hàm biến phức: Không gian metric và không gian liên thông trên C

Bài 2: TẬP LIÊN THÔNG 1.Định nghĩa không gian liên thông: a.Định nghĩa:  Không gian metric X,d được gọi là liên thông nếu trong X chỉ có tập X và tập Ø là hai tập con vừa mở vừa đóng..

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN METRIC VÀ KHÔNG GIAN

LIÊN THÔNG TRÊN 

Bài 1: Định nghĩa và một số ví dụ về không gian metric

1.Định nghĩa không gian metric:

a.Định nghĩa:

Khi đó (X,d) được gọi là một không gian metric với metric d nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) d(z,w)  0  z,w  

d(z,w) = 0  z = w  z,w  

ii) d(z,w) = d(w,z)  z,w  

iii) d(z,w)  d(z,u) + d(u,w)  z,u,w  .

Cho z  X , r > 0 khi đó

B(z,r) = { w  X : d(z,w) < r } được gọi là hình tròn mở tâm tại z, bán kính r.

B z r ( , )= { w  X : d(z,w)  r } được gọi là hình tròn đóng tâm tại z, bán kính

r

b Ví dụ:

1 (, d) là một không gian metric với metric d được xác định bởi

(z,w)  d(z,w) = z  w CM: Đặt z = a + ib   (a,b )

w = c + id   (c,d  )

+ Ta có: d(z,w) = z  w = (a c )2(b d )2  0  z,w  

Và d(z,w) = 0  (a c )2 (b d )2 = 0 

2 2

a c a c

b d

b d









 a + ib = c + id  z = w  z,w  

+d(z,w) = z  w = (a c )2(b d )2 = (c a )2(d b )2

= w z = d(z,w)  z,w  

+ Đặt u = e + if   (e,f  )

Ta có : d(z,w) = z  w = z u u   w  z u  u w = d(z,u) + d(u,w)

 d(z,w)  d(z,u) + d(u,w)  z,u,w  .

Vậy (, d) là một không gian metric

2 Cho (Y,d) là một không gian metric và X Y   Khi đó, (X,d) cũng là một không gian metric

3.Cho X=  và metric d( x+iy, a+ib) = max  x a y b ,  

Khi đó, (,d) là 1 không gian metric

2.Định nghĩa tập mở, tập đóng trong :

a.Định nghĩa:

Tập mở : Tập A được gọi tập mở nếu với mọi a A, tồn tại r > 0 sao cho B(z,r)

Ví dụ : B(z,r) = { w  : d(z,w) < r } là tập mở trong 

Tập đóng: Tập B được gọi tập đóng nếu \ B là tập mở

Ví dụ : B z r ( , )= { w  : d(z,w)  r } là tập đóng trong 

Chú ý: Tập ,và tập Ø là tập vừa đóng vừa mở

b.Định lý:

Chứng minh:

Cho A1

, A2

, A3

…… , An

,… là các tập con trong  Giả sử Ai

là tập mở (1 i n  )

n

i i

A





Cho a  A là điểm tùy ý.

 a iA i i 1,n

Vì Ai

là tập mở nên  ri

>0 : B a r ( , )i  Ai

 i1,n

Đặt r = 1,

min i

i n

r

 > 0

 B(a,r)  Ai

 i 1,n

 B(a,r)  1

n i i

A





= A

 A là tập mở

Vậy giao của số hữu hạn các tập mở là tập mở

 \ 1

n

i

i

A





là tập đóng

 1,

( \ )

n

i

i n

A







là tập đóng

Vậy hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng

 a  Ai 

a  1

i i A







Vì Ai

là tập mở   r >0 : B a r ( , )  Ai  i

( , ) i

i

B a r  A





 1

i i A







là tập mở

Vậy hợp vô hạn các tập mở là tập mở

 \ 1

i

i

A







là tập đóng

 1

( \ )i

i

A









là tập đóng

Vậy giao vô hạn các tập đóng là tập đóng

3 Định nghĩa phần trong, bao đóng, biên của 1 tập hợp:

Phần trong của A là tập mở lớn nhất nằm trong A

Kí hiệu : Int A ( hoặc

0

A)

Bao đóng của tập A là tập đóng bé nhất chứa A.

Kí hiệu : cl A ( hoặc A)

cl A =  {F: F là tập đóng và F  A}

Biên của tập A kí hiệu A, là tập được định nghĩa A =

0

là 1 tập đóng

Bài 2: TẬP LIÊN THÔNG

1.Định nghĩa không gian liên thông:

a.Định nghĩa:

 Không gian metric (X,d) được gọi là liên thông nếu trong X chỉ có tập X và tập Ø là hai tập con vừa mở vừa đóng

 Tập A  X được gọi là tập liên thông nếu (A,d) là một không gian liên thông

b.Ví dụ:

1 Quả cầu mở B(z,r) là tập liên thông ( với z   và r>0)

2.(a,b); (a,b]; [a,b).[a,b] đều là các tập liên thông

Chứng minh : X= [a,b] là một tập liên thông.(a, b là các phần tử thuộc ).

không phải là tập đóng.Do đó, X là không gian liên thông

Do A là tập mở và a  A nên tồn tại một > 0 sao cho [ a , a + )  A

Cho r = sup {  : [ a , a +  )  A}

Khi đó, [ a , a + r)  A

Thật vậy, nếu a  x < a+ r ta đặt h = a +r –x >0, thì theo định nghĩa của cận trên đúng sẽ tồn tại một  với r – h <  < r và [a , a +  )  A

Nhưng a  x = a + (r – h) < a + điều này có nghĩa là x  A và [ a , a + r)  A Tuy nhiên, a + r  A, vì nếu ngược lại a + r A thì do A là tập mở nên có một

 > 0 để [a + r, a + r + ) A.Suy ra [a, a+ r +) A, lại mâu thuẫn với đinh nghĩa r.Vậy [a ,a + r)  A và a + r  A

Nếu A cũng là tập đóng thì a + r B = X \ A là tập mở.Do đó ta có thể tìm được một > 0 sao cho (a + r -  ,a + r] B.Mâu thuẫn với yêu cầu [ a , a + r)  A

Dó đó A không là tập đóng.Vậy X là tập liên thông

Chứng minh (a,b); (a,b]; [a,b) là tập liên thông: làm tượng tự như chứng minh trên

Ghi chú :

* Cho z, w  .Khi đó, đoạn thẳng đi từ z đến w được định nghĩa như sau:

[z,w] = {tw + (1- t)z : 0  t 1}

* Một đường gấp khúc đi từ a đến b là 1 tập P = 1

[z ,w ]

n

k k

k 



trong đó z1

= a, wn

= b và w k

= z k1

với 1  k  n – 1; hoặc P = [a, z1

, b]

2.Định lí:

Cho G là tập mở nằm trong Khi đó, G là tập liên thông nếu và chỉ nếu với 2 điểm bất kì a,b trong G đều có thể nối với nhau bởi 1 đường gấp khúc nằm hoàn toàn trong G

Chứng minh:

Giả sử G thỏa mãn các điều kiện trong định lý trên nhưng G không phải là 1 tập liên thông

Khi đó G = A B với A, B là các tập vừa đóng , vừa mở; A B = Ø và A và B đều khác rỗng

Lấy a A, b  B thì theo giả thiết tồn tại một đường gấp khúc P nối 2 điểm a ; b

và P G

Ta có thể xem P = [a,b]

Đặt S = {s [0,1]: sb+(1-s)a A }

T = {t [0,1]: tb+(1-t)a B }

Khi đó, S T = Ø, S T = [0,1], 0 S và 1 T

Vì S và T đều là tập mở nên suy ra S T cũng là tập mở nhưng [0,1] là 1 tập liên thông(mâu thuẫn) Điều ta giả sử là sai.Do đó G là tập liên thông

Ngược lại, Giả sử G là tập liên thông.Trên G lấy 1 điểm a

Đặt A = {b  G : có một đường gấp khúc P G nối 2 điểm a, b}

Khi đó A là tập vừa đóng vừa mở trong G

Do a  A và G là tập liên thông nên A = G.

Định lí đã được chứng minh

3 Định nghĩa về thành phần liên thông:

Một tập con D của không gian metric X được gọi là một thành phần liên thông của

X nếu D là tập liên thông lớn nhất của X

4.Bổ đề:

Cho x0 X và {D :j J}j  là tập hợp tất các tập liên thông của X sao cho x0 D j với mỗi j J.Khi đó, D = {D : j J}j  là tập liên thông

Chứng minh:

Cho A là 1 tập con của không gian metric (D,d) với A là tập vừa đóng vừa mở và

A  Ø Khi đó, A D j là tập mở trong (D j,d) với mỗi j và nó cũng là một tập đóng

Do D j là tập liên thông nên A D j= Ø hoặc A D j= D j.Do A  Ø nên có ít nhất một số k sao cho A D k  Ø do đó A D k= D k

Đặc biêt, x0 A nên x0 A D j với mỗi j.Như thế A D j= D j A với j là chỉ số Cho D = A.Vậy D là liên thông

5.Mệnh đề :

Cho (X,d) là không gian metric.Khi đó:

a Với mỗi x0X , x0 bị chứa trong 1 thành phần liên thông của X

b.Các thành phần liên thông của X là rời nhau

Chứng minh:

a Cho  là tập tất cả các tập con liên thông của X và chứa điểm x0 Ngoài ra

ta cần chú ý rằng { }x 0  nên  Ø và giả thiết của bổ đề phía trước cũng

áp dụng cho tập 

Do đó C = {D:D } là tập liên thông và x 0 C.

Bây giờ ta sẽ chứng minh C phải là một thành phần liên thông

Thật vậy, nếu D là liên thông và C D thì x 0 D nên D .Nhưng do D

C, vì vậy C=D.Như thế, C là lớn nhất tức là C là một thành phần liên thông của X.Câu a đã được chứng minh xong

b Cho C C1 , 2

là các thành phần liên thông của X, C1 C2

.Và giả sử rằng

1 2

C C = x0

.Theo bổ trên phía trước thì C1 C2là liên thông.Do C C1 , 2

là các thành phần liên thông, cho C1

= C1 C2

= C2

( mâu thuẫn với gt C1 C2

) Vậy nên C1 C2 = Ø tức là các thành phần liên thông của x là rời nhau

6 Định lí:

Cho G là tập mở trong .Khi đó , các thành phần liên thông của G là tập mở và số các thành phần liên thông là đếm được

Chứng minh:

Cho C là một thành phần liên thông của G và cho x0 C

Do G là tập mở nên với   0 thì B x( , ) 0  G.Mà B x ( , ) 0 là tập liên thông nên

0

( , )

B x  C (do C là thành phần liên thông)

Vậy nên C là tập mở

Ta nhận thấy số các thành phần liên thông là đếm được

Thật vây, cho S = {a+ib: a,b  và a+ibG} Khi đó, S là đếm được và với mỗi thành phần liên thông của G sẽ chứa một điểm của S

Vậy nên số các thành phần liên thông là đếm được