MỘT số vấn đề về cấp số và dãy số

1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CẤP SỐ VÀ DÃY SỐ Bài 2. (17/5/2009) Tuần trước chúng ta đã làm quen với khái niệm dãy số và hai cấp số cơ bản nhất là cấp số cộng và cấp số nhân. Xuất phát từ các tính chất của các cấp số này, chúng ta lần lượt giải các bài toán tìm số hạng của cấp số nhân cộng, của phương trình sai phân dạng x n+1 = qx n + c. n và cuối cùng là của phương trình sai phân tuyến tính bậc hai hệ số hằng. Trong bài này, chúng ta tiếp tục nghiên cứu phương pháp giải phương trình sai phân bậc hai trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép và trong trường hợp phương trình đặc trưng không có nghiệm thực. Cuối cùng, chúng ta làm quen với sai phân của dãy số, những tính chất cơ bản của sai phân hữu hạn và ứng dụng của nó. Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai, trường hợp nghiệm kép Ta bắt đầu bằng câu hỏi thứ nhất đặt ra trong bài trước: Với dãy số dạng x 0 = x 0 , x n+1 = qx n + c. n khi q =  ta xử lý thế nào? Dưới đây ta đưa ra một cách giải khác cho bài toán trên. Ta có x n = qx n-1 + c. n-1 x n-1 = qx n-2 + c. n-2 … x 1 = qx 0 + c Nhân dòng thứ hai với q, dòng thứ 3 với q2 và dòng thứ n với qn-1 rồi cộng vế theo vế, ta được (chú ý rằng các số hạng qx n-1 , q 2 x n-2 …, q n-1 x 1 triệt tiêu nhau ở hai vế) x n = q n x 0 + c( n-1 + q n-2 + … + q n-1 ) Từ đây, nếu q   thì ta có q qc xqx nn n n      )( 0 chính là công thức ta đã thu được trong bài trước. Trong trường hợp q =  thì ta có ngay x n = q n x 0 + cnq n-1 = q n (x 0 +cn/q). Từ kết quả này, ta dễ dàng chứng minh được định lý sau. Định lý (về nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính bậc 2, trường hợp nghiệm kép). Xét dãy số x n xác định bởi x 1 = x 1 , x 2 = x 2 (tức là các số hạng này được cho trước) và x n+1 = ax n + bx n-1 (1) Giả sử phương trình x 2 – ax – b = 0 (2) có nghiệm kép  = . Khi đó công thức tổng quát của dãy số x n sẽ có dạng x n = c 1  n + c 2 n n trong đó c 1 , c 2 là các hằng số xác định bởi các điều kiện ban đầu, cụ thể là từ hệ phương trình      2 2 2 2 1 121 2 xcc xcc   2 Phương trình sai phân tuyến tính bậc 2, trường hợp không có nghiệm thực Ta bắt đầu từ lời giải bài tập 7 của bài trước Bài toán 1. Dãy số x n xác định bởi x 0 = 2, x 1 = 1 và x n+1 = x n – x n-1 a) Chứng minh rằng dãy số tuần hoàn; b) Tìm công thức tổng quát cho x n . Lời giải. a) Ta tính các số hạng đầu tiên của dãy số thì được dãy 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 1, … Từ đó ta nhận thấy x n+6 = x n với mọi n. Ta có thể chứng minh chặt chẽ điều này bằng quy nạp toán học. b) Tính chất tuần hoàn của dãy số gợi cho chúng ta đến các dãy số cos(n) và sin(n). Nếu  = 2/k thì các dãy này tuần hoàn với chu kỳ k. Để ý rằng phương trình x n+1 = x n – x n-1 có thể viết lại dưới dạng x n+1 + x n-1 = 2cos(/3)x n (1) Áp dụng các công thức 2 sin 2 cos2sinsin, 2 cos 2 cos2coscos yxyx yx yxyx yx       ta thấy các dãy số cos(n/3), sin(n/3) đều thoả mãn phương trình (1), từ đó dãy số x n = c 1 cos(n/3) + c 2 sin(n/3) với c 1 , c 2 là hằng số cũng thoả mãn (1). Bây giờ, ta chỉ cần chọn c 1 , c 2 thích hợp để x 0 = 2, x 1 = 1 là xong. Giải hệ c 1 cos(0) + c 2 sin(0) = 2 c 1 cos(/3) + c 2 sin(/3) = 1 ta được c 1 = 2, c 2 = 0. Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là x n = 2cos(n/3). Chú ý rằng kết quả phần a) của bài toán này có thể dùng để giải bài tập 3 của bài trước. Bài toán 2. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, số nn )347()347(  là một số nguyên không chia hết cho 13. Lời giải tóm tắt. 347,347  là hai nghiệm của phương trình x 2 – 14x + 1 = 0, từ đó nn n x )347()347(  thoả mãn hệ thức x n+1 = 14x n – x n-1 . Do x 0 = 2, x 1 = 14 nên x n nguyên với mọi n nguyên dương. Mặt khác nếu gọi r n là số dư trong phép chia x n cho 13 thì ta có r n+1 = r n – r n-1 (mod 13). Áp dụng bài toán trên, ta thấy dãy số dư là 2, 1, -1 (tức là 12), -2, 1, 2, … tuần hoàn và không có số dư nào bằng 0. Bây giờ ta sẽ sử dụng phương pháp giải của bài toán 1 để giải phương trình sai phân x n+1 = ax n + bx n-1 trong trường hợp  = a 2 + 4b < 0. Đặt x n = c n y n , thay vào phương trình, ta được c n+1 y n+1 = ac n y n + bc n-1 y n-1 <=> y n+1 + (-b/c 2 )y n-1 = (a/c)y n (1) Bây giờ ta sẽ chọn c sao cho (-b/c 2 ) = 1, tức là chọn bc  (điều này thực hiện được do b < 0). Khi đó (1) được viết lại thành )2( 11 nnn y b a yy    3 Do a 2 + 4b < 0 nên ta có .2  b a Đặt  cos2  b a thì (2) trở thành y n+1 + y n-1 = 2cos.y n (3) Tương tự như ở trên, ta tìm được y n có dạng c 1 cos(n) + c 2 sin(n), trong đó c 1 , c 2 là các hằng số được tính từ các điều kiện ban đầu. Như vậy, ta đã chứng minh được định lý sau: Định lý (về nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính bậc 2, trường hợp không có nghiệm thực). Xét dãy số x n xác định bởi x 1 = x 1 , x 2 = x 2 (tức là các số hạng này được cho trước) và x n+1 = ax n + bx n-1 (1) Giả sử phương trình x 2 – ax – b = 0 (2) không có nghiệm thực, tức là a 2 +4b. Khi đó công thức tổng quát của dãy số x n sẽ có dạng )sin()cos(()( 11  ncncbx n n  trong đó b a   2 cos  ; c 1 , c 2 là các hằng số xác định bởi các điều kiện ban đầu. Sai phân hữu hạn. Tính chất và ứng dụng. Khi giải các bài toán tìm quy luật tổng quát của các dãy số, chẳng hạn 1, 4, 7, 10, 13, … 1, 2, 3, 5, 8, 13, … 1, 3, 6, 10, 15, … Ta thường xét dãy các hiệu liên tiếp của chúng 3, 3, 3, … 1, 2, 3, 5, 8, …. 2, 3, 4, 5, … phát hiện được quy luật cho dãy các hiệu rồi từ đó tìm ra quy luật của dãy số ban đầu. Dãy các hiệu như vậy được gọi là dãy sai phân của dãy ban đầu. Định nghĩa. Cho dãy số {x n } n=1  . Sai phân bậc nhất của {x n } là dãy số {x n } n=1  được xác định như sau x n = x n+1 – x n với mọi n=1, 2, … Dãy số  2 x n = (x n ) được gọi là sai phân bậc hai của dãy x n . Tương tự, ta định nghĩa bằng quy nạp  k x n = ( k-1 x n ), được gọi là sai phân bậc k. Ghi chú. Đôi khi người ta định nghĩa sai phân lùi, x n = x n – x n-1 . Để cho tiện lợi, trong bài này, chúng ta sử dụng định nghĩa nói ở trên. Một số tính chất của sai phân 1) (x n+ y n ) = x n + y n 2) (cx n ) = cx n 3)     n k nk xxx 1 11 4 4) {x n } là cấp số cộng khi và chỉ khi {x n } là hằng số; {x n } là cấp số nhân khi và chỉ khi {x n } là cấp số nhân. 5) Nếu {x n } là một đa thức bậc k theo n thì {x n } là một đa thức bậc k-1 theo n. Hơn nữa nếu x n = P k (x) với hệ số cao nhất là P* thì x n-1 = Q k-1 (x) có Q* = kP*. Phương trình sai phân là phương trình mà ẩn phải tìm là dãy {x n } thoả mãn mối liên hệ ràng buộc giữa bản thân dãy x n và các sai phân của nó. Chẳng hạn cấp số cộng được đặc trưng bởi phương trình x n = d hoặc là  2 x n = 0 Phương trình của dãy Fibonacci x n+2 – x n+1 – x n có thể viết dưới dạng x n+2 – 2x n+1 + x n + x n+1 – x n – x n = 0 hay  2 x n + x n - x n = 0. Với tính chất 3), sai phân bậc nhất có một ứng dụng quan trọng là tìm tổng n số hạng đầu của một dãy số. Khi cần tìm tổng x 1 + x 2 + … + x n , ta tìm một dãy {y n } sao cho y n = x n , khi đó x 1 + x 2 + … + x n = y n+1 – y 1 . Chẳng hạn với các tổng ! !2.2!1.1 )1)(2( 4.3.23.2.1 )1( 1 3.2 1 2.1 1 nn nnn nn     ta có thể tìm được các dãy y n tương ứng là {1/n}, {(n-1)n(n+1)(n+2)/4}, {(n+1)!} và từ đó các tổng tương ứng bằng 1/n – 1, (n-2)(n-1)n(n+1)/4 và (n+1) ! – 1. Bài toán 3. Hãy lập công thức tính tổng 1 4 + 2 4 + … + n 4 Lời giải. Ta tìm hàm số f sao cho f(n+1) – f(n) = n 4 với mọi n. Theo tính chất 5) ta sẽ tìm f dưới dạng một đa thức bậc 5. Giả sử f(n) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f thì hệ thức f(n+1) – f(n) = n 4 tương đương với a((n+1) 5 -n 5 ) + b((n+1) 4 – n 4 ) + c((n+1) 3 – n 3 ) + d((n+1) 2 – n 2 ) + e(n+1-n) = n 4 Đồng nhất hệ số hai vế, ta được hệ 5a = 1 10a + 4b = 0 10a + 6b + 3c = 0 5a + 4b + 3c + 2d = 0 a + b + c + d + e = 0 Từ đây giải ra được a = 1/5, b = -1/2, c = 1/3, d = 0, e = -1/30 f có thể nhận giá trị bất kỳ và ta chọn f = 0. Từ đây 30 )133)(12)(1( 30 )110156()1()1(10)1(15)1(6 21 2 345 444     nnnnn nnnn n Bài tập 5 1. Các dãy số {x n } và {y n } được xác định bởi x 1 = 3, y 1 = 2 và x n+1 = 3x n + 4y n , y n+1 = 2x n + 3y n với mọi n=1, 2, a) Tìm công thức tổng quát tính x n , y n ; b) Chứng minh rằng với mọi n ta có x n 2 – 2y n 2 = 1. 2. Cho dãy số {x n } xác định bởi các số hạng ban đầu x 1 , x 2 và công thức truy hồi x n+1 = ax n + bx n-1 với mọi n=2, 3, Chứng minh rằng nếu dãy {x n } chứa toàn các số hạng dương thì phương trình x 2 – ax – b = 0 có tất cả các nghiệm đều thực. 3. Tìm công thức tổng quát cho dãy số {x n } xác định như sau x 1 = 1, x n+1 = 1/(2+x n ) với mọi n = 1, 2, 4. Chứng minh công thức     k j jkn j k j n k xCx 0 )1( 5. Nhận xét rằng (x+1) – x = 1 (x+2) 2 – 2(x+1) 2 + x 2 = 2 (x+3) 3 – 3(x+2) 3 + 3(x+1) 3 – x 3 = 6 (x+4) 4 – 4(x+3) 4 + 6(x+2) 4 – 4(x+1) 4 + x 4 = 24 Hãy dự đoán và chứng minh tính chất tổng quát của quy luật trên. 6. (Cần Thơ 2009) Cho dãy số {a n } xác định bởi công thức truy hồi a 1 = 1/2, 1 2 2 1    nn n n aa a a . Chứng minh rằng a 1 + a 2 + … + a n < 1 với mọi số nguyên dương n. 7. Dãy số {x n } với n = 1, 2, 3, được xác định bởi , 3,2,1,2 2 1 ,3 2 11   nxxxx nnn Hãy rút gọn tổng    n i i n x S 1 . 1 . 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CẤP SỐ VÀ DÃY SỐ Bài 2. (17/5/2009) Tuần trước chúng ta đã làm quen với khái niệm dãy số và hai cấp số cơ bản nhất là cấp số cộng và cấp số nhân. Xuất phát. hiện được quy luật cho dãy các hiệu rồi từ đó tìm ra quy luật của dãy số ban đầu. Dãy các hiệu như vậy được gọi là dãy sai phân của dãy ban đầu. Định nghĩa. Cho dãy số {x n } n=1  . Sai phân. {x n } là cấp số nhân khi và chỉ khi {x n } là cấp số nhân. 5) Nếu {x n } là một đa thức bậc k theo n thì {x n } là một đa thức bậc k-1 theo n. Hơn nữa nếu x n = P k (x) với hệ số cao