Chuyên đề ôn tập các hệ thúc lượng trong tam giác và ...

cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:A. A..[r]

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Vấn đề GIẢI TAM GIÁC

Câu 1. Tam giác ABC có AB 5,BC 7,CA8 Số đo góc A bằng:

A. 30  B. 45  C. 60  D. 90 

Câu 2. Tam giác ABC có AB 2, AC1 A60 Tính độ dài cạnh BC.

A. BC 1 B. BC 2 C. BC  D. BC

Câu 3. Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB BC 3, cạnh AB9 ACB60 Tính độ dài

cạnh cạnh BC

A. BC  3 B. BC3 3. C.BC 3 7.D.

3 33 BC 

Câu 4. Tam giác ABC có AB 2, AC C 45 Tính độ dài cạnh BC.

A. BC  B.

6

BC  

C.

6

BC 

D. BC 

A.

5 AC 

B. AC 5 C. AC 5 D. AC 10

Câu 6. Cho hình thoi ABCD cạnh 1cm có BAD 60 Tính độ dài cạnh AC.

A. AC  B. AC  C. AC 2 D. AC 2

Câu 7. Tam giác ABC có AB4,BC6, AC 2 Điểm M thuộc đoạn BC cho MC 2MB Tính độ dài

cạnh AM .

A. AM 4 B. AM 3 C. AM 2 D. AM 3

Câu 8. Tam giác ABC có

6

, 3,

2

AB  BC CA

Gọi D chân đường phân giác góc A Khi góc ADB độ?

A. 45  B. 60  C. 75  D. 90 

Câu 9. Tam giác ABC vuông A, đường cao AH 32cm Hai cạnh AB AC tỉ lệ với Cạnh nhỏ nhất

của tam giác có độ dài bao nhiêu?

A. 38cm B. 40cm C. 42cm D. 45cm

Câu 10. Tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm ,E F cho góc MPE EPF FPQ ,  ,  bằng

nhau Đặt MP q PQ m PE x PF ,  ,  , y Trong hệ thức sau, hệ thức đúng? 2 .

C. MF2 q2 y2  yq D. MQ2 q2m2 2qm

Câu 11. Cho góc xOy30 Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB1 Độ dài lớn nhất

của đoạn OB bằng:

A.

3

2 B. C. 2 D.

Câu 12. Cho góc xOy30 Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB1 Khi OB có độ

dài lớn độ dài đoạn OA bằng:

A.

3

2 B. C. 2 D.

Câu 13. Tam giác ABC có AB c BC a CA b ,  ,  Các cạnh , ,a b c liên hệ với đẳng thức



2





2



b b  a c a  c

Khi góc BAC độ?

A. 30  B. 45  C. 60  D. 90 

Câu 14. Tam giác ABC vng A, có AB c AC b ,  Gọi a độ dài đoạn phân giác góc BAC Tính a

theo b c

A.

2 a

bc b c

  

B.





2

a

b c bc

  

C.

2 a

bc b c

  

D.





2

a

b c bc

 



với tốc độ 20 hải lí Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách hải lí?

Kết gần với số sau đây?

A. 61 hải lí

B. 36 hải lí

C. 21 hải lí

D. 18 hải lí

Câu 16. Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B

cùng bờ với A cho từ A B nhìn thấy điểm C Ta đo khoảng cách AB40m, CAB 450 và

 700

CBA

Vậy sau đo đạc tính tốn khoảng cách AC gần với giá trị sau đây?

A. 53 m

B. 30 m

C. 41,5 m

Câu 17. Từ vị trí A người ta quan sát cao (hình vẽ) Biết AH 4m, HB20m, BAC 450

Chiều cao gần với giá trị sau đây?

A. 17,5m

B. 17m

C. 16,5m

D. 16m

Câu 18. Giả sử CD h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm , A B mặt đất cho ba

điểm , A B C thẳng hàng Ta đo AB 24 m, CAD 63 , CBD 480

Chiều cao h tháp gần với giá trị sau đây?

A. 18m

B. 18,5m

D. 60,5m

Câu 19. Trên tịa nhà có cột ăng-ten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn

thấy đỉnh B chân C cột ăng-ten góc 50 40 so với phương nằm ngang Chiều cao tòa nhà gần với giá trị sau đây?

A. 12m

B. 19m

C. 24m

D. 29m

Câu 20. Xác định chiều cao tháp mà không cần lên đỉnh tháp Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp

khoảng CD60m, giả sử chiều cao giác kế OC 1m

Quay giác kế cho ngắm theo ta nhình thấy đỉnh A tháp Đọc giác kế số đo góc AOB600 Chiều cao tháp gần với giá trị nào

sau đây:

A. 40m

C. 105m

D. 110m

Câu 21. Từ hai vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB70m,

phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30' Ngọn núi có độ cao so với mặt đất gần với giá trị sau đây?

A. 135m B. 234m

C. 165m D. 195m

Vấn đề ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Câu 22. Tam giác ABC có AB6cm, AC 8cm BC 10cm Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của

tam giác bằng:

A. 4cm B 3cm C 7cm D 5cm

Câu 23. Tam giác ABC vng A có AB AC a  Tính độ dài đường trung tuyến BM tam giác cho.

A BM 1,5 a B. BM a C. BM a D.

5 a BM 

đã cho

A.

15 AM 

cm B. AM 10cm. C. AM 9cm.D.

13 AM 

cm

Câu 25. Tam giác ABC cân C, có AB9cm

15 cm AC 

Gọi D điểm đối xứng B qua C Tính độ dài cạnh AD

A. AD6cm. B. AD9cm. C. AD12cm. D. AD 12 2cm.

Câu 26. Tam giác ABC có AB3, BC8 Gọi M trung điểm BC Biết

 13

cos

26 AMB

AM 3 Tính

độ dài cạnh AC

A. AC  13. B. AC 7. C. AC13. D. AC7.

Câu 27*. Tam giác có trọng tâm G Hai trung tuyến BM 6, CN 9 BGC 1200 Tính độ dài cạnh AB.

A. AB 11. B. AB 13. C. AB2 11. D. AB2 13.

Câu 28**. Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến 9; 12; 15 Diện tích tam giác ABC bằng:

A 24 B 24 C 72 D 72

Câu 29*. Cho tam giác ABC có AB c BC a CA b ,  ,  Nếu , , a b c có liên hệ b2c2 2a2 độ dài đường

A.

3 a

B.

3 a

C. 2a D. 3a

Câu 30*. Cho hình bình hành ABCD có AB a BC b BD m ,  ,  AC n Trong biểu thức sau, biểu thức nào

đúng:

A.





2 3 2 m n  a b

B.





2 2 2 m n  a b

C.





2 2 2 m n a b

D.





2 2 m n a b

Câu 31**. Tam giác ABC có AB c BC a CA b ,  ,  Các cạnh , , a b c liên hệ với đẳng thức a2b2 5c2.

Góc hai trung tuyến AM BN góc nào?

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Câu 32**. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến m m ma, , b c thỏa mãn

2 2

5ma mb mc Khi tam giác tam giác gì?

A. Tam giác cân B. Tam giác

C. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cân

Câu 33**. Tam giác ABC có AB c BC a CA b ,  ,  Gọi m m ma, , b c độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm

Xét khẳng định sau:

 

I ma2mb2mc2 34



a2b2 c2



 

II





2 2 2

Trong khẳng định cho có

A.

 

I B. Chỉ

 

II C. Cả hai sai D. Cả hai

Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP

Câu 34. Tam giác ABC có BC 10 A30O Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. R5. B. R10. C.

10 R

D. R10 3.

Câu 35. Tam giác ABC có AB3, AC6 A60 Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. R3. B. R3 3. C. R 3. D. R6.

Câu 36. Tam giác ABC có BC 21cm, CA17cm, AB 10cm Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC.

A.

85 cm R

B.

7 cm R

C.

85 cm R

D.

7 cm R

Câu 37. Tam giác cạnh a nội tiếp đường trịn bán kính R Khi bán kính R bằng:

A.

3 a R

B.

2 a R

C.

3 a R

D.

3 a R

Câu 38. Tam giác ABC vng A có đường cao

12 cm AH 

3 AB

AC  Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A. R2,5cm B. R1,5cm C. R2cm. D. R3,5cm.

Câu 39. Cho tam giác ABC có AB3 3, BC 6 CA9 Gọi D trung điểm BC Tính bán kính R của

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

A.

9 R

B. R3. C. R3 3. D.

9 R

Câu 40**. Tam giác nhọn ABC có AC b BC a ,  , BB' đường cao kẻ từ B CBB ' Bán kính đường trịn

ngoại tiếp R tam giác ABC tính theo , a b  là:

A.

2 2 cos 2sin

a b ab

R 



 



B.

2 2 cos 2sin

a b ab

R 



 



C.

2 2 cos 2cos

a b ab

R 



 



D.

2 2 cos 2cos

a b ab

R 



 



Vấn đề DIỆN TÍCH TAM GIÁC

A. SABC 9 B.

9 ABC S 

C. SABC 9.D.

9 ABC S 

Câu 42. Tam giác ABC có AC 4, BAC 30 ,  ACB75 Tính diện tích tam giác ABC

A. SABC 8 B. SABC 4 C. SABC 4 D. SABC 8

Câu 43. Tam giác ABC có a21, b17, c10 Diện tích tam giác ABC bằng:

A. SABC 16 B. SABC 48 C. SABC 24 D. SABC 84

Câu 44. Tam giác A



1;3 , 5; 1



B







có AB3, AC6, BAC 60 Tính độ dài đường cao ha tam giác

A. ha 3 B. ha  C. ha 3 D.

3 a h 

Câu 45. Tam giác ABC có AC 4, ACB 60 Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A tam giác

A. h2 3. B. h4 3. C. h2. D. h4.

Câu 46. Tam giác ABC có a21, b17, c10 Gọi 'B hình chiếu vng góc B cạnh AC Tính BB'

A. BB' 8 . B

84 '

5 BB 

C.

168 '

17 BB 

D.

84 '

17 BB 

A.

3 sin

2 A

B.

3 sin

8 A

C.

4 sin

5 A

D.

8 sin

9 A

Câu 48. Hình bình hành ABCD có AB a BC a ,  BAD 450 Khi hình bình hành có diện tích bằng:

A. 2a2 B. a2 C. a2 D. a2

Câu 49*. Tam giác ABC vng A có AB AC 30cm Hai đường trung tuyến BF CE cắt G Diện

tích tam giác GFC bằng:

A. 50 cm B. 50 cm C. 75 cm D.15 105 cm

Câu 50*. Tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R4 cm có diện tích bằng:

A. 13 cm2 B.13 cm2 C.12 cm2 D.15 cm

Câu 51*. Tam giác ABC có BC 2 3, AC 2AB độ dài đường cao AH 2 Tính độ dài cạnh AB.

A AB2 B

2 3 AB

C AB2

2 21 AB

D AB2

2 3 AB

Câu 52*. Tam giác ABC có BC a CA b AB c ,  ,  có diện tích S Nếu tăng cạnh BC lên lần đồng thời tăng

cạnh AC lên lần giữ nguyên độ lớn góc C diện tích tam giác tạo nên bằng:

Câu 53*. Tam giác ABC có BC a CA b Tam giác ABC có diện tích lớn góc C bằng:

A. 60 B. 90 C.150 D. 120

Câu 54*. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM CN, vng góc với có BC3, góc BAC300 Tính

diện tích tam giác ABC

A SABC 3 B SABC 6 C SABC 9 3.D

3 ABC S 

Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP

Câu 55. Tam giác ABC có AB5, AC8 BAC 600 Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho.

A r1 B r 2 C r  3 D r2 3.

Câu 56. Tam giác ABC có a21, b17, c10 Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cho

A r16 B r 7 C

7 r 

D r8

Câu 57. Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cạnh a

A.

3 a r

B.

2 a r 

C.

3 a r 

D.

5 a r

Câu 58. Tam giác ABC vuông A có AB 6cm, BC 10cm Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác đã

A. r1 cm. B. r  2 cm. C. r 2 cm. D. r3 cm.

Câu 59. Tam giác ABC vng cân A, có AB a Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho.

A.

a r

B.

a r 

C. 2

a r 

 . D.

a r 

Câu 60. Tam giác ABC vuông cân A nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Gọi r bán kính đường trịn nội

tiếp tam giác ABC Khi tỉ số R r bằng:

A. 1 2. B.

2

2



C.

2



D.

1

2



ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

Câu 1. Theo định lí hàm cosin, ta có

 2 52 82 72

cos

2 2.5.8

AB AC BC A

AB AC

   

  

Do đó, A60 Chọn C.

Câu 2. Theo định lí hàm cosin, ta có



2 2 2 . .cos 22 12 2.2.1.cos60 3 3

BC AB AC  AB AC A      BC  Chọn D.

Câu 3.

MN

  đường trung bình ABC.

1 MN AC

  

Mà MN 3, suy AC6.

Theo định lí hàm cosin, ta có



2 2

2 2

2 .cos

9 2.6 .cos60

3

AB AC BC AC BC ACB

BC BC

BC

  

    

  

Chọn A.

Câu 4. Theo định lí hàm cosin, ta có



   

2

2 2 2. . .cos 2 3 2 3. .cos 45

AB AC BC  AC BC C  BC  BC 

6

2

BC 

 

Chọn B.

Câu 5. Theo định lí hàm sin, ta có  

5

sin 45 sin 60

sin sin

AB AC AC

AC

C  B       .

Chọn A. Câu 6.

Theo định lí hàm cosin, ta có



2 2

2

2 .cos

1 2.1.1.cos120 3

AC AB BC AB BC ABC AC

  

      

Chọn A. Câu 7.

Theo định lí hàm cosin, ta có :





2

2

2 2 1

cos

2 2.4.6

AB BC AC B

AB BC

 

 

  

Do

1

2

3 MC  MB  BM  BC 

Theo định lí hàm cosin, ta có



2 2

2

2 .cos

4 2.4.2 12

2

AM AB BM AB BM B AM

  

     

Chọn C. Câu 8.



 

2 2 1

cos

2

120 60

AB AC BC BAC

AB AC

BAC BAD

 

 

     

 2 2 

cos 45

2

AB BC AC

ABC ABC

AB BC

 

    

Trong ABD có BAD 60 , ABD45  ADB75 .

Chọn C.

Câu 9. Do tam giác ABC vng A, có tỉ lệ cạnh góc vng AB AC: : nên AB cạnh nhỏ tam

giác

Ta có

3

4

AB

AC AB AC    . Trong ABC có AH đường cao

2 2 2 2

2

1 1 1 1

40

4 32 16

3

AB

AH AB AC AB AB AB AB

         

 

 

  Chọn B.

Câu 10.

Ta có

    30   60

3 MPQ

MPE EPF FPQ    MPF EPQ  



2 2

2 2

2 .cos

2 cos30

ME AM AE AM AE MAE

q x qx q x qx

  

      



2 2

2 2

2 cos cos60

MF AM AF AM AF MAF

q y qy q y qy

  

      

2 2 2

MQ MP PQ q m Chọn C.

Câu 11. Theo định lí hàm sin, ta có:

     

1

.sin sin 2sin

sin 30

sin sin sin

OB AB AB

OB OAB OAB OAB

OAB  AOB   AOB   

Do đó, độ dài OB lớn

 

sinOAB 1 OAB 90

Khi OB2.

Chọn D.

Câu 12. Theo định lí hàm sin, ta có

     

1

.sin sin 2sin

sin 30

sin sin sin

OB AB AB

OB OAB OAB OAB

OAB  AOB   AOB   

Do đó, độ dài OB lớn

 

Khi OB2.

Tam giác OAB vuông A OA OB2 AB2  22 12  3

Chọn B

Câu 13. Theo định lí hàm cosin, ta có

 2 2 2

cos

2

AB AC BC c b a BAC

AB AC bc

   

 

Mà

















2 2 2 3 0

b b  a c a  c  b  a b a c c   a b c  b c 



b c b





c2 a2 bc



b2 c2 a2 bc

          

(do b0,c0) 2

b c a bc

   

Khi đó,

 2 

cos 60

2

b c a

BAC BAC

bc

 

    

Chọn C.

Câu 14.

Ta có BC  AB2AC2  b2c2 .

Do AD phân giác BAC

2

.BC

AB c c c b c

BD DC DC

AC b b c b c



    

  .











2 2

2 2 2

2

2 .cos c b c cos 45

BD AB AD AB AD ABD c AD c AD

b c



       















2 2 3

2 2

2

2

2 c b c bc

AD c AD c AD c AD

b c b c

  

 

        

   

  .

2bc AD

b c

 

 hay

2 a

bc b c

  

Chọn A.

Câu 15 Sau 2 tàu B 40 hải lí, tàu C 30 hải lí Vậy tam giác ABC có AB40, AC30 và

A 60 0



Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC, ta có 2 2 cos

a b c  bc A302402 2.30.40.cos600 900 1600 1200 1300.  

Vậy BC  1300 36 (hải lí).

Sau giờ, hai tàu cách khoảng 36 hải lí Chọn B.

Câu 16. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có sin sin

AC AB B  C

Vì sinC sin



 



nên





0

0 sin 40.sin 70

41,47 m

sin sin115

AB

AC 

 

  

Câu 17. Trong tam giác AHB, ta có

 

tan 11 19'

20 AH

ABH ABH

BH

     

Suy ABC900 ABH 78 41'0 .

Suy 



 



0

180 56 19'

ACB  BAC ABC 

Áp dụng định lý sin tam giác ABC, ta

 

 

.sin

17m

sin sin sin

AB CB AB BAC

CB

ACB  BAC    ACB  Chọn B.

Câu 18. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có

sin sin

AD AB D  

Ta có  D  nên D   630 480 15

Do





0

0 sin 24.sin 48

68,91 m

sin sin15

AB

AD 

 

  



Trong tam giác vng ACD, có h CD AD  sin 61, m Chọn D.

Câu 19. Từ hình vẽ, suy BAC 100

 1800



 



1800



500 900



400

ABD   BAD ADB    

 

 

0

0 sin 5.sin 40

= 18,5 m

sin10

sin sin sin

BC AC BC ABC

AC

BAC  ABC    BAC  .

Trong tam giác vuông ADC, ta có

 

sinCAD CD CD AC.sinCAD 11,9 m AC

    

Vậy CH CD DH 11,9 18,9 m.  Chọn B.

Câu 20. Tam giác OAB vuông ,B có



tanAOB AB AB tan 60 OB 60 m OB

   

Vậy chiếu cao tháp h AB OC  



60 m.



Chọn C.

Câu 21. Từ giả thiết, ta suy tam giác ABC có CAB 60 ,0 ABC105 300  c70

Khi    



 



0 0 0

180 180 180 165 30 14 30

A B C    C   A B    

Theo định lí sin, ta có sin sin

b c

B  C hay 0

70 sin105 30 sin14 30

b



 

Do

0

0 70.sin105 30

269, m sin14 30

AC b   

Gọi CH khoảng cách từ C đến mặt đất Tam giác vng ACH có cạnh CH đối diện với góc 30 nên0 269,4

134,7 m

2

AC

Vậy núi cao khoảng 135 m Chọn A. Câu 22.

Áp dụng công thức đường trung tuyến

2 2

2

a

b c a m   

ta được:

2 2 2

2 10 25

2 4

a

AC AB BC

m       

5 a m

  Chọn D.

Câu 23.

M trung điểm 2 AC a AC AM  

Tam giác BAM vuông A

2

2 2 5.

4

a a

BM AB AM a

     

Chọn D. Câu 24.

Áp dụng hệ thức đường trung tuyến

2 2

2

a

b c a m   

ta được:

2 2 2

2 12 15 225.

2 4

a

AC AB BC

15 a m

 

Chọn A. Câu 25.

Ta có: D điểm đối xứng B qua C  C trung điểm BD  AC trung tuyến tam giác DAB

2 15

BD BC  AC 

Theo hệ thức trung tuyến ta có:

2 2

2

2

AB AD BD

AC   

2

2 2 2

2 BD

AD AC AB

   

2 AD

 

2 2 15 15

2 144 12

2 AD

 

    

 

  Chọn C.

Câu 26.

Ta có: M trung điểm BC BC BM

  

Trong tam giác ABM ta có:

 2

cos

2

AM BM AB AMB

AM BM

 





2 2 . .cos 2 0. AM AM BM AMB BM AB

2

13 ( )

20 13

7 7 13

13 3 ( )

13 AM

AM AM

AM

  



     

 



thoả mãn loại

13 AM

 

Ta có: AMB AMC hai góc kề bù

  13

cos cos

26

AMC AMB

  

Trong tam giác AMC ta có:



2 2 2 . .cos AC AM CM  AM CM AMC

5 13

13 16 13.4 49

26 AC

 

      

  Chọn D.

Câu 27*.

Ta có: BGC BGN hai góc kề bù mà BGC 1200  BGN 120

G trọng tâm tam giác ABC

4

1

3

BG BM GN CN



 

   

  

Trong tam giác BGN ta có:



2 2 2 . .cos BN GN BG  GN BG BGN

2 9 16 2.3.4.1 13 13.

BN BN

      

N trung điểm AB AB2BN 2 13 Chọn D.

Câu 28**. Ta có:

2 2

2 2

2

2 2

2

81

2 292

144 208 100 225 a b c

b c a m

a a c b

m b

c a b c

m                               73 13 10 a b c            Ta có:

2 2 208 100 292 1 cos

2 2.4 13.10 13

b c a A

bc

   

  

2

2 18 13

sin cos

65 13

A  A    

  Chọn C.

Diện tích tam giác

1 18 13

: sin 13.10 72

2 65

ABC

ABC S bc A

   

Câu 29*. Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác:

2 2

2

a

Mà: b2c2 2a2

2 2

2 3.

2 4

a a

a a a a

m     m 

Chọn A.

Câu 30*. Gọi O giao điểm AC BD Ta có:

1

2

m BO BD

BO trung tuyến tam giác ABC

2 2

2

2

BA BC AC

BO 

  





2 2

2 2 2

4

m a b n

m n a b



      

Chọn B.

Câu 31**. Gọi G trọng tâm tam giác ABC

Ta có:

2 2 2

2

2 4

AC AB BC b c a

AM      





2 2 2

9 9

b c a

AG AM 

   

2 2 2

2

2 4

BA BC AC c a b

BN      

2 2 2

9 18 36

c a b

GN BN 

   

Trong tam giác AGN ta có:











2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

9 18 36

cos

2 2

2

9 18 36

b c a c a b b AG GN AN

AGN

AG GN b c a c a b









2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

9 18 36

2

2

9 18 36

b c a c a b b

b c a c a b

          









2 2

2 2 2 2 2 10

0

36.2

9 18 36

c a b

b c a c a b

 

 

 

 

AGN 90 0

  Chọn D.

Câu 32**. Ta có:

2 2

2 2

2 2 2 4 a b c

b c a m

a c b m

a b c m                  

Mà: 5ma2 mb2mc2

2 2 2 2 2

2 4

b c a a c b a b c

    

      

 

2 2 2 2 2

10b 10c 5a 2a 2c b 2a 2b c

        

2 2 b c a

Câu 33**. Ta có:

2 2

2 2

2 2

2

2

2

a

b

c

b c a m

a c b m

a b c m

 

 

 

 

 

 

 

 









2 2 2

a b c

m m m a b c

     













2 2 2 3. 2 2 2

9 a b c

GA GB GC  m m m  a b c  a b c

Chọn D.

Câu 34. Áp dụng định lí sin, ta có  

10

2 10

2.sin 30

sin 2.sin

BC BC

R R

BAC    A 

Chọn B.

Câu 35. Áp dụng định lí Cosin, ta có BC2 AB2AC2 2AB AC .cosBAC

2 2 2

3 2.3.6.cos60 27 BC 27 BC AB AC

        

Suy tam giác ABC vng ,B bán kính AC R 

Chọn A.

Câu 36. Đặt 24

AB BC CA

p   

Áp dụng công thức Hê – rơng, ta có



 

 



24 24 21 24 17 24 10



 

 



84 ABC

Vậy bán kính cần tìm

21.17.10 85

4 4.84

ABC

ABC AB BC CA AB BC CA

S R cm

R S





    

Chọn C.

Câu 37. Xét tam giác ABC cạnh a, gọi M trung điểm BC

Ta có AM BC suy

2

2

1

2

ABC

a S  AM BC  AB  BM BC 

Vậy bán kính cần tính

3

2

4 3

4 ABC

ABC

AB BC CA AB BC CA a a

S R

R S a





    

Chọn C.

Câu 38. Tam giác ABC vng ,A có đường cao AH  AB AC AH2

 



Mặt khác

3

4

AB

AB AC

AC    vào

 

 , ta

2

3 12

4AC AC

 

   

 

Suy

2

4 5

AB   BC  AB AC 

Vậy bán kính cần tìm BC

Câu 39. Vì D trung điểm BC 

2 2

2 27

2

AB AC BC

AD    

 AD3

Tam giác ABD có AB BD DA  3 3 tam giác ABD đều.

Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp

3

.3 3

3

R AB 

Chọn B.

Câu 40**. Xét tam giác BB C vng ,B có



sinCBB B C B C a.sin

BC 



   

Mà ABB C AC  AB  b a.sin BB 2 a2.cos2

Tam giác ABB vng ,B có





2

2 .sin 2.cos2 AB BB AB  b a  a  2 sin 2sin2 2cos2 2 2 sin

b ab  a  a  a b ab 

      

Bán kính đường trịn ngoại tiếp cần tính



2 2 sin

2

2cos sin

AB a b ab

R R ACB

 

 

  

Câu 41. Ta có



1

.sin 3.6.sin 60

2 2

ABC

S  AB AC A 

Chọn B.

Câu 42. Ta có 



 





0

180 75

Suy tam giác ABC cân A nên ABAC 4.

Diện tích tam giác ABC



1

sin

2 ABC

S  AB AC BAC 

Chọn C.

Câu 43. Ta có

21 17 10 24

p   

Do S  p p a p b p c





 



 





 24 24 21 24 17 24 10





 



 





84 Chọn D.

Câu 44. Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có

2 2 2 . cos 27 3 3

BC AB AC  AB AC A   BC  .

Ta có



1

.sin 3.6.sin 60

2 2

ABC

S  AB AC A 

Lại có

1

2

ABC a a

S

S BC h h

BC

     

Chọn C.

Câu 45. Gọi H chân đường cao xuất phát từ đỉnh A

Tam giác vng AHC, có

 

sin sin

2 AH

ACH AH AC ACH

AC

     

Chọn A.

Câu 46. Ta có

21 17 10 24

p   

Suy S  p p a p b p c





 



 





 24 24 21 24 17 24 10





 



 





84

Lại có

1 168

' 84 17 ' '

2 17

S  b BB    BB   BB 

Chọn C.

Câu 47. Ta có



1

.sin 64 8.18.sin sin

2

ABC

S  AB AC BAC   A A

Chọn D.

Câu 48. Diện tích tam giác ABD



1

.sin 2.sin 45

2 2

ABD

a S  AB AD BAD a a 

Vậy diện tích hình bình hành ABCD

2

2

2 ABCD ABD

a S  S  a

Chọn C.

Câu 49*. Vì F trung điểm AC 

1

15

FC  AC cm

Đường thẳng BF cắt CE G suy G trọng tâm tam giác ABC

Khi

































; 1

3 ; ; 10

3

;

d B AC BF AB

d G AC d B AC cm

GF

d G AC      

Vậy diện tích tam giác GFC là:









1

; 10.15 75

2

GFC

S  d G AC FC  cm

Chọn C.

Theo định lí sin, ta có 

0

2 2.4 8.sin 60

sin 60 sin

BC a

R a

BAC      

Vậy diện tích cần tính







2

1

.sin sin 60 12

2

ABC

S  AB AC BAC  cm

Chọn C.

Câu 51*. Ta có

2 3

2

AB BC CA AB

p    

Suy

3 3 3

2 2

AB AB AB AB

S                

       .

Lại có

S  BC AH 

Từ ta có

3 3 3

2

2 2

AB AB AB AB

           

       

       



9 12 12

 

2



12 2 21

16

3 AB

AB AB

AB

 

  

    

 

 Chọn C.

Câu 52*. Diện tích tam giác ABC ban đầu

 

1

.sin sin

2

Khi tăng cạnh BC lên 2 lần cạnh AC lên lần diện tích tam giác ABC lúc là



 



 

1

sin .sin

2

ABC

S  AC BC ACB AC BC ACB S

Chọn D.

Câu 53*. Diện tích tam giác ABC

 

1

.sin sin

2

ABC

S  AC BC ACB ab ACB

Vì ,a b khơng đổi sinACB 1, C nên suy ABC ab S 

Dấu " " xảy sinACB  1 ACB90

Vậy giá trị lớn diện tích tam giác ABC ab S 

Chọn B.

Câu 54*. Vì BM CN 5a2b2c2 (Áp dụng hệ có trước)

Trong tam giác ABC, ta có

2

2 2 2 cos 5 2 cos .

cos a

a b c bc A a bc A bc

A

       

Khi

2

2

1

sin sin tan 3

2 cos

a

S bc A A a A

A

   

Chọn A.

Câu 55. Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có

2 2 2 . cos 49 7

Diện tích

1

.sin 5.8 10

2 2

S  AB AC A 

Lại có

2

S S

S p r r

p AB BC CA

     

  Chọn C.

Câu 56. Ta có

21 17 10 24

p   

Suy S  24 24 21 24 17 24 10





 



 





84

Lại có

84

24 S

S p r r p

     

Chọn C.

Câu 57. Diện tích tam giác cạnh a bằng:

2 3 a S 

Lại có

2 3

3

3 6

2 a

S a

S pr r

a p

     

Chọn C.

Câu 58. Dùng Pitago tính AC 8, suy 12

AB BC CA

p   

Diện tích tam giác vng

24

2

S  AB AC 

.Lại có cm

S S p r r

p

Chọn C.

Câu 59. Từ giả thiết, ta có ACAB a BC a 2.

Suy

2

2

AB BC CA

p    a  

 .

Diện tích tam giác vuông

2

2

a S  AB AC

Lại có 2

S a

S p r r p

    

 Chọn C.

Câu 60. Giả sử AC AB a  BC a 2 Suy

2

2

BC a R 

Ta có

2

2

AB BC CA

p    a  

 .

Diện tích tam giác vng

2

2

a S  AB AC 

Lại có 2

S a

S p r r p

    

 Vậy

R