA  CA Hướng dẫn giải b) DE  DF  DA  DB  DC  3DA Trang a) Ta Có AB  EC  2OA  (ED  EC)  2OA  CD  DA  CA (điều phải chứng minh) b) Ta có DE  DF  DA  DB  DC  ( DE  DC )  DF  DA  DB  DO  ( DE  DO)  DA  ( DO  DC )  3DO  ( DE  DC )  DA  DO  DA  DA  DA  3DA (điều phải chứng minh) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình bình hành ABCD tâm O Chứng minh a) CB  CD  CA  b) OD  OC  DA  DB c) AB  AC  AD  AC d) AB  AD  AC  4OC e) AB  CD  AC  DB f) AD  BC  AC  BD g) AC  BD  BC h) OD  OC  AO  OB  AC Hướng dẫn giải a) Theo quy tắc hình bình hành ta có (CB  CD)  CA  CA  CA  (điều phải chứng minh) OD  OC  CD  b) Theo quy tắc trừ hai vetơ chung điểm đầu ta có :  DA  DB  BA   Mà ABCD hình bình hành nên CD  BA  OD  OC  DA  DB (điều phải chứng minh) c) Theo tắc hình bình hành ta có   AB  AC  AD  AB  AD  AC  AC  AC  AC (điều phải chứng minh) Trang   d) Ta có AB  AD  AC  AB  AD  AC  AC  AC  AC  4OC (điều phải chứng minh) e) Ta có AB  CD  AC  DB  AB  AC  CD  DB  CB  CB (hiển nhiên) Ta suy điều phải chứng minh f) Ta Có AD  BC  AC  BD  AD  AC  BD  BC  CD  CD (hiển nhiên) Ta suy điều phải chứng minh        BC   AB  AB   BC (điều phải chứng minh) h) Ta có OD  OC  AO  OB   OD  OB    AO  OC    AC  AC (điều phải chứng minh) g) Ta có AC  BD  AB  BC  BC  CD  BC  AB  CD Ví dụ Cho hình chữ nhật PQRS tâm O a) Chứng minh PQ  RP  SR  SQ b) Chứng minh RQ  OP  QO  OS  SP  RO  4OP c) Chứng minh MP  MR  MQ  MS với điểm M Hướng dẫn giải a) Ta có PQ  RP  SR  SR  RP  PQ  SQ (điều phải chứng minh)      b) Ta có RQ  OP  QO  OS  SP  RO  RQ  QO  OS  SP  RO  OP   RO  OP  RP  RP  RP  RP  2.2.OP  4OP (điều phải chứng minh) c) Cách Với điểm M ta có        MQ  MS    QP  QP   MQ  MS   MP  MR  MQ  QP  MS  SR  MQ  MS  QP  SR  Suy điều phải chứng minh Cách Vi O trung điểm PR QS nên với điểm M ta có  MP  MR  2MO   MP  MR  MQ  MS (điều phải chứng minh)  MQ  MS  MO   Ví dụ Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M,N,P trung điểm BC,CA,AB gọi I trung điểm AM Chứng minh a) AB  AC  AG c) GM  GN  GP  Hướng dẫn giải b) IB  IC  IA  d) HA  HB  HC  3HG với điểm H Trang a) Theo tính chất trung điểm ta có AB  AC  AM  AG  AG (điều phải chứng minh) b) Theo tính chất trung điểm ta có ( IB  IC)  2IA  2MM  2IA  2(M  IA)  2.0  (điều phải chứng minh) 1 1 c) GM  GN  GP   GA  GB  GC   (GA  GB  GC )    (điều phải chứng minh) 2 2 d) Với điểm H bất kỳ, ta có d HA  HB  HC  ( HG  GA)  (HG  GB)  (HG  GC )  3HG  (GA  GB  GC )  3HG   3HG (điều phải chứng minh) Ví dụ Nếu G G' trọng tâm tam giác ABC tam giác A ' B ' C ' AA '  BB '  CC '  3GG ' Từ suy hai tam giác ABC tam giác A ' B ' C ' có trọng tâm AA '  BB '  CC '  Hướng dẫn giải Với G G trọng tâm tam giác ABC tam giác A'B'C', ta có AA  BB  CC   ( AG  GG  G A )  ( BG  GG  G B )  (CG  GG  GC   ( AG  BG  CG)  (G A  G B  GC  )  3GG    3GG  3GG (điều phải chứng minh) Đặc biệt: Hai tam giác ABC tam giác A ' B ' C ' có trọng tâm  G  G  3GG   AA  BB  CC  (điều phải chứng minh) Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi H,E, F điểm cạnh AB,BC CA cho AB  AH , CB  3BE, CA  3CE Chứng minh hai tam giác ABC HEF có trọng tâm Hướng dẫn giải Trang 1 1 AB  BC  CA  ( AB  BC  CA)   3 3 Suy tam giác ABC tam giác HEF có trọng tâm Lưu ý: Từ tốn trở đi, để chứng minh hai tam giác ABC A'B'C' có trọng tâm G G' ta Ta có AH  BE  CF  chứng minh trực tiếp hai trọng tâm G G' trùng chứng minh AA  BB  CC  Bài tập tự luyện dạng Câu Khẳng định sau đúng? A Hai vectơ a , ka hướng B Hai vectơ a , ka phương C Hai vectơ a , ka có độ dài D Hai a , ka ngược hướng Câu Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Khẳng định sau sai? A AB  AM B AC  NC C BC  2 MN D CN   AC Câu Phát biểu sai? A Nếu AB  CD AB  CD B AB  CD A,B,C,D thẳng hàng C Nếu AB  AC  A,B,C thẳng hàng D AB  CD  DC  BA Câu Cho hình bình hành ABCD Khẳng định sau đúng? A AB  AC  AD  B AB  AC  AD  AC C AB  AC  AD  AC D AB  AC  AD  AC Câu Cho hình bình hành ABCD có M giao điểm hai đường chéo Mệnh đề sau sai? A AB  BC  AC B AB  AD  AC C BA  BC  BM D MA  MB  MC  MD Câu Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Mệnh đề sau đúng? A 2MA  MB  3MC  AC  BC B 2MA  MB  3MC  AC  BC C 2MA  MB  3MC  2CA  CB D 2MA  MB  3MC  2CB  CA Câu Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM Đẳng thức sau đúng? A IA  IB  IC  B IA  IB  IC  C IA  IB  IC  IA D IB  IC  IA Câu Gọi M,N trung điểm cạnh AD, BC tứ giác ABCD Đẳng thức sau sai? A AC  DB  2MN B AC  BD  MN C AB  DC  2MN D MB  MC  2MN Câu Cho tam giác ABC có trọng tâm G,O điểm Đẳng thức đúng? A AO  BO  CO  B OA  OB  OC  2OG C AO  BO  CO  3GO D AG  GB  BO  Câu 10 Cho ABC A ' B ' C ' có trọng tâm G G Khi đó, tổng ba vectơ AA  BB '  CC ' A GG ' *Đáp án trắc nghiệm B 2GG C 3GG D GG *Hướng dẫn giải Trang Câu Ta có IA  IB  IC  IA  IM  MB  IM  MC  (2IA  2MM )  (MB  MA)    Câu Gọi I, J trung điểm AB CD Khi AC  BD  ( AI  IJ  JC)  (BI  IJ  JD)  ( AI  BI )  2IJ  ( JC  JD)  2IJ  2MN Câu Ta có AO  BO  CO  AG  GO  BG  GO  CG  GO  ( AG  BG  CG)  3GO   3GO  3GO Câu 10 Ta có AA '  BB '  CC '  AG  GG  G A  BG  GG  G B  CG  GG  GC = ( AG  BG  CG)  (G A  G B  GC  )  3GG =   3GG  3GG Dạng Phân tích biểu diễn) vectơ theo hai vectơ cho trước Phương pháp giải • Cho a b khơng phương x Khi có cặp số h,k cho x   kb • Dùng phép tốn cộng, trừ, nhân vectơ với số để phân tích vectơ x phụ thuộc theo a b • Bài tốn phân tích số 1: Với điểm M hình vē, ta có AM  n m AB  AC mn mn Trang 1 AB  AC 2 • Bài tốn phân tích số 2: Với điểm M hình vē, ta có Đặc biệt: Nếu M trung điểm BC AM  mn m AB  AC; n n mn m AM  AC  AB n n AM  • a, b  phương  k : a  k b • A, B,C thẳng hàng  AB phương AC  k  : AB  k AC • Nếu AB  kCD hai đường thẳng AB,CD phân biệt AB / /CD Ví dụ: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC,N trung điểm AM P điểm đối xứng với M qua AN , AP theo hai vecto u  AB v  AC Hướng dẫn giải Vì N trung điểm AM M trung điểm BC nên ta có 11  AN  AM   AB  AC  22  1 1  AB  AC  u  v 4 4  AB  BP  AB  CB 3  AB  ( AB  AC )  AB  AC  u  v 2 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD Gọi I trung điểm AD M điểm cho MC  2 MB a) Hãy phân tích AM theo hai vectơ AB AC b) Hãy phân tích BI theo hai vectơ BA, BC Hướng dẫn giải Trang a)Vì MC  2MB nên  MC  2MB  CM  2MB Ta có AM  AC  CM  AC  2MB  AC  2(MA  AB )  AC  AM  AB  AB  AC  AM AB  AC 3 b) Vì I trung điểm AD nên ta có 1 1 1 BI  BA  BD  BA   BC  BA  BC 2 2 2  AM  AB  AC  AM  Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M,I,J ba điểm thỏa mãn MB  3MC, IA  IB, AJ  2JC K trung điểm đoạn IJ a) Hãy phân tích vectơ AM theo vecto AB AC b) Hãy phân tích vectơ AK theo vecto AB AC Hướng dẫn giải MB  3MC  MB  3MC   M thuộc đường thẳng BC cho C nằm B, M MB  3MC IA   IB  IA  IB   I trung điểm đoạn thẳng AB AJ  JC  JA  JC   J thuộc đoạn thẳng AC cho JA  JC a) MB  3MC  BM  3CM Ta có AM  AB  BM  AB  3CM  AB  3(CA  AM )  AB  3AC  3AM  2 AM  AB  AC  AM   AB  AC 2 b) Theo tính chất trung điểm ta có 1 1 1 AK  A  AJ   AB   AC  AB  AC 2 2 Ví dụ Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a, AD  b Gọi I trung điểm CD,G trọng tâm tam giác BC a) Phân tích vectơ BI theo a,b b) Phân tích vectơ AG theo a,b Hướng dẫn giải Trang 1 1 1 BD  BC  ( BA  AD)  AD   AB  AD   a  b 2 2 2 2 1  b) Ta có AG  AB  BG  AB  BM  AB    BI  BC  3 2  1 1  AB  BI  BC  AB  BI  AD 3 3 1   a   a b  b  a  b 3  a) Ta có BI  Ví dụ Cho tam giác ABC có điểm I cạnh AC cho Cl  AC , J điểm thỏa mãn AC  AB a) Chứng minh ba điểm B, I, J thẳng hàng b) Xác định điểm thỏa yêu cầu toán BJ  c) Gọi K trung điểm BC Biểu diễn IK theo hai vectơ AB AC Hướng dẫn giải 3 a) Ta có BI  BA  AI  BA  AC  AC  AB 4 Mặt khác B BJ  AC  AB 3 Suy BI  BJ  BI , BJ phương  ba điểm B,I,J thẳng hàng b) Vì BI  2 BJ  BJ  BI  J thuộc đoạn thẳng BI cho BJ  BI 3 c) Ta có 1 1 13 1  K  B  C   B /   AC    AC  AB   AC  AB  AC 2 2 24  → Bài tập tự luyện dạng Trang 10 Ta có AB  AC  A  AI  2a 2 4 4a c) Ta có | GB  GC  AG || AG |  AI || AI  AI  AI  AI  3 3 3 5 5a d) Ta có | AB  GI |  AC || ( AB  AC )  GI || AI  AI  AI  AI  3 3 Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh 6cm Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính độ dài vectơ a) AB  DC OA  CB Hướng dẫn giải b) 2AB  DA AB  AC a) Ta có AC  AD  DC  62  62  2cm, OC  AC  2cm AB  DC  AB  AB  AB  AB  12cm OA  CB  CO  CB  BO  BO  OC  2cm b) Gọi M điểm đối xứng với B qua A Vẽ hình chữ nhật AMJD gọi N trung điểm CM AB  DA  AM  AD  AJ  AJ  AM  MJ  122  62  5cm Ta có ABCD, BMJC hình vng có cạnh nên ACM  ACB  BCM  450  450  900 CM AC   2cm  ACN vuông N CN  2 Khi AB  AC  AM  AC  AN  AN  AC  CN  (6 2)2  (3 2)  10cm Ví dụ Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD  600 Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính a) AB  AD b) OB  DC c) OB  OC Hướng dẫn giải Trang 14   AB  AD  a a) Vì   ABD cạnh a BAD  60   a a Ta có AO  AB2  BO2  a     2 AB  AD  AO  AO  a  a b) OB  DC  OB  CD  OB  BA  OA  OA  a c) Gọi I trung điểm BC Ta có OB  OC  2OI  AB  AB  a Ví dụ Cho lục giác ABCDEF có tâm O, cạnh 2cm Gọi I, J trung điểm AF CD,P Q giao điểm CI,FJ với AD Tính độ dài vectơ a) AC b) PC  PF c) PC  PF Hướng dẫn giải a) Ta có AB  BC  CD  DE  EF  FA  OA  OB  OC  OD  OE  OF  2cm  OAB cạnh cm Gọi M giao điểm hai đường chéo OB AC hình thoi ABCO AC  AM  AM  AB  BM  22  12  3cm b) Ta có PC  PF  FC  FC  2OC  2.2  4cm c) Vì P giao điểm hai đường trung tuyến AO C tam giác AFC nên P trọng tâm tam giác AFC 1 Ta có PC  PF  PO  PO  AO  .2  cm 3 Ví dụ Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm điểm M đường thẳng d cho vectơ a  2MA  MB  MC có độ dài nhỏ Hướng dẫn giải Trang 15 Gọi I, J, K trung điểm AB, AC , IJ Ta có a  2MA  MB  MC  (MA  MB)  (MA  MC)  2MI  2MJ    MI  MJ  2.2MK  4MK Suy a  4MK  4MK Do độ dài vectơ a nhỏ MK nhỏ Khi M hình chiếu vng góc K lên đường thẳng d Bài tập tự luyện dạng Câu Cho hình vng ABCD cạnh a Khi đó, S  AD  DB có giá trị A S  2a B S  a D S  a C S  a Câu Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh AB  a, BC  2a Khi AB  AD B 5a A a 17 D 2a C.3a Câu Cho tam giác OAB vuông cân O, cạnh OA  a Khi 2OA  OB B (1  2)a A.a D 2a C a Câu Cho tam giác OAB vuông cân O, cạnh OA  a Khẳng định sau sai? A 3OA  4OB  5a B 2OA  3OB  5a C 7OA  2OB  5a D 11OA  6OB  5a Câu Cho tam giác ABC vng cân A có BC  a M trung điểm BC Khẳng định sau đúng? A BA  BM  a C BA  BM  a B | BA  BM | a D BA  BM  a 10 Câu Cho tam giác ABC cạnh a có G trọng tâm Khi giá trị AB  GC a A B 2a C 2a D a Câu Cho hình thoi ABCD có AC  2a, BD  a Khi giá trị AC  BD A AC  BD  3a C AC  BD  a B | AC  BD  a D AC  BD  5a Trang 16 Câu Cho hình thang vng ABCD có hai đáy AB  a, CD  2a, đường cao AD  a Đặt u  DA  AB  CD Độ dài vectơ u a C a D 2a Câu Cho hình thang ABCD có đáy AB  a CD  2a Gọi M, N trung điểm AD A 2a B BC Khi MA  MC  MN a A B 3a C 2a D 3a Câu 10 Cho tam giác ABC có H chân đường cao hạ từ A cho BH  HC Gọi G trọng tâm tam giác Điểm M di động nằm BC cho BM  xBC Giá trị x để độ dài vectơ MA  GC đạt giá trị nhỏ A x  B x  C x  D x  *Đáp án trắc nghiệm *Hướng dẫn giải Câu Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB tam giác ABC 2 4 a 2a | AB  GC || AP  2PG || 2( AP  PG) || AG | AG    AM  AB  BM  a    3 3 2 Câu Gọi M trung điểm CD O tâm hình thoi ABCD Ta có OM đường trung tuyến tam giác vng OCD Trang 17 a a   2 CD OC  OD a 2  OM     2 | AC  BD || 2OC  2OD || 2(OC  OD) || 2.2  OM | |  OM | 4OM   a a Câu Gọi I trung điểm CD  ABID hình vng | u || DA  AB  CD || DA  BA  DC || BA  DA  DC || ID  DA  DC || IA  DC || DC  CB | | DB | DB  AB  AD  a  a  a Câu CD a AB  CD a  2a 3a    MI  MN MN đường trung bình hình thang ABCD  MN  2 1 3a a Ta có | ( MA  MC )  MN || M |  MN ||  MN  MN || MN ∣ MN    3 3 2 Câu 10 Gọi I trung điểm AC Khi MI đường trung bình tam giác ACD  MI  Dựng hình bình hành AGCN Ta có MA  GC  MA  AN  MN Kẻ NK  BC K Khi | MA  GC || MN | MN  NK Do |MA + GC| nhỏ M  K Gọi I trung điểm AC, J hình chiếu vng góc I lên BC (J  BC) Khi I trung điểm GN nên BI = BN Trang 18 Ta có  BIJ  BNK đồng dạng nên BJ BI   hay BK  BJ BK BN Mặt khác BH  HC IJ đường trung bình  AHC nên J trung điểm HC hay HJ  HC 1 5 Suy BJ  BH  HJ  HC  HC  HC   BC  BC 6 4 5 Do BK  BJ   BC  BC 3 Dạng Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước Bài toán Xác định điểm →Phương pháp giải Để xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước ta thường sử dụng ba phương pháp sau: • Dạng Đưa vectơ số nhân với vectơ biết Nếu biết điểm đầu vectơ điểm cuối vectơ xác định • Dạng Xác định điểm dựa vào đẳng thức vectơ hai điểm cố định A,B Trước hết, theo tính chất hai vectơ phương, điểm cần tìm phải nằm đường thẳng AB Ta cần xác định điểm cần tìm thuộc đoạn thẳng AB hay nằm ngồi đoạn AB, xác định tỉ lệ, vẽ hình minh họa mơ tả vị trí tương đối điểm cần tìm so với hai điểm A,B • Dạng Xác định điểm dựa vào đẳng thức vectơ ba hay bốn điểm cố định Trước hết, biến đổi đẳng thức vectơ, đưa điểm cần tìm phụ thuộc theo hai điểm cố định (đưa dạng 2) Tiến hành xác định vị trí điểm cần tìm theo phương pháp dạng Ví dụ: Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí G biết AG  2GD Hướng dẫn giải  Ta có AG  2GD  AG  GA  AD  AG  AD  AG   AD Suy G thuộc đoạn thẳng AD cho AG  AD Mà AD đường trung tuyến tam giác ABC nên G trọng tâm tam giác ABC →Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai điểm phân biệt A B a) Tìm điểm M cho MA  2MB  Trang 19 b) Tìm điểm N cho 3NA  NB  c) Tìm điểm F cho 3HA  HB  d) Tìm điểm K cho KA  3KB  Hướng dẫn giải   a) MA  2MB   MA  MA  AB   AB  3MA AB  M thuộc đoạn thẳng AB cho AM  AB  AB  AM  AM    b) 3NA  NB   3NA  NA  AB   AB  5 NA  AB  AN  AN  AB  N thuộc đoạn thẳng AB cho AN  AB c) 3HA  2HB   3HA  2( HA  AB)   HA  AB  H thuộc đường thẳng AB (A nằm H B) cho HA  AB   d) KA  3KB   KA  KA  AB    KA  AB   AK  AB  K thuộc đường thẳng AB (B nằm A K) cho AK  3AB Lưu ý: Từ ví dụ ta rút rằng: với h, k số thực lớn 0, hai điểm A, B cổ định ta có • hMA  k MB  điểm M thuộc đoạn AB thỏa mãn hMA = kMB • hMA  k MB  điểm M nằm ngồi đoạn AB thỏa mãn hMA = kMB + Nếu h< k B nằm A M + Nếu h> k A nằm B M Ví dụ Cho tam giác ABC Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ sau a) Điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  b) Điểm N thỏa mãn NA  NB  NC  c) Điểm P thỏa mãn PA  PB  CB Hướng dẫn giải a) Ta có (MA  MB)  MC   BA  MC   MC  AB  AB  MC  M điểm cho ABCM hình bình hành Trang 20 b) Gọi I trung điểm AB Ta có ( NA  NB)  2NC   2NI  2NC     N  NC   N  NC   N trung điểm IC c) PA  PB  CB  PA  PB  CB  PB  2PI  CP  2PI  PC   P thuộc đoạn C cho 2PI  PC Ví dụ Cho tam giác ABC a) Tìm điểm M cho MA  2MB  3MC  b) Xác định điểm N cho NA  AB  NC  c) Xác định điểm P cho PA  3PB  PC  Hướng dẫn giải Gọi I,J,K trung điểm cạnh AB,BC,CA a) MA  2MB  3MC   (MA  MC)  2(MB  MC)   2MK  2.2MJ   MK  2MJ   M thuộc đoạn thẳng JK cho MK  2MJ   b) NA  AB  NC   NA  NC  AB   NK  AB   AB  KN  KN  AB  KN   KJ  KN  3KJ  N thuộc đường thẳng KJ(J nằm K N) cho KN  3KJ   c) PA  3PB  PC   PA  PC  3PB   PK  3PB   P thuộc đoạn thẳng BK cho 2PK  3PB Ví dụ Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD a) Tìm điểm M thoả mãn MA  2MB  MC  MD  3MO b) Tìm điểm N thỏa mãn AN  AB  AC  AD c) Tìm điểm I thỏa mãn IA  IB  IC  4ID Hướng dẫn giải Trang 21 a)Ta có MA  2MB  MC  MD  3MO  MA  MB  MC  MD  MB  3MO        (OA  OC )   OB  OD    MO  MB       MO  MB    ( MO  OA)  MO  OB  MO  OC  MO  OD  MB  3MO   MO  MB   M trung điểm đoạn thẳng OB b) Ta có   AN  AB  AC  AD  AN  AB  AD  AC  AN  AC  AC  AN  AC Suy N thuộc đoạn thẳng AC cho AN  c) Ta có    AC      IA  IB  CC  41D  10  OA  10  OB  IO  OD  10  OD     OA  OC  OB  10  4OD    OB  OI  BO   5OB  OI   OI  5BO Suy I thuộc đường thẳng BD cho O nằm B,I O  5BO Bài tốn Tìm quỹ tích điểm Phương pháp giải Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn • Tập hợp điểm M cách điểm I khoảng không đổi R : IM  R đường tròn tâm I bán kính R Trang 22 • Tập hợp điểm M cách hai điểm A, B : MA  MB đường trung trực đoạn thẳng AB • Để giải tốn quỹ tích ta thường thực phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với số kết luận Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  MD Hướng dẫn giải Gọi I,J trung điểm đoạn thẳng AB CD Theo tính chất trung điểm đoạn thẳng ta có MA  MB  MC  MD  2M  2MJ  2Ml  2MJ  MI  MJ Vậy tập hợp điểm M thỏa yêu cầu toán đường trung trực đoạn thẳng IJ Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC a) Tìm tập hợp điểm M cho MA  MB  MC  MB  MC b) Tìm tập hợp điểm N cho 2NA  NB  NC Hướng dẫn giải a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có MA  MB  MC  MB  MC  3MG  CB  3MG  CB  MG  BC Trang 23 BC Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm G bán kính R  b) Gọi I trung điểm BC Ta có NA  NB  NC  NA  N  NA  N∣  NA  NI Vậy tập hợp điểm M đường trung trực AI Ví dụ Cho tam giác ABC a) Xác định điểm M cho 3MA  2MB  MC  b) Tìm tập hợp điểm N cho 3NA  NB  NC  NA  NB c) Tìm tập hợp điểm D cho DA  DB  DC  AC  BC d) Tìm tập hợp điểm E cho EA  EB  EC  EB  EC e) Tìm tập hợp điểm F cho FA  3FB  FC  FA  FB  FC Hướng dẫn giải Gọi I,J,K trung điểm AB,BC,CA a) Ta có 3MA  2MB  MC   2(MA  MB)  (MA  MC)   2BA  2MK   MK  AB  AB  MK  ABKM hình bình hành Vậy M đỉnh thứ tự hình bình hành ABKM b) Với ABKM hình bình hành, ta suy BA  KM 3NA  NB  NC  NA  NB  KM  NK  BA  BA  NK  BA  KM  NK  BA    NK  KM  BA  NM  BA  NM  BA  NM  Vậy tập hợp điểm N đường tròn tâm M, bán kính R  c) Gọi O trung điểm củaI J Ta có    BA BA  DA  2DB  DC  AC  BC  DA  DB  DB  DC  AB    DI  DJ  AB  DI  DJ  AB  2.2 DO  AB  DO  AB  DO  AB Vậy tập hợp điểm D đường tròn tâm O, bán kính R=AB d) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất trọng tâm ta có Trang 24 EA  EB  EC  EB  EC  3EG  EJ  EG  EJ  EG  EJ Suy E cách hai điểm G,J Vậy tập hợp điểm E đường trung trực đoạn thẳng GJ e) Gọi M điểm đối xứng với B qua A Vẽ hình bình hành BCIT  CB  IT AA  3FB  FC  FA  FB  FC         FA  FB  FB  FC  FA  FB  FA  FC   FI | 2CB  BA  CA  FI  IT  AP  CA  FT  CP  FT  CP  FT  CP Vậy tập hợp điểm F đường tròn tâm , bán kính R  CP Ví dụ Cho tứ giác ABCD Với số k tùy ý ta lấy điểm M,N cho AM  k.AB, DN  k.DC Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN với giá trị k Hướng dẫn giải Gọi E,F trung điểm AD BC   EF  EA  AB  BF Ta có  EF  ED  DC  CF         Cộng theo vế ta EF  EA  ED  AB  DC  BF  CF  AB  DC Tương E trung điểm AD MN nên 1 k k EI  AM  DN  k AB  k DC  AB  DC  2EF  k EF 2 2       Suy EI EF phương hay I thuộc đường thẳng EF Vậy k thay đổi tập hợp trung điểm đoạn MN đường thẳng EF Bài tập tự luyện dạng Câu Cho tam giác ABC Nếu điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  ta có A ABMC hình bình hành B ABCM hình bình hành C M trung điểm BC D M trung điểm AB Câu Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MB  MC  AB Tìm vị trí điểm M A M trung điểm AC B M trung điểm AB C M trung điểm BC D M điểm thứ tư hình bình hành ABCM Câu Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí điểm G biết GA  AD  A G nằm đoạn AD GD  2GA B G nằm đoạn AD AG  AD C G nằm đoạn AD AG  AD D G nằm đoạn AD GA  GD 3 Trang 25 Câu Cho tam giác ABC, D trung điểm cạnh AC Gọi F điểm thỏa mãn IA  IB  3IC  Khẳng định sau đúng? A I trực tâm ABCD B I trọng tâm AABC C I trọng tâm ACDB D Cả A,B,C sai Câu Cho tam giác ABC , tập hợp điểm M cho MA  MB  MC  A đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC B đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính 18 C đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính D đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính Câu Cho M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA tam giác ABC Giả sử I điểm thỏa mãn điều kiện IA  IB  IC  Khi vị trí điểm I A tâm hình bình hành BMPN B đỉnh thứ tư hình bình hành AMPL C trực tâm tam giác ABC D trọng tâm tam giác MNP Câu Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, với I trung điểm AB Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA  MB  MA  2MB A đường trung trực đoạn thẳng AB B đường trịn đường kính AB C đường trung trực đoạn thẳng A D đường tròn tâm A, bán kính AB Câu Cho tam giác ABC cạnh a Biết tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA  3MB  4MC  MB  MA đường trịn cố định có bán kính R Tính bán kính R theo a a a a a B R  C R  D R  Câu Cho hình chữ nhật ABCD số thực k  Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức A R  MA  MB  MC  MD  k làm A đoạn thẳng B đường thẳng C đường tròn D điểm Câu 10 Cho tam giác ABC cạnh 2a, (d) đường thẳng qua A song song BC Khi M di động (d) giá trị nhỏ MA  MB A a B a C 2a D 2a *Đáp án trắc nghiệm *Hướng dẫn giải Câu Trang 26 Ta có IA  2IB  IC   ( IA  IC)  2IB   IP  IB   IP  IB   I trung điểm BP hình bình hành BMPN Suy I tâm hình bình hành BMPN Câu Chọn điểm E thuộc đoạn AB cho EB  EA  EA  EB  Chọn điểm F thuộc đoạn AB cho FA  FB  FB  FA  Ta có | 2MA  MB || MA  2MB || 2ME  2EA  ME  EB || MF  FA  2MF  2FB |  3ME  (2EA  EB) || 3MF  (2FB  FA) || 3ME || 3MF ∣ ME  MF (*) Vì E, F hai điểm cố định nên từ đẳng thức (*) suy tập hợp điểm M trung trực đoạn thẳng EF Gọi I trung điểm AB suy I trung điểm EF Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn | 2MA  MB || MA  2MB | đường trung trực đoạn thẳng AB Câu Gọi G trọng tâm tam giác ABC Với điểm I bất kỳ, ta có 2MA  3MB  4MC  2(MI  IA)  3(MI  IB)  4(MI  IC)  9MI  (2IA  3IB  4IC) Chọn điểm I cho 2IA  3IB  4IC   3( IA  IB  IC)  ( IC  IA)  Do | 2MA  3MB  4MC || MB  MA | | 9MI | (2 IA  3IB  IC ) || AB ∣ | 9MI | AB  9MI  AB  MI  AB a  MI  9 Vì I điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp điểm M cần tìm đường trịn tâm I, bán kính R = Câu Trang 27 a Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD Ta có OA  OC  OB  OD  Do | MA  MB  MC  MD | k | (MO  OA)  (MO  OB)  (MO  OC)  (MO  OD) | k | 4MO  (OA  OC )  (OB  OD) | k | 4MO | k  4MO  k  MO  k Vì O điểm cố định nên tập hợp điểm M thỏa u cầu tốn đường trịn tâm O, bán kính R  k Câu 10 Chọn điểm N thuộc đoạn AB cho NA  NB  NB  NA  Ta có | MA  2MB || MN  NA  2(MN  NB) || 3MN  (2NB  NA) || 3MN | 3MN Do |MÀ + 2MB| nhỏ  MN nhỏ  M hình chiếu vng góc N đường thẳng (d) Gọi H trung điểm BC, K hình chiếu vng góc điểm B đường thẳng (d) MN AN MN 2     MN  AH  MN  AB  BH Theo định lý Talet ta сó BK AB AH 3  MN  2a (2a)2  a  MN  3 Vậy |MA + 2MB| đạt giá trị nhỏ 3MN 2a Trang 28 ... hiệu vectơ tích vectơ với số • Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành tích số với vectơ • Tính độ dài vectơ Từ suy độ dài vectơ cho Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông A, BC  5a, AB  3a Tính độ dài vectơ. .. dài tổng, hiệu vectơ tích vectơ với số →Phương pháp giải Dạng tốn tìm độ dài vectơ phát triển từ Bài Bài hoàn thiện Bài với mức độ khó tăng dần Đó phép tốn vectơ phối Tính độ dài vectơ hợp ngày... BÀI TẬP Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải Bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, việc sử dụng quy tắc cộng, trừ hai vectơ, cịn sử dụng tính chất phép nhân vectơ với số Ta lưu ý số