Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 36 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
36
Dung lượng
1,63 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Phạm Văn Vượng MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƢƠNG Kiến thức cần nhớ Một số ví dụ tiêu biểu MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CHÍNH PHƢƠNG 13 Các toán liên quan đến tính chia hết số nguyên 25 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Kiến thức cần nhớ Một số phƣơng chia cho có số dƣ Một số phƣơng chia cho có số dƣ Một số phƣơng chia cho có số dƣ hoặc 4 Một số phƣơng chia cho có số dƣ hoặc Nếu số phƣơng chia hết cho số ngun tố p chia hết cho p2 Với số nguyên dƣơng n ta có S (n) n(mod3) Với số nguyên dƣơng n ta có S (n) n(mod9) Chữ số tận số phƣơng Một số phƣơng khơng thể có tận chữ số 2, 3, 7, Một số phƣơng có chữ số tận phải có chữ số hàng chục số lẻ 10 Một số phƣơng có chữ số tận phải có chữ số hàng chục số chẵn 11 Tích số tự nhiên liên tiếp số phƣơng phải có số 12 Nếu (a; b) , a.b c a, b số phƣơng 13 Nếu ( x; y) ( x2 xy y ; x) ( y ; x) ( x xy y ) ( x y; y) , ( x2 xy y ; x y) ( y ; x y) 14 a) Định lí Fermat nhỏ: Nếu p số nguyên tố a số nguyên khơng chia hết cho p p 1 a 1 p a) Nếu a b2 p mà p số ngun tố có dạng 4k + a, b chia hết cho p Chứng minh a) Vì a khơng chia hết cho p nên số 2a, 3a,…, (p – 1)a không chia hết cho p Giả sử chia số a, 2a, 3a,…,(p – 1)a cho p ta đƣợc số dự lần lƣợt r1 , r2 , , rp 1 số r1 , r2 , , rp 1 đôi khác Thật có số ri , rj ia, ja có số dƣ chia cho p nên ia ja p a(i j ) (i j ) p điều xảy i, j phân biệt i, j < p Từ ta có: r1 r2 rn 1.2.3.4 ( p 1) ( p 1)! nên a.2a.3a ( p 1)a có số dƣ với r1 r2 rp 1 chia cho p Mà a.2a.3a ( p 1)a ( p 1)!a p 1 suy ( p 1)!a p 1 ( p 1)! có số dƣ chia cho p hay a p 1 có số dƣ chia cho p Nói cách khác (a p 1 1) p b) Giả sử hai số a, b không chia hết cho p, suy số cịn lại khơng chia hết cho p (a p 1 1) p (a p 1 b p 1 2) p, p 4k nên a 4k 2 b4 k 2 p Theo định lí nhỏ Fermat: p 1 (b 1) p 2 Ta có a4k 2 b4k 2 (a2 )2 k 1 (b2 )2 k 1 (a2 b2 ) mà a b chia hết cho p, suy p, p số nguyên tố nên suy p = 2, trái với giả thiết p = 4k + Vậy a, b chia hết cho 15 Một số tính chất liên quan đến đồng dƣ Định nghĩa: Cho a, b số nguyên m số nguyên dƣơng Ta nói a đồng dƣ với b theo modun m có số dƣ chia cho m Kí hiệu a b(mod m) Nhƣ a b(mod m) (a b) m Tính chất: Cho a, b, c Z , m N * Khi ta có: + a b(mod m), c b(mod m) a c(mod m), + a b(mod m) a c b c(mod m) + a b(mod m) ac bc(mod m) + a b(mod m) a n bn (mod m), n Z + (a b)n bn (mod a) voi a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Định lí Fermat: Cho số nguyên tố p số nguyên dƣơng a ta có: a p a(mod p) Đặc biệt: (a, p) a p 1 1(mod p) Một số ví dụ tiêu biểu Ví dụ 1: Cho a, b, c số nguyên khác 0, a c cho a a b2 Chứng minh c c2 b2 a b2 c2 số nguyên tố Lời giải a a b (a c)(b ac) c c b Từ a c nên b2 ac Khi đó: a2 b2 c2 a2 ac c2 a2 2ac c2 b2 (a c b)(a c b) Dễ thấy a b2 c2 , a b2 c2 số nguyên tố xảy bốn trƣờng hợp sau: 2 Ta có: a a a c b a c b a b2 c2 c b a c b a b2 c2 c b a c b a b2 a c b a a2 c b b2 c2 Hai trƣờng hợp ta thu đƣợc: a a c , a b2 c2 b2 c Hai trƣờng hợp lại ta thu đƣợc: a c2 a c 1 c , a c Nhƣng a c nên dẫn đến mâu thuẫn Vậy a b2 c2 số nguyên tố Nhận xét: Để chứng minh a số nguyên tố ta phân tích a b.c sau suy hai thừa số b c phải Ví dụ 2: Tìm tất số ngun dƣơng a, b cho a 4b4 số nguyên tố Lời giải: Ta có: a a2 4b4 2b2 a4 4b4 2ab a 2 b2 Vì a b mãn tốn Ví dụ 3: 2b2 1nên a 4a b2 4a b2 2ab a b a b 2018 b c 2018 an bm bn an bm bn cm m (*) m, n n 2018 Do cm 0 a b m n 2b2 b2 a 2ab b 4b4 số nguyên tố a Tìm số nguyên dƣơng a,b,c thỏa mãn Đặt a2 b2 b b2 a b 2018 số hữu tỉ a b c 2018 Lời giải: Z, n 0, m , n Suy a b2 b thỏa c2 số nguyên tố Khi (*) đƣợc viết nhƣ sau: 2018 số vơ tỉ số a, b,c, m, n Z b c Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ac b2 Từ ta có: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a2 b2 c2 a c nên a b c a a b c b a b c a 2ac b2 a c c Vì để a b c b2 b2 a b c a c2 số nguyên tố điều kiện là: Mặt khác a, b, c nguyên dƣơng nên a Dấu đẳng thức xảy a b c Khi a mãn điều kiện đầu Vậy a b c ba số cần tìm Ví dụ 4: Cho số nguyên dƣơng a, b,c,d thỏa mãn điều kiện a rằng: a b c d hợp số Lời giải: 2 2 2 b ab c d cd a b ab c d Ta có: a a b c d Giả sử ngƣợc lại , p Thế từ ab cd ab cd a p a b c a b c c Do a, b, c nguyên dƣơng b d a b c d b2 c2 a b c b2 c2 số nguyên tố thỏa b2 ab c2 d2 cd Chứng minh cd ab cd d b c d , ta có: ab cd p ab c a b c mod p c a c b mod p Nhƣng điều vơ lí p số ngun tố a, b, c, d nên c a,c b p Suy c a, p 1, có c a c b mod p Vậy a b c d hợp số Ví dụ 5: Chứng minh : Nếu p, p2 số nguyên tố p3 số nguyên tố Lời giải: Khi p p hợp số không thỏa mãn điều kiện , suy p Khi p , xét số liên tiếp p 1, p, p phải có số chia hết cho Nếu p p chia hết cho p p p2 chia hết cho suy p2 p2 3 mà p2 suy p2 phải số nguyên tố, điều trái giả thiết Vậy p phải số chia hết cho 3> mà p số nguyên tố nên p Thử lại : p thỏa mãn điều kiện Ví dụ 6: Chứng minh : Nếu p p2 2p số nguyên tố p3 số nguyên tố Lời giải: p p p p p 2p Ta có p Nếu p p2 2p hợp số Khi p , xét xét số liên tiếp p 1, p, p ln phải có số chia hết cho Nếu p p chia hết cho p2 p p p2 chia hết cho 2p nên p 2p mà 2p nên p2 2p hợp số , trái với giả thiết Vậy p , p số nguyên tố suy p Thử lại ta thấy p2 2p 17,p 27 29 số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đầu Ví dụ 7: Tìm số nguyên tố p, q cho q3 p2 p6 q Lời giải: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Nếu p 3 q Nếu p q3 q q2 p6 23.7.11 q q q2 q mà: q q 1,q q q p2 p suy p q TH1: q p ta có: p 2, q TH2: q q, p q p2 q p q, p p mà q q Suy q p q 1,3 p p p2 p p2 1, p2 p p 1, p2 nên q p q p p p2 p2 nên suy q p2 p 1, 2p p2 p p p nên q khơng thể ƣớc p6 Tóm lại p,q 2;3 , 3; Ví dụ 8: Cho ba sô tự nhiên a, b, c thỏa mãn điều kiện : a b số nguyên tố 3c2 Chứng minh: 8c số phƣơng Lời giải: 2 c ab bc ac c a c b Ta viết lại giả thiết: 4c Đặt c a,c d +) Nếu d b d c a a, c c c m2 n 2c mn +) Nếu d a b a a b c b c b c 4c2 a a y y c c c 8c a b x, b Ta có: y c 4n n a n2 a, c b a b b hai số b số nguyên tố hay a 2n a b y với x, y Z Khi a b y b xy a b x y x y x y Khi b y y suy y y số phƣơng nên 8c số phƣơng Ví dụ 9: Tìm số tự nhiên x, y cho px Dễ thấy x 4mn c a b số nguyên tố nên d n với m, n Z Khi m2 m n m n nên a b x a b d Vì a a m ,c b m n m n số nguyên tố 4c2 a b hai số nguyên tố suy c phƣơng Đặt c b d ab y4 biết p số nguyên tố Lời giải: không thỏa mãn Suy x số nguyên dƣơng p x y 2y y 2y x p hay y2 2y pm y2 2y pn (*) với m, n N, m n, m n x Nếu m y suy p 5, x Nếu n y khơng thỏa mãn điều kiện tốn Ta xét m, n Nếu p p Từ (*) ta suy p ƣớc y2 2y p 4y p y 2y p , y p suy Tóm lại trƣờng hợp có p Thay vào phƣơng trình ban đầu ta đƣợc: y4 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 2x TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Nếu x y 2x cịn y4 chia cho dƣ nên không tồn x, y 1;1 , 2;0 Tóm lại cặp số x, y thỏa mãn yêu cầu đầu x, y + Nếu x Ví dụ 10: Với p số nguyên tố, đặt n 2n 22p 22p 24 22 Tìm số nguyên tố p cho không chia hết cho n Lời giải: 2p Ta có n 2p 2 Dễ thấy n số lẻ n Nếu p Nếu p 22p 2 n 2 22p 2 22p 4p 3 30 chia hết cho n ( khơng thỏa mãn ) 24 25 22 n 21 221 22 2 220 210 210 không chia hết cho 21 Vậy p ( thỏa mãn ) Xét p số nguyên tố lẻ lớn Thì n số tự nhiên lẻ, không chia hết cho 4p 4p n 3 Theo định lý Fecmat nhỏ 4p p 4p Ta thấy : n Nên n 4p 4 mà p,3 suy 4p 3p p mặt khác ta dễ thấy n nên n 2p dẫn tới 2n n ( 22p 3n ) Suy Vậy p giá trị cần tìm Ví dụ 11: p2 p Tìm số nguyên tố p cho số phƣơng , 2 Lời giải: p 2x p 1 p x , y p 2y Từ giả thiết p Đặt 2 x y p 1 2p n 2x suy p Ta có 2x , 2y2 có số dƣ chia cho p mà p số lẻ suy x , y có số dƣ chia cho p hay x, y có số dƣ chia cho p Mà x p2 y2 x p x Suy ra: 2x 4x y x y p x 2p2 4px 2x x x p p y p ( x 2p2 4px y p p ) Từ ta có: 4px , p số nguyên tố nên p p2 p 4x p Ví dụ 12: Tìm số ngun dƣơng x, y, z thỏa mãn x y 3y số hữu tỉ x 3z y2 z số nguyên tố số nguyên tố Lời giải: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ giả thiết ta suy tồn số nguyên tố p,q đƣơng với pz qy pz qy py qx , pz dẫn đến py qx Ta có: hay y qy cho x y 3y 3z p , đẳng thức tƣơng q điều khơng thể xảy suy xz x2 y z x xz z x z xz x z y x y z x z y 2 x z y Do x y z số nguyên tố suy , x , y , z số 2 x y z x y z 2 nguyên dƣơng nên x y z x y z , dấu đẳng thức xảy x y z Ví dụ 13: Tìm tất số nguyên dƣơng lẻ n cho tồn số nguyên tố p , q , r thỏa mãn: p n q n r Lời giải Ta xét n Dễ thấy số p , q , r thỏa mãn điều kiện Ta xét n Ta thấy ba số p , q , r phải cố số chẵn Nếu r p n q n khơng có số p , q thỏa mãn Nếu p q ta có: p n 2n r Vì n số lẻ, n p n 2n r ( p 2) p n1 p n2 22 p n3 2n1 r Vì p 1, p n1 p n2 22 p n3 2n1 , p số nguyên tố nên p2 r p n 2n p , điều khơng thể xảy ra, n 1 n2 n 3 n 1 p p p r p n 2n p3 mà p3 p p p3 p p p ( p 3) p p Ví dụ 14: Cho p số nguyên tố cho x3 y3 3xy p có nghiệm nguyên dƣơng Tìm giá trị lớn p Lời giải Ta viết lại phƣơng trình thành: x3 y3 3xy p x y 3xy x y 3xy p x y 1 x y x y 3xy p Do x , y nên x y , p số nguyên tố nên suy x y p x y p , để ý rằng, với x , y ta 2 x y x y 3xy x y x y 3xy 2 2 ln có: 4xy x y suy x y x y x y x y x y 0 x y Lại có: x y p p p Vậy giá trị lớn p Khi x y Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ví dụ 15: Tìm số nguyên dƣơng m, n cho p m2 n2 số nguyên tố m3 n3 chia hết cho p Lời giải x y x y x y x y xy ( x 4) x y Vì xy x x y Từ ta suy ra: x3 y3 xy x 4 x y x y x y x y x y xy x y x y , x y số nguyên tố ta suy có hai trƣờng hợp TH1: x y x y Nhận thấy x y thỏa mãn điều kiện, x , y thỏa mãn điều kiện Ta xét x , y đặt x a , y b với a , b ta có: x y x2 y a b a b2 a b a b a b2 a b a b2 a b , điều vô lý TH2: x2 y xy x y x y xy x y x2 y , x , y suy xy x y xy xy x y nên xy x y x2 y xy x y xy x y ( x 1)( y 1) 3 điều xảy x , y Tóm lại x; y 1;1 , 2;1 , 1; 2 Ví dụ 16: Tìm số ngun tố x , y thỏa mãn: x y 11y x y Lời giải Ta viết lại giả thiết thành: x x 2 y 3 y x y y x y 3 y x y 5 hay 2 2 y 5 x y 1 x2 y ( x 1)( x 1) y Suy x 1 x 1 hay x 1 x chia hết cho Mặt khác ta có: x x 1 2 nên số x , x chia hết cho Do x 1 x 1 mà y số nguyên tố nên y y Thay vào ta tìm đƣợc x Ví dụ 17: Giả sử n số tự nhiên lớn cho 8n 24n số phƣơng Chứng minh 8n hợp số Lời giải 8n x Giả sử với x , y số nguyên dƣơng 24n y Khi 8n x y x y x y Do x y x y Vì 8n số nguyên tố điều kiện x y y x 1 n 2 24n x 1 x x 6n 8n x 6n x 2n 8n 2n 1 n Điều mâu thuẫn với điện kiện n số nguyên dƣơng lớn Vậy 8n hợp số Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ví dụ 18: Chứng minh số nguyên n lớn thỏa mãn n2 n2 16 số nguyên tố n chia hết cho Lời giải Ta có với số nguyên m m chia cho dƣ 0; Nếu n chia cho dƣ n2 5k n2 5k 5 k số nguyên tố Nếu n chia cho dƣ n2 5k n2 16 5k 20 * nên n không k nên n2 16 * không số nguyên tố Vậy n2 hay n chia hết cho Ví dụ 19: Tìm số nguyên tố p , q cho p3 q5 p q Lời giải Ta xét số p , q khác Khi p , q chia cho có số dƣ Nếu p q có số dƣ chia cho p3 q5 chia hết cho Còn p q không chia hết cho Nếu p q khơng có số dƣ chia cho vế phải chia hết cho cịn vế trái khơng chia hết cho Xét p q5 27 nên không tồn q Xét q p3 243 p 3 p Vậy p; q 7;3 Ví dụ 20: Tìm số nguyên tố p , q cho q3 p p q Lời giải Nếu p q p 23.7.11 q q Nếu p q3 q 1 q q 1 mà q 1, q q 1 q 1, q q 1 q 1 3 q 1,3 nên suy q | p p q | p p mà q p nên q p 2 p p p p nên q ƣớc p Tóm lại p; q 2;3 , 3; 2 Ví dụ 21: Giả sử a , b số tự nhiên cho p b 2a b số nguyên tố Tìm giá trị lớn 2a b p Lời giải 2p m c ac p2 a c , đặt c n bc c ac a c km k a c, a c 2c k n m2 a c kn Từ giả thiết suy b chẵn, ta đặt b 2c p với m, n pn km n2 m2 Nếu m , n lẻ pn km n2 m2 p chẵn, tức p Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 21 Website:tailieumontoan.com Vậy có hai cặp số thỏa mãn đề m, n 3; , 4; 3 Ví dụ 25 Tìm số nguyên dƣơng x, y cho x y y 3x số phƣơng Lời giải: Khơng tính tổng qt ta giả sử: x y y y 3x y y y y y y 3x y 1 3x y Bây ta cần tìm điều kiện để: x2 y m2 16 x2 48 y 16m2 16 x 24 3x 1 16m2 x 16m2 105 hay 4x y 9 x y 9 1.105 3.35 5.21 7.15 Giải trƣờng hợp ta thu đƣợc số x; y thỏa mãn điều kiện x; y 1; 1 , 11; 16 , 16; 11 Ví dụ 26 1 1 a b c abc Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn Chứng minh 1 a 1 b2 1 c số phƣơng Lời giải Từ 1 1 suy ab bc ca a b c abc Khi a ab bc ca a a b a c Tƣơng tự, b2 a b b c ; c a c b c Nhƣ vậy, 1 a 1 b2 1 c a b b c c a số phƣơng Ví dụ 27 Chứng minh x y số phƣơng với x, y phƣơng x y tổng hai số Lời giải Từ giả thiết suy ra: x y x y với t y t 2tx t chẵn t 2k , k Do y 4k 4kx y 2k 2kx x y x k k (đpcm) Ví dụ 28 a) Chứng minh rằng: Nếu n số tự nhiên cho 2n 3n số phƣơng n 40 b) Tìm tất số tự nhiên ab để 2ab 1, 3ab số phƣơng Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 22 Website:tailieumontoan.com Lời giải a) Ta thấy 2n số phƣơng lẻ nên 2n tận chữ số 1, 5, suy n có chữ số tận 0, 2, Mặt khác 3n số phƣơng nên n tận Suy n Khi n tận 2n 1, 3n số phƣơng lẻ Suy 3n 2k 1 3n 4k k 1 hay n mà 5, 8 n 40 b) Từ kết câu a suy ab 40 ab 80 thử lại ta thấy có ab 40 thỏa mãn điều kiện tốn Ví dụ 29 a) Chứng minh: n 1984 giá trị lớn n để số 431 41008 4n số phƣơng b) Tìm số ngun dƣơng x, y, z để: 4x y 4z số phƣơng Lời giải a) Ta xét n 1008 Giả sử 431 41008 4n y với y * Hay 430 4978 4n30 y 430 415 suy 4978 4n30 số phƣơng chẵn, hay 4978 4n30 2k với k * Ta có: 4978 4n30 2k 4977 4n31 k k 1 4977 4n1008 k k 1 977 4 k 4977 4n 1008 n 1985 thử lại ta Nếu k số chẵn k số lẻ suy n 1008 k 1 1 thấy không thỏa mãn 4977 k 4977 4n 1008 4n 1008 4977 n 1985 hay n 1984 Nếu k lẻ n 1008 k 1 Khi n 1984 431 41008 41984 262 22016 22968 231 21984 đpcm b) Khơng tính tổng quát ta giả sử x y z Đặt 4x y 4z u 22 x 1 y x 4z x u TH1: Nếu y x 4z x số lẻ y x 4z x 2k 1 y x1 4z x1 k k 1 y x1 1 z y k k 1 4 y x 1 k y x 1 z y z y x + Nếu k chẵn k số lẻ suy z y 1 k 4x y 4z 4x y 42 y x 1 x 22 y x 1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 23 Website:tailieumontoan.com 4 y x 1 k y x 1 z y 22 y 2 x 3 22 x 2 y 1 * + Nếu k lẻ k chẵn suy z y 1 k x y số lẻ khác Nên (*) xảy TH2: Nếu y x 4z x số chẵn y x z x Từ ta suy phải có x y dẫn đến: 4z x số phƣơng Điều vơ lý số phƣơng chia cho dƣ Còn 4z x chia cho dƣ Tóm lại: Điều kiện để 4x y 4z số phƣơng là: z y x Áp dụng vào câu a ) ta có: n 2.1008 31 1 1984 Ví dụ 30 Cho số nguyên dƣơng n d ƣớc số nguyên dƣơng 3n Chứng minh: n2 d số phƣơng d 3n2 Lời giải Vì d ƣớc 3n2 d k 3n2 , ta có n d n 3n số phƣơng với k 0, k k tức n k k 3 số phƣơng suy k k 3 số phƣơng k2 k 2m k Đặt k k 3 m2 2k 2m 2k 2m k 2m m Ví dụ 31 Cho m, n số nguyên dƣơng lẻ cho n2 chia hết cho m2 n2 Chứng minh rằng: m2 n2 số phƣơng Lời giải: Nếu m n ta có điều phải chứng minh: m n x m x y ( x, y , x 0, y 0) ta có Xét m n ta đặt m, n m n y n x y x y x y suy x y Do n2 m2 n2 suy (m2 n2 1) m2 m2 n2 m2 m2 n2 Suy m2 k m2 n2 1 (1) (với k ) Thay m x y, n x y ta có: ( x y)2 k (4 xy 1) x2 2k (2k 1) xy y k (*) Phƣơng trình (*) có nghiệm x nên có nghiệm x1 Theo hệ thức Vi-et ta có: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 24 Website:tailieumontoan.com x x1 2(2k 1) từ suy x1 xx1 y k + Nếu x1 ( x1; y) cặp nghiệm thỏa mãn (*) suy x1 | y | y k xx1 | y |2 y k x1 x 2(2k 1) mâu thuẫn + Nếu x1 xx1 y k k y k xy y Ta có: k x12 2(2k 1) x1 y y x12 2(2k 1) | x1 | y y 2(2k 1) | x1 | y 2(2k 1) k mâu thuẫn m2 m Vậy x1 Khi k y m n nên m2 n2 số phƣơng k y 2 Ví dụ 32 Cho hai số nguyên a, b thỏa mãn a b2 2(ab a b) Chứng minh a b hai số phƣơng liên tiếp (Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên toán – Trường THPT chuyên – ĐHSP Hà Nội, 2016) Lời giải: Từ đẳng thức cho ta có a 2(b 1)a (b 1)2 phƣơng trình bậc hai ẩn a , ta có ' b 1 (b 1)2 4b Vì phƣơng trình có nghiệm ngun nên điều kiện cần ta có ' số phƣơng Khi ta có b số phƣơng - Với b ta có a Ta thấy hai số phƣơng liên tiếp (đúng với đpcm) a b 4b b Với b ta có a b 4b b Ta thấy b b hai số phƣơng liên tiếp; b b hai số chứng phƣơng liên tiếp (điều phải chứng minh) Vậy a b số phƣơng liên tiếp Ví dụ 33 Tìm tất số tự nhiên n thỏa mãn 2n 1,3n số phƣơng 2n số nguyên tố (Tuyển sinh lớp 10 chuyên TP Hà Nội, 2017) Lời giải Giả sử 2n 1,3n số phƣơng 2n a2 3n b Do 2n với a, b b2 a2 Ta có n 3a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 2b2 b2 a ;1 3a 25a 16b2 2b2 5a 4b 5a 4b TÀI LIỆU TOÁN HỌC 25 Website:tailieumontoan.com Vì 2n 3a số nguyên tố nên 5a 4b 2b 3a 2 5a a2 16 Với a n (loại 2n Với a n 40 Thử lại: Thỏa mãn 4b Nên ta có: 5a 10a Suy a 10a a a 9) Các toán liên quan đến tính chia hết số nguyên Ví dụ * Cho n Chứng minh rằng: Sn 12019 22019 n2019 chia hết cho Tn n Lời giải: n n Mặt khác, sử dụng tính chất a Ta có: 2Tn 2Sn 12019 2Sn 12019 Do n, n n2019 n 22019 2019 n 22019 2019 n n n2019 bn chia hết cho a b 2019 n n 2019 * n lẻ, ta có: 2n5 n 2Tn hay Sn Tn nên từ (1) (2) suy ra: 2Sn n n Ví dụ Cho m, n số nguyên dƣơng, giả sử A m n số nguyên lẻ Tìm giá trị bé n2 A tìm m, n thỏa mãn giá trị Chứng minh cho câu trả lời Lời giải: Gọi d ƣớc chung lớn m n Giả sử m ad, n bd với a, b Ta có: A ( m n) d ( a b ) d ( a b ) n2 d 2b b2 Vì a, b nên (b, a b) Suy (b2 ,(a b)3 ) Nhƣ để A nguyên d b , giả sử d cb2 Bây ta đƣợc A c(a b)3 với a, b, c nguyên dƣơng Do a b A lẻ nên A nhận giá trị bé 27, điều xảy c 1, a b Khi có hai khả năng: Nếu a b ta có d Suy m 2, n Nếu a b ta có d Suy m 4, n Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 26 Website:tailieumontoan.com Ví dụ Tìm số nguyên dƣơng a, b cho a3b b3a số nguyên dƣơng , a 1 b 1 Lời giải: Ta có a3b b(a3 l) b l a l b l a l Tƣơng tự b3a l a b3 l a b suy a b Từ suy b b 1 b 1 b b l U (2) suy b b a Với b ta có a l a , với b ta có: a l a Vậy số a; b thỏa mãn điều kiện là: a; b l;3 , 2; , 3;3 Ví dụ Cho số tự nhiên a, b, c, d , e biết: a b c d e 3a 4b 5c, d e 13 Tìm số lớn số a, b, c, d , e Lời giải: Từ già thiết ta suy a + b c d e chia hết cho 3.4.5 60 suy 4b,5c chia hết cho 60 nên b chia hết cho 15, c chia hết cho 12 Nêu b c suy a b c d e trái với giả thiết suy b, c Vậy b, c suy b 15, c 12 Theo giả thiết ta có: a + b c d e 3a 4b 5c 3(d e) b 2c 15 2.19 d e 13 Dâu xảy b 15, c 12 a 20 Vây a 20 giá trị cần tìm Ví dụ Tìm tất số nguyên dƣơng m, n cho m n2 (m2 n) n+m2 (n m) Lời giải: Khơng tính tổng qt, ta giả sử n m + Nếu n m suy n2 m n m2 , ta có: n2 m n m2 (n m)(n m 1) Từ ta suy n m2 chia hết cho n m + Ta xét n m , m n2 m2 n m (m 1)2 m2 m 1 m2 +3m m2 m m2 m 4m m2 m 21 21 m , m số 2 nguyên dƣơng nên suy m 1; 2;3; 4 thử trực tiếp ta thấy m 1, m thỏa mãn hay 4m m2 m 4m m2 m m2 5m + Xét m n ta có n2 n n2 n 2n n2 n 2n n2 n n2 3n n thử trực tiếp ta thấy n n thỏa mãn điều kiện Vậy cặp số (m; n) thỏa mãn điều kiện là: m, n (2; 2), (3;3), (1; 2), (2;1), (2;3), (3; 2) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 27 Website:tailieumontoan.com Ví dụ Tìm số ngun dƣơng x, y cho xy chia hết cho x 1 y 1 Lời giải: Đặt x-1 a, y b với a, b N * Yêu cầu toán đƣợc viết lại thành: 2(a 1)(b 1) 1 ab 2ab 2(a b) ab 2(a b) ab Ta giả sử 2(a b) kab , a b kab a b 4b b 5b ka Từ ta có trƣờng hợp xảy là: k l,a 2(1 b) b b 3 loại Thử lần lƣợt: k 1, a 2; k 1, a 3; k 1, a 4; k 1, a 5; k 2, a 1; k 2, a 2; k 3, a 1; k 4, a 1; k 5, a 1; ta suy cặp số x; y thỏa mãn điều kiện là: x; y 2; 2 , 2; 4 , 4; , 8; , 4;8 Ví dụ Tìm số ngun dƣơng x, y cho 4x +6x chia hết cho 2xy l Lời giải: Từ giả thiết ta suy y(4 x2 8x 3) xy 1 x(4 xy 1) 2(4 xy 1) x y xy 1 Hay x y xy xy x y x(4 xy 1) y x Mà y 12 y 12 3(4 y 1) 15 y 4(4 y 1) 4(4 y 1) 3(4 y 1) 15 15 15 suy x 4(4 y 1) 4(4 y 1) 4.3 Thay x y y Thay x suy y Ví dụ Tìm số ngun dƣơng x, y cho x chia hết cho xy Lời giải: Từ giả thiết ta suy x xy Ta có phân tích sau: y( x2 2) x( xy 2) 2( x y) suy 2( x y) xy hay 2( x y) k ( xy 2) với k N * Nếu k 2(x y) k (xy 2) 2(xy 2) x y xy ( x 1)( y 1) Điều vô lý x, y Vậy k 2( x y) xy ( x 2)( y 2) Từ tìm đƣợc ( x; y) (3;4),(4;3) Ví dụ 9: Tìm số tự nhiên x, y cho x 3xy y lũy thừa Lời giải: Giả sử x2 3xy y 5n x, y n Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website:tailieumontoan.com Suy x2 3xy y 25 x y +5xy 25 x y 5xy x y x y hay x y 2 25 5xy xy Do x,y số nguyên tố ta suy x y chia hết cho Giả sử x x , lại có x-y số lại chia hết cho 5, hay x y Khi n Ví dụ 10 Cho x, y số nguyên x, y 1 cho x4 1 y 1 số nguyên Chứng minh: x y 44 y 1 x 1 chia hết y a m x4 1 a y 1 m ; với a, b l, m, n l, b, n Theo giả thiết ta có: số ; b n y 1 b x 1 n an bm b an b n b an bm nguyên, tức là: n b bn an bm n bm n b n a m x4 1 y 1 Mặt khác ( x 1)( x 1)( y 1)( y 1) số nguyên, suy b n y 1 x 1 Đặt am n a n a b x y Ta có: x4 y 44 y 44 ( x4 1) y 44 mà x y y 44 y y nên tốn đƣợc chứng minh Ví dụ 11 Xác định tất cá số nguyên tố p, q cho Ta có: p n 1 q3 với n 1, n p 1 q 1 p2n q3 p n 1 q3 ( p 1) 1 ( p 1) 1 p 1 q 1 p 1 q 1 p( pn 1)( pn 1) ( p 1)( p 1) (1) Nếu q p n thừa số vé trái lớn thừa số tƣơng ứng vế phải (1), q p n Vì q ngun tổ cịn pn khơng ngun tố nên q p n Một thừa số vế trái (1) chia hết cho số nguyên tố q Theo bất đẳng thức q p n 1, điều xảy q p n Thay vào (1) ta đƣợc: p( p n -1) =(p-1)(p n +2) suy pn p Từ p / hay p 2, n suy q p n Ví dụ 12 Cho a, b số nguyên p số nguyên tố lẻ Chứng minh p ƣớc a b2 a a b p ƣớc a a b Lời giải: Ta có: 2a 2b a a b a(a b2 ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 29 Website:tailieumontoan.com Vì p ƣớc a b2 a a b nên p ƣớc 2a b Lại p lẻ nên p ƣớc a b Nếu a không chia hết cho p số mũ p a lớn Do b phải chứa p , nghĩa b chia hết cho p suy b2 p Điều vơ lý a b2 không chia hết cho p (do a không chia hết cho p ) Nhƣ a phái chia hết cho p Vì a b2 chia hết cho p nên b2 p Suy b p a b p Tóm lại, p ƣớc a a b Ví dụ 13 Cho ba số nguyên dƣơng khác x, y, z Chứng minh rằng: x y y z z x chia hết 5 cho x- y y- z z-x Lời giải: Đặt a x y, b y z Suy z x (a b) Bài toán quy chứng minh: (a b)5 a5 b5 5ab(a b) Ta có: a b a5 b5 5a 4b 10a3b2 10a 2b3 5ab4 5ab(a3 2a 2b 2ab2 b3 ) 5ab a3 b3 2(a 2b ab ) 5ab a b (a ab b2 ) 2ab(a b) 5ab a b (a ab b2 ) Đến ta suy đƣợc điều phải chứng minh Ví dụ 14 Chứng minh a b2 bội hai số A 2a b; B 2b a hai số A ' 2a b; B ' 2b a chia hết cho Lời giải: Ta có: a b2 = a 4b2 5b2 chia hết cho Suy a 4b2 (a 2b) a 2b chia hết cho Đến ta xét trƣờng hợp: Nếu a 2b 2b a B Mặt khác, 2b a 2b 4a 5 nên b 2a , suy b 2a A (vì 2;5 1) Nếu a 2b a 2b Mặtkhác, a 2b 5a (2b 4a) nên b 2a 5, suy (vì 2;5 ) Nếu cà hai số a 2b a 2b chia hết cho số A, B, A ', B ' chia hết cho Ví dụ 15 n n n n Cho a, b, c, d số nguyên dƣơng thỏa mãn ab cd Chứng minh A a b c d hợp số với n nguyên dƣơng Lời giải: Giả sử d a, c , d Suy a da1 , c dc1 với a1 , c1 N * (a1 , c1 ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 30 Website:tailieumontoan.com Từ đẳng thức ab cd , suy a1b c1d nên b c1 d a1 Ta có: b c1s, d a1s, s N* Từ suy ra: a n bn cn d n a1n c1n d n s n hay A hợp số với n Ví dụ 16 Cho a, b a b thỏa ab a b chia hết cho a ab b2 Chứng minh rằng: a b ab Lời giải: Đặt d a, b Suy a xd , b yd ,( x, y) ab(a b) dxy( x y ) Khi đó: a ab b x xy y Ta có x xy y ; x y ; x Tƣơng tự x xy y ; y Vì x y; y nên x xy y ; x y y ; x y Do x xy y d d x xy y Mặt khác a b d x y d x y d d x xy y ab 3 Vậy a b ab Ví dụ 17 Cho n số nguyên dƣơng Tìm tổng tất số chẵn nằm n2 n n2 n Lời giải Ta có n2 n n n 1 n2 n n n 1 số lẻ Suy số lẻ nhỏ đƣợc xem xét n2 n số lẻ lớn n2 n Nhƣ tổng cần tìm là: n2 n n2 n n2 n n2 n n2 n n2 n n n2 n 1 n2 n 2n n2 n 2n n n3 n n n n n Ví dụ 18 Cho m , n số nguyên dƣơng, giả sử m n A số ngun lẻ, tìm giá trị bé n2 có A tìm m , n thỏa mãn giá trị Chứng minh cho câu trả lời Lời giải Gọi d ƣớc chung lớn m n Giả sử m ad , n bd với a, b Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 31 Ta có Website:tailieumontoan.com m n A n2 d a b d a b d 2b b2 3 Vì a, b nên b, a b suy b2 , a b Nhƣ để A nguyên d b2 , giả sử d cb2 Bây ta đƣợc A c a b với a , b , c nguyên dƣơng Do a b A lẻ nên A nhận giá trị bé 27 , điều xảy c ; a b Khi có hai khả năng: Nếu a b ta có d Suy m , n Nếu a b ta có d , suy m ; n Ví dụ 19 Tìm tất số ngun n cho với ƣớc số nguyên tố n6 ƣớc n3 1 n2 1 Lời giải Rõ ràng n thỏa mãn điều kiện toán Với n ta viết n6 n3 1 n3 1 n3 1 n 1 n2 n 1 Do tất thừa số nguyên tố n2 n chia hết cho n3 n2 n 1 n 1 Tuy nhiên cần để ý n2 n 1; n3 1 n3 1, n2 1 Mặt khác, n2 n n n 1 số lẻ, tất thừa số nguyên tố n2 n phải chia hết n Nhƣng n2 n n 1 n ta phải có n2 n 3k với k nguyên dƣơng Bởi n nên ta có k Bây n2 n nên n mod 3 , nhƣng trƣờng hợp n 2,5,8 mod , ta có n2 n mod mâu thuẫn Vậy tốn có nghiệm n Ví dụ 20 Tìm n để M 100 01 chia hết cho 37 0100 n n Lời giải n 1 n 1 Ta có M 10 10 Để ý 103 1 mod 37 , ta xét trƣờng hợp n theo mod3 Nếu n 3k M 102 10 mod 37 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 32 Website:tailieumontoan.com Nếu n 3k M 104 102 mod 37 Nếu n 3k M mod 37 Tóm lại, M chia hết cho 37 n có hai dạng n 3k n 3k với k * Ví dụ 21 Tìm tất số có năm chữ số abcde cho abcde ab Lời giải Đặt x ab Ta có abcde 1000 x y với y 1000 Từ 3 abcde ab ta suy 1000x y x Vấn đề lại giải phƣơng trình nghiệm nguyên Vì y nên 1000x x3 x2 1000 x 32 (1) Mặt khác y 1000 nên 1000 x 1000 x3 x x 1000 1000 x 33 (2) Từ (1) (2) suy x 32 hay x3 32768 Vậy abcde 32768 Ví dụ 22 abc a b c Tìm chữ số a , b , c với a cho Lời giải Từ 2 abc a b c , suy 100a 10b c a b c 10 10a b c a b 1 (*) Vì a nên 10 10a b 100 c a b 1 100 a b c Nếu a b khơng chia hết cho a b 1 mod 3 Từ (*) suy 10a b a b (vô lý) Nhƣ a b nên 10a b Từ (*) suy c c khơng chia hết cho a b Từ (*) suy a b 1 Kết hợp với a b ta suy a b a b a b Trƣờng hợp 1: a b thay vào (*) ta đƣợc: 10 9a 80c 8c a 1 c c , a Trƣờng hợp 2: a b làm tƣơng tự trƣờng hợp Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 33 Website:tailieumontoan.com Ví dụ 23 Tìm số có chữ số abc biết abc a ! b! c ! Lời giải Vì abc 999 nên a ! b! c! 999 a , b , c abc 666 Điều dẫn đến a ! b! c! 666 a , b , c a ! b! c! 3.5! 360 a Suy a ! b! c! 3! 5! 5! 246 a Nếu b c a ! 5! 5! a55 a ! 240 a55 , ta có a a Tuy nhiên thử lại thấy 255 2! 5!5! Một hai số b c nhỏ Từ ta có a ! b! c! 2! 4! 5! 146 abc 146 a , b Vì c abc a ! b! c ! 1! 4! 4! 49 vơ lý Với c 1b5 1! b! 5! sauy 10b 16 b! b ! tận số , b Vậy abc 145 thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 24 Cho số tự nhiên a , b Chứng minh: a, a b2 chia hết cho a , b chia hết cho b, a b2 chia hết cho a , b chia hết cho c, a b4 chia hết cho 15 a , b chia hết cho Lời giải a, Một số phƣơng chia cho dƣ Do a b2 chia xảy số dƣ , , trƣờng hợp có trƣờng hợp a , b a b2 suy đpcm b, Một số phƣơng chia cho dƣ , , , ( Thật cần xét a 7k , 7k , 7k , 7k a chia cho có số dƣ lần lƣợt , , , ) Nhƣ a b2 chia cho có số dƣ , , , , , , , , , Trong 2 trƣờng hợp có a , b đồng thời chia hết cho a b đpcm c, Dễ thấy a khơng chia hết cho a chia dƣ Từ giả thiết ta có a b4 chia hết cho chia hết cho 4 Nếu a khơng chia hết cho a không chia hết cho suy b không chia hết b 4 không chia hết cho suy a b chia cho dƣ Trái với giả thiết, a , b phải chia hết cho Ta có: Nếu a khơng chia hết cho a chia cho dƣ Làm tƣơng tự nhƣ ta suy a , b phải chia hết cho đpcm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 34 Website:tailieumontoan.com Ví dụ 25 Tìm tất số ngun dƣơng m , n cho m n2 m2 n n m2 n2 m Lời giải Khơng tính tổng qt, ta giả sử n m +) Nếu n m suy n2 m n m2 ta có: n2 m n m2 n m n m 1 Từ suy n m2 khơng thể chia hết cho n2 m +) Ta xét n m , m n2 m2 n m m 1 m2 m 1 m2 3m m2 m m2 m 4m m2 m hay 4m m2 m 4m m2 m m2 5m 21 21 m , m số nguyên dƣơng nên suy m 1; 2;3; 4 thử trực tiếp ta thấy 2 m , m thỏa mãn +) Xét m n ta có n2 n n2 n 2n n2 n 2n n2 n n2 3n n thử trực tiếp ta thấy n n thỏa mãn điều kiện Vậy cặp số m; n thỏa mãn điều kiện m; n 2, , 3,3 , 1, , 2,1 , 2,3 , 3, Ví dụ 26 n2 Hỏi có số tự nhiên n khoảng từ đến 2017 cho phân n5 số A chƣa tối giản Xét phân số A Lời giải Giả sử A phân số chƣa tối giản, đặt d n2 4, n 5 , suy d Ta có d n 5 n2 10n 21 10 n 5 29 d 29 d 29 Ngƣợc lại n 5 29 đặt n 29m với m * Khi n2 29 29m2 10 1 29 nên A chƣa tối giản Nhƣ vậy, ta cần tìm n cho n 29m với m * n 2017 29m 2017 m 69 có 69 giá trị m có 69 giá trị n Vậy có 69 giá trị n để A phân số chƣa tối giản Ví dụ 27 Cho a , b vƣợt cho a 1 b 1 Chứng minh ƣớc chung lớn a b không b a ab Lời giải Giả sử d a, b a md , b nd với m, n Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 35 Website:tailieumontoan.com 2 a 1 b 1 m n d m n Ta có m n d d m n d d m n a b b a mnd Ví dụ 28 Cho số nguyên dƣơng a , b , c thỏa mãn a b2 c2 Chứng minh ab chia hết cho a b c Lời giải Từ giả thiết ta có a2 b2 2ab c2 2ab a b c 2ab a b c a b c 2ab (*) Nếu a lẻ, b chẵn suy c lẻ dẫn tới a b c chẵn Nếu a , b lẻ c chẵn suy a b c chẵn Nếu a , b chẵn c chẵn suy a b c chẵn Nhƣ trƣờng hợp ta ln có a b c chẵn a b c 2k k Từ (*) ta suy 2k a b c 2ab k a b c ab ab a b c Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ...1 Website:tailieumontoan.com MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƢƠNG Kiến thức cần nhớ Một số ví... nguyên 25 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Kiến thức cần nhớ Một số phƣơng chia cho có số dƣ Một số phƣơng chia cho có số dƣ Một số... (mod a) voi a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Định lí Fermat: Cho số nguyên tố p số nguyên dƣơng a ta có: a p a(mod p) Đặc biệt: