Hướng dẫn học sinh12 giải một số bài toán về mặt cầu, hình cầu bằng phương pháp hình học tổng hợp

A MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức tay nghề, có lực thực hành, động, sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" (Trích văn kiện Đại hội Đảng tồn quốc lần thứ VII) Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khóa XI), ngày 29/10/2012 ban hành Kết luận số 51 KL/TW Đề án “Đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế” Trong năm qua giáo dục nước ta có đổi mạnh mẽ nội dung, phương pháp thu kết khả quan Việc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo người có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phương pháp dạy học khơng giảng lí thuyết, mà trình luyện tập Luyện tập ngồi việc rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ suy luận mà thơng qua qua giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát kiến thức học, xếp kiến thức cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập cách động sáng tạo Về mặt phương pháp, từ phương pháp dạy truyền thống phương pháp dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ), phương pháp trực quan, phương pháp thực hành, luyện tập đến xu hướng dạy học đại như: dạy học giải vấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có hỗ trợ cơng nghệ thơng tin, có sử dụng máy tính tạo khơng khí học tập hoàn toàn Một vấn đề đổi chương trình giáo dục phổ thơng đổi phương pháp dạy học, có đổi phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng Việc đổi phương pháp dạy học Tốn nhằm phát huy tính tích cực học sinh, qua khai thác tính chủ động tiếp thu khám phá tri thức em, tạo hứng thú học tập Với tinh thần đó, tơi có đổi mặt phương pháp để phù hợp với giáo dục giai đoạn Trong trình giảng dạy trường phổ thông, thân dự nhiều tiết dạy đồng nghiệp, trực tiếp bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại hoc, Cao đẳng trước thi THPT Quốc Gia hay bồi dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi, nhận thấy việc phát huy trí lực học sinh nhiều hạn chế Nhiều toán kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng, thi THPT Quốc Gia, thi HSG áp dụng kiến thức thêm chút sáng tạo giải được, đa số em gặp khó khăn Chúng thấy rằng, việc dạy học theo hướng khuyến khích tư sáng tạo tìm mối liên hệ linh hoạt phần kiến thúc cần quan tâm hơn, đặc biệt việc bồi dưỡng HSG, bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học, thi THPT Quốc Gia trường phổ thông việc làm cần thiết II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Rèn luyện cho học sinh biết cách vận dụng phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trường phổ thông Phân loại dạng tốn thường gặp chương trình theo chuẩn kiến thức kĩ kì thi THPTQG, thi HSG cấp III NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU Trình bày đề tài thông qua hệ thống tập Hướng dẫn học sinh giải toán số tình cụ thể Bồi dưỡng cho học sinh kỹ giải toán khả sáng tạo tư IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách tập, Sách tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG tài liệu liên quan Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự đồng nghiệp, quan sát việc dạy học phần tập Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành tập thể lớp Phương pháp thống kê B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải toán ta thường thực bước: Bước 1: Huy động kiến thức: Là thao tác tư nhằm tái kiến thức có liên quan với toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, tốn gặp, người làm tốn phải biết cần biết ý tưởng kiểu như: ta gặp toán gần gũi với toán hay chưa? Nhà bác học Polia viết sách kinh điển với nội dung: "Giải toán ơng có đề cập đến nội dung điều kiện thiết yếu” Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là tổ hợp hành động, thao tác để xếp kiến thức biết yêu cầu toán lên hệ với để từ trình bày tốn theo thể thống Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức mà phương pháp tương tự hay tổng quát hóa thao tác tư cần thiết cho người làm toán II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Trong chương trình Tốn cấp THPT hành, phần mặt cầu, khối cầu trình bày chương trình lớp 12, nội dung khơng mới, có nhiều ứng dụng thực tiễn sống, nhiên lại mảng kiến thức trừu tượng phần đại đa số học sinh Làm để em học sinh tự tin tìm hiểu, học tập nghiên cứu nội dung cách thích thú? Để trả lời câu hỏi thân học sinh cần có kiến thức nắm vững kỹ giải tốn Song hiểu theo cách nói lẽ, để giải tốt loại toán lại vấn đề không dễ Khi làm tập dạng đa số học sinh gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến khơng có kết tốt, có kết không cao Với đặc điểm vừa nêu, tơi nghiên cứu, tìm tòi qua nhiều tài liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp em học sinh tiếp cận toán mặt cầu cách đơn giản, nhẹ nhàng đảm bảo yêu cầu cần thiết nội dung này, giúp học sinh có nhìn cụ thể, rõ ràng vấn đề khó trường phổ thơng, chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh12 giải số tốn mặt cầu, hình cầu phương pháp hình học tổng hợp ” III NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1.1 Mặt cầu hình cầu (khối cầu): Cho mặt cầu S(O;R) xác định biết tâm bán kính R biết đường kính AB Diện tích mặt cầu: S  4 R Thể tích khối cầu (hình cầu): V   R 1.2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu S(O;R) mp(P) Gọi OH=d khoảng cách từ O đến (P) thì: +) Nếu d < R: mp(P) cắt mặt cầu theo đường tròn giao tuyến có tâm H, bán kính r  R  d Đặc biệt d  mặt phẳng (P) qua tâm O mặt cầu, mặt phẳng gọi mặt phẳng kính; giao tuyến mặt phẳng kính với mặt cầu đường tròn có bán kính R , gọi đường tròn lớn mặt cầu +) Nếu d = R, mp(P) mặt cầu S(O;R) có điểm chung H Khi mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu điểm H mp(P) tiếp diện mặt cầu tiếp điểm H +) Nếu d > R: mp(P) khơng có điểm chung với mặt cầu 1.3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng: Cho mặt cầu S(O;R) đường thẳng  Gọi H hình chiếu O  d  OH khoảng cách từ O tới  +) Nếu d < R: đường thẳng  cắt mặt cầu hai điểm +) Nếu d = R, đường thẳng  mặt cầu S(O;R) có điểm chung H Khi đó, đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu điểm H  tiếp tuyến mặt cầu điểm H +) Nếu d > R: Đường thẳng điểm chung vơi mặt cầu 1.4 Định lý: Nếu điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O;R) qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu Khi đó: a) Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm b) Tập hợp tiếp điểm đường tròn nằm mặt cầu 1.5 Phương tích: Cho mặt cầu S(O;R) điểm M Qua điểm M, vẽ hai cát tuyến cắt mặt cầu A, B C, D uuur uuur uuuu r uuuu r MA.MB  MC.MD  MO  R 1.6 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện: Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện hình đa diện gọi nội tiếp mặt cầu Điều kiện cần đủ để có hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp có đường tròn ngoại tiếp Điều kiện cần đủ để có hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng đáy hình lăng trụ có đường tròn ngoại tiếp Xác định tâm O mặt cầu ngoại tiếp Hình chóp S A1 A2 An có đáy đa giác nội tiếp đường tròn (C), gọi  trục đường tròn gọi O giao điểm  với mặt phẳng trung trực cạnh bên, chẳng hạn SA1 OS=O A1  OA2  OAn nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác nội tiếp đường tròn Gọi I, I’ hai tâm đường tròn ngoại tiếp đáy II’ trục hai dường tròn Gọi O trung điểm II’ O cách đỉnh nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp 1.7 Mặt cầu nội tiếp hình đa diện: Mặt cầu tiếp xúc với mặt hình đa diện gọi mặt cầu nội tiếp hình đa diện hình đa diện gọi ngoại tiếp mặt cầu Xác dịnh tâm I mặt cầu nội tiếp: Tìm điểm I cách tất mặt khối đa diện Với mặt song song I thuộc mặt phẳng song song cách đều, với mặt phẵng cắt I thuộc mặt phân giác (chứa giao tuyến qua đường phân giác góc tạo đường thẳng thuộc mặt phẳng, vuông góc với giao tuyến) MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN Bài tốn 1: Tìm tập hợp tâm mặt cầu trường hợp sau: a) Đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước b) Tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC cho trước Phân tích hướng dẫn giải a) I tâm mặt cầu qua ba điểm phân biệt A, B, C cho trước IA = IB = IC Vậy tập hợp điểm I trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Mặt cầu tâm O tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tam giác ABC điểm I, J, K OI  AB, OJ  BC, OK  CA, OI = OJ = OK Gọi O' hình chiếu vng góc điểm O mp(ABC) điều kiện là: O'l  AB, O'J  BC, O'K  CA, OT = O'J = O'K, hay O' tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Vậy tập hợp tâm O trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài tốn 2: Tìm tập hợp điểm M cho tổng bình phương khoảng cách từ M tới đỉnh hình hộp cho trước k cho trước Phân tích hướng dẫn giải Giả sử ba kích thước hình hộp AB = a, BC = b, CC' = c thì: AC '2  BD '2  CA '2  DB '2  4(a  b  c ) Gọi O tâm hình hộp, ta có: MA2  MC '2 AC '2  2 MB  MD ' BD '2 MO   MO  MC  MA '2 CA '2 MD  MB '2 DB '2  MO   4 Suy 4MO   MA2  MB  MC  MD  MA '2  MB'2  MC '2  MD '2    a  b2  c  2 Do mà MA  MB  MC   MD  MA '2  MB '2  MC '2  MD '2  k k2 k  2( a  b  c ) � MO   ( a  b  c ) � MO  k' MO  Vậy: Nếu k’ > tập hợp điểm M mặt cầu tâm o bán kính R k  2(a  b  c ) Nếu k’ = điểm M trùng với O Nếu k’