hàm biến phức: Không gian metric và không gian liên thông trên C

Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN METRIC VÀ KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG TRÊN £ Bài 1: Định nghĩa và một số ví dụ về không gian metric 1.Định nghĩa không gian metric: a.Định nghĩa: Cho Ø ≠ X ⊂ £ và d: X × X → £ Khi đó (X,d) được gọi là một không gian metric với metric d nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) d(z,w) ≥ 0 ∀ z,w ∈ £ d(z,w) = 0 ⇔ z = w ∀ z,w ∈ £ ii) d(z,w) = d(w,z) ∀ z,w ∈ £ iii) d(z,w) ≤ d(z,u) + d(u,w) ∀ z,u,w ∈ £ . Cho z ∈ X ⊂ £ , r > 0 khi đó B(z,r) = { w ∈ X : d(z,w) < r } được gọi là hình tròn mở tâm tại z, bán kính r. ( , )B z r = { w ∈ X : d(z,w) ≤ r } được gọi là hình tròn đóng tâm tại z, bán kính r. b. Ví dụ: 1. ( £ , d) là một không gian metric với metric d được xác định bởi SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 1 Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức d: £ × £ → ¡ (z,w) → d(z,w) = wz − . CM: Đặt z = a + ib ∈ £ (a,b ∈ ¡ ) w = c + id ∈ £ (c,d ∈ ¡ ) + Ta có: d(z,w) = wz − = 2 2 ( ) ( )a c b d − + − ≥ 0 ∀ z,w ∈ £ Và d(z,w) = 0 ⇔ 2 2 ( ) ( )a c b d − + − = 0 ⇔ 2 2 ( ) 0 ( ) 0 a c a c b d b d  − = =   ⇔   = − =    ⇔ a + ib = c + id ⇔ z = w ∀ z,w ∈ £ +d(z,w) = wz − = 2 2 ( ) ( )a c b d − + − = 2 2 ( ) ( )c a d b − + − = w z− = d(z,w) ∀ z,w ∈ £ + Đặt u = e + if ∈ £ (e,f ∈ ¡ ) Ta có : d(z,w) = wz − = w wz u u z u u− + − ≤ − + − = d(z,u) + d(u,w) ⇒ d(z,w) ≤ d(z,u) + d(u,w) ∀ z,u,w ∈ £ . Vậy ( £ , d) là một không gian metric. SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 2 Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức 2. Cho (Y,d) là một không gian metric và X ⊂ Y ⊂ £ . Khi đó, (X,d) cũng là một không gian metric. 3.Cho X= £ và metric d( x+iy, a+ib) = max { } ,x a y b − − . Khi đó, ( £ ,d) là 1 không gian metric. 2.Định nghĩa tập mở, tập đóng trong £ : a.Định nghĩa: Cho ( £ ,d) là không gian metric và Ø ≠ A ⊂ £ , Ø ≠ B ⊂ £ Tập mở : Tập A được gọi tập mở nếu với mọi a ∈ A, tồn tại r > 0 sao cho B(z,r) ⊂ A. Ví dụ : B(z,r) = { w ∈ £ : d(z,w) < r } là tập mở trong £ Tập đóng: Tập B được gọi tập đóng nếu £ \ B là tập mở. Ví dụ : ( , )B z r = { w ∈ £ : d(z,w) ≤ r } là tập đóng trong £ Chú ý: Tập £ ,và tập Ø là tập vừa đóng vừa mở. b.Định lý: • Giao của một số hữu hạn các tập mở là một tập mở. • Hợp vô hạn các tập mở là 1 tập mở. • Hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng. • Giao vô hạn các tập đóng là tập đóng. Chứng minh: SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 3 Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức Cho 1 A , 2 A , 3 A …… , n A ,…. là các tập con trong £ . Giả sử i A là tập mở ( 1 i n ≤ ≤ ). Đặt A= 1 n i i A = I . Cho a ∈ A là điểm tùy ý. ⇒ 1, i i a A i n ∈ ∀ = . Vì i A là tập mở nên ∃ i r >0 : ( , ) i i B a r A⊂ ∀ 1,i n= . Đặt r = 1, min i i n r = > 0 ⇒ B(a,r) ⊂ i A ∀ 1,i n= . ⇒ B(a,r) ⊂ 1 n i i A = I = A. ⇒ A là tập mở. Vậy giao của số hữu hạn các tập mở là tập mở. ⇒ £ \ A là tập đóng ⇒ £ \ 1 n i i A = I là tập đóng SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 4 Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức ⇒ 1, ( \ ) n i i n A = £ U là tập đóng. Vậy hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng. ∀ a ∈ i A ⇒ a ∈ 1 i i A ∞ = U Vì i A là tập mở ⇒ ∃ r >0 : ( , ) i B a r A⊂ ∀ i ⇒ 1 ( , ) i i B a r A ∞ = ⊂ U ⇒ 1 i i A ∞ = U là tập mở. Vậy hợp vô hạn các tập mở là tập mở. ⇒ £ \ 1 i i A ∞ = U là tập đóng. ⇒ 1 ( \ ) i i A ∞ = £ I là tập đóng. Vậy giao vô hạn các tập đóng là tập đóng. 3. Định nghĩa phần trong, bao đóng, biên của 1 tập hợp: Cho Ø ≠ A ⊂ £ . Phần trong của A là tập mở lớn nhất nằm trong A Kí hiệu : Int A ( hoặc 0 A ) SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 5 Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức Int A = U {G: G là tập mở và G ⊂ A } Bao đóng của tập A là tập đóng bé nhất chứa A. Kí hiệu : cl A ( hoặc A ) cl A = I {F: F là tập đóng và F ⊃ A} Biên của tập A kí hiệu A∂ , là tập được định nghĩa A∂ = 0 ( \ )A A ∩ £ là 1 tập đóng. Bài 2: TẬP LIÊN THÔNG 1.Định nghĩa không gian liên thông: a.Định nghĩa: • Không gian metric (X,d) được gọi là liên thông nếu trong X chỉ có tập X và tập Ø là hai tập con vừa mở vừa đóng. • Tập A ⊂ X được gọi là tập liên thông nếu (A,d) là một không gian liên thông. b.Ví dụ: 1. Quả cầu mở B(z,r) là tập liên thông ( với z ∈ £ và r>0). 2.(a,b); (a,b]; [a,b).[a,b] đều là các tập liên thông. Chứng minh : X= [a,b] là một tập liên thông.(a, b là các phần tử thuộc ¡ ) . SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 6 Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức Cho A ⊂ X là một tập mở trong X sao cho a ∈ A và A ≠ X.Ta cần chứng minh A không phải là tập đóng.Do đó, X là không gian liên thông. Do A là tập mở và a ∈ A nên tồn tại một ε > 0 sao cho [ a , a + ε ) ⊂ A. Cho r = sup { ε : [ a , a + ε ) ⊂ A}. Khi đó, [ a , a + r) ⊂ A. Thật vậy, nếu a ≤ x < a+ r ta đặt h = a +r –x >0, thì theo định nghĩa của cận trên đúng sẽ tồn tại một ε với r – h < ε < r và [a , a + ε ) ⊂ A. Nhưng a ≤ x = a + (r – h) < a + ε điều này có nghĩa là x ∈ A và [ a , a + r) ⊂ A. Tuy nhiên, a + r ∉ A, vì nếu ngược lại a + r ∈ A thì do A là tập mở nên có một δ > 0 để [a + r, a + r + δ ) ⊂ A.Suy ra [a, a+ r + δ ) ⊂ A, lại mâu thuẫn với đinh nghĩa r.Vậy [a ,a + r) ⊂ A và a + r ∉ A. Nếu A cũng là tập đóng thì a + r ∈ B = X \ A là tập mở.Do đó ta có thể tìm được một δ > 0 sao cho (a + r - δ ,a + r] ⊂ B.Mâu thuẫn với yêu cầu [ a , a + r) ⊂ A. Dó đó A không là tập đóng.Vậy X là tập liên thông. Chứng minh ( a,b); (a,b]; [a,b) là tập liên thông: làm tượng tự như chứng minh trên. Ghi chú : * Cho z, w ∈ £ .Khi đó, đoạn thẳng đi từ z đến w được định nghĩa như sau: SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 7 Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức [z,w] = {tw + (1- t)z : 0 ≤ t ≤ 1} * Một đường gấp khúc đi từ a đến b là 1 tập P = 1 [z ,w ] n k k k = U trong đó 1 z = a, w n = b và k w = 1k z + với 1 ≤ k ≤ n – 1; hoặc P = [a, 1 z ……… n z , b] 2.Định lí: Cho G là tập mở nằm trong £ . Khi đó, G là tập liên thông nếu và chỉ nếu với 2 điểm bất kì a,b trong G đều có thể nối với nhau bởi 1 đường gấp khúc nằm hoàn toàn trong G. Chứng minh: Giả sử G thỏa mãn các điều kiện trong định lý trên nhưng G không phải là 1 tập liên thông. Khi đó G = A B∪ với A, B là các tập vừa đóng , vừa mở; A B∩ = Ø và A và B đều khác rỗng. Lấy a ∈ A, b ∈ B thì theo giả thiết tồn tại một đường gấp khúc P nối 2 điểm a ; b và P ⊂ G Ta có thể xem P = [a,b]. Đặt S = {s [0,1]: sb+(1-s)a A ∈ ∈ } T = {t [0,1]: tb+(1-t)a B ∈ ∈ } Khi đó, S T ∩ = Ø, S T ∪ = [0,1] , 0 S∈ và 1 T∈ SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 8 Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức Vì S và T đều là tập mở nên suy ra S T∪ cũng là tập mở nhưng [0,1] là 1 tập liên thông(mâu thuẫn). Điều ta giả sử là sai.Do đó G là tập liên thông. Ngược lại, Giả sử G là tập liên thông.Trên G lấy 1 điểm a. Đặt A = {b ∈ G : có một đường gấp khúc P ⊂ G nối 2 điểm a, b} Khi đó A là tập vừa đóng vừa mở trong G. Do a ∈ A và G là tập liên thông nên A = G. Định lí đã được chứng minh. 3. Định nghĩa về thành phần liên thông: Một tập con D của không gian metric X được gọi là một thành phần liên thông của X nếu D là tập liên thông lớn nhất của X. 4.Bổ đề: Cho 0 x X∈ và {D :j J} j ∈ là tập hợp tất các tập liên thông của X sao cho 0 j x D∈ với mỗi j ∈ J.Khi đó, D = {D : j J} j ∈U là tập liên thông. Chứng minh: Cho A là 1 tập con của không gian metric (D,d) với A là tập vừa đóng vừa mở và A ≠ Ø. Khi đó, j A D∩ là tập mở trong ( j D ,d) với mỗi j và nó cũng là một tập đóng. Do j D là tập liên thông nên j A D∩ = Ø hoặc j A D∩ = j D .Do A ≠ Ø nên có ít nhất một số k sao cho k A D∩ ≠ Ø do đó k A D∩ = k D Đặc biêt, 0 x A∈ nên 0 j x A D∈ ∩ với mỗi j.Như thế j A D∩ = j D A⊂ với j là chỉ số. SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 9 Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức Cho D = A.Vậy D là liên thông. 5.Mệnh đề : Cho (X,d) là không gian metric.Khi đó: a. Với mỗi 0 x X∈ , 0 x bị chứa trong 1 thành phần liên thông của X. b.Các thành phần liên thông của X là rời nhau. Chứng minh: a. Cho  là tập tất cả các tập con liên thông của X và chứa điểm 0 x . Ngoài ra ta cần chú ý rằng 0 { }x ∈  nên  ≠ Ø và giả thiết của bổ đề phía trước cũng áp dụng cho tập . Do đó C = {D:D ⊂U } là tập liên thông và 0 x ∈ C. Bây giờ ta sẽ chứng minh C phải là một thành phần liên thông. Thậ t vậy, nếu D là liên thông và C ⊂ D thì 0 x ∈ D nên D ⊂ .Nhưng do D ⊂ C, vì vậy C=D.Như thế, C là lớn nhất tức là C là một thành phần liên thông của X.Câu a đã được chứng minh xong. b. Cho 1 2 ,C C là các thành phần liên thông của X, 1 2 C C ≠ .Và giả sử rằng 1 2 C C ∩ = 0 x .Theo bổ trên phía trước thì 1 2 C C ∪ là liên thông.Do 1 2 ,C C là các thành phần liên thông, cho 1 C = 1 2 C C ∪ = 2 C ( mâu thuẫn với gt 1 2 C C ≠ ). Vậy nên 1 2 C C ∩ = Ø tức là các thành phần liên thông của x là rời nhau. 6. Định lí: Cho G là tập mở trong £ .Khi đó , các thành phần liên thông của G là tập mở và số các thành phần liên thông là đếm được. SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 10 [...]... Hàm Biến Ph c Chứng minh: Cho C là một thành phần liên thông c a G và cho Do G là tập mở nên với B ( x0 , ε ) ⊂ C Vậy nên C ε >0 thì B ( x0 , ε ) ⊂ G Mà x0 ∈ C B ( x0 , ε ) là tập liên thông nên (do C là thành phần liên thông) là tập mở Ta nhận thấy số c c thành phần liên thông là đếm đư c {a+ib: ∈¡ ∈ Thật vây, cho S = a,b và a+ib G} Khi đó, S là đếm đư c và với mỗi thành phần liên thông c a G sẽ chứa... nhận thấy số c c thành phần liên thông là đếm đư c {a+ib: ∈¡ ∈ Thật vây, cho S = a,b và a+ib G} Khi đó, S là đếm đư c và với mỗi thành phần liên thông c a G sẽ chứa một điểm c a S Vậy nên số c c thành phần liên thông là đếm đư c SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 11 . lớn môn Hàm Biến Ph c CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN METRIC VÀ KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG TRÊN £ Bài 1: Định nghĩa và một số ví dụ về không gian metric 1.Định nghĩa không gian metric: a.Định nghĩa: Cho Ø ≠ X. do D ⊂ C, vì vậy C= D.Như thế, C là lớn nhất t c là C là một thành phần liên thông c a X .C u a đã đư c chứng minh xong. b. Cho 1 2 ,C C là c c thành phần liên thông c a X, 1 2 C C ≠ .Và giả. 2 C C ∩ = 0 x .Theo bổ trên phía trư c thì 1 2 C C ∪ là liên thông. Do 1 2 ,C C là c c thành phần liên thông, cho 1 C = 1 2 C C ∪ = 2 C ( mâu thuẫn với gt 1 2 C C ≠ ). Vậy nên 1 2 C