một số bài tập môn hàm biến phức

Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức I.BÀI TẬP TRONG VỞ THẦY CHƯA GIẢI Bài 1. CMR : ,a b C ∀ ∈ ta có a. . a b a b e e e + = b. 0 a e ≠ c. 1 a a e e − = d. Rez z e e = và arg Im z e z= Giải: a.Đặt ( ) . , z b z g z e e z C − = ∀ ∈ / / / ( ) ( ) .( ) ( ).( ) z b z z b z g z e e e e − − ⇒ = + / . .( ) z b z z b z e e e e − − = + Mà / / ( ) . b z u b z e e u e − − = = − (với u=b-z) (theo công thức đạo hàm hàm hợp) / / / ( ) ( ) .( ) ( ).( ) 0 z b z z b z g z e e e e − − ⇒ = − = , z C∀ ∈ ( ) onsg z c t⇒ = ( ) ( )g a g b⇒ − = . a b a b e e e − + ⇒ = . a b a b e e e + ⇒ = , z C ∀ ∈ b. Đặt a = x +yi, , ,x y R ∀ ∈ . a x yi x yi e e e e + ⇒ = = Ta có: 0 x e x R≠ ∀ ∈ và 0 y e y R≠ ∀ ∈ 0, a e a C⇒ ≠ ∀ ∈ SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 1 Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức c. Ta có: 0 1 , . a a a a a a e e e a C e e e e − − = = = ∀ ∈ d. Đặt z = x+ yi, , ,x y R ∀ ∈ Khi đó, . (cos isin ) z x iy x e e e e y y= = + Rez x z e e e⇒ = = và arg Im z e y z= = Câu 2: Cho z= x+iy, f(z)= 2 2 2x y xyi+ + .Tìm các điểm mà tại đó f(z ) có đạo hàm? Giải: Ta có: u(x,y)= 2 2 x y+ và v(x,y)= 2xyi / / / / 2 ; 2 ; 2 ; 2 x y x y u x u y v y v x= = = = Giả sử f có đạo hàm tại điểm z = x+ iy.Khi đó ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u v x y x y x y u v x y x y y x ∂ ∂  =  ∂ ∂   ∂ ∂  = −  ∂ ∂  2 2 2 2 x x y y =  ⇔  = −  0 x y ∀  ⇔  =  Nếu f có đạo hàm thì nó có đạo hàm tại z=x Tại z=x 2 ( )f z x⇒ = .Hàm này có đạo hàm tại mọi điểm z thuộc C. SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 2 Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức Vậy tại z=x thì hàm số trên có đạo hàm. Bài 3: CMR 2 1 sin , 2 1 zt L e dz t i z π = + ∫ với t>0 và L: 3z = Giải: Ta nhận thấy ( ,1) (0,3)B i B⊂ và ( ,1) (0,3)B i B− ⊂ Khi đó, hàm 2 1 zt e z + là hàm giải tích trên miền (0,3) \ ( ( ,1) ( ,1))A B B i B i = ∪ − ⇒ 2 0 1 zt A e dz z ∂ = + ∫ .Do đó, 2 2 2 (0,3) ( ,1) ( ,1) 1 1 1 zt zt zt B B i B i e e e dz dz dz z z z ∂ ∂ ∂ − = + + + + ∫ ∫ ∫ Ta có: 2 ( ,1) 1 zt B i e dz z ∂ + ∫ = ( ,1) ( )( ) zt B i e dz z i z i ∂ − + ∫ = ( ,1) ( ) ( ) B i f z dz z i ∂ − ∫ với ( ) ( ) zt e f z z i = + Vì f(z) là hàm giải tích trên ( ,1)B i nên theo công thức Cauchy ta được 2 ( ,1) 1 zt B i e dz z ∂ + ∫ = 2 ( ) 2 2 it it e if i i e i π π π = = Lại có 2 ( ,1) 1 zt B i e dz z ∂ − + ∫ = ( ,1) ( )( ) zt B i e dz z i z i ∂ − − + ∫ = ( ,1) ( ) ( ) B i f z dz z i ∂ − + ∫ SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 3 Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức với ( ) ( ) zt e f z z i = − Vì f(z) là hàm giải tích trên ( ,1)B i− nên theo công thức Cauchy ta được 2 ( ,1) 1 zt B i e dz z ∂ − + ∫ = 2 ( ) 2 ( 2 ) it it e if i i e i π π π − − − = = − − Suy ra 2 2 2 (0,3) ( ,1) ( ,1) 1 1 1 zt zt zt B B i B i e e e dz dz dz z z z ∂ ∂ ∂ − = + + + + ∫ ∫ ∫ = it e π + it e π − − = [(cos isin ) (cos isin )]t t t t π + − − = 2 sini t π ⇒ 2 1 sin , 0 2 1 zt L e dz t t i z π = > + ∫ (đpcm) Bài 4: Tính I = 2 4 ( 1) z L e dz z + ∫ với L là đường cong kín tùy ý không chứa điểm -1. Giải: Vì L là đường cong kín tùy ý không chứa điểm -1 nên nên hàm 4 ( ) ( 1) zt e f z z = + là hàm giải tích xác định trên miền bị giới hạn bởi đường L. SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 4 Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức Vì vậy 2 4 ( 1) z L e dz z + ∫ =0. Bài 5: Tính I = 2 4 ( 1) z L e dz z + ∫ với L : 3z = Giải: Ta có 2 2 4 4 ( ) , ( ) ( 1) ( 1) z z e f z f z e z z = = + + Vì f(z)= 2z e là hàm giải tích trên (0,3)B nên theo công thứctính đạo hàm cấp cao của hàm giải tích ta được 2 4 ( 1) z L e dz z + ∫ = (3) 2 ( 1) 3! i f π − = 1 2 (8 ) 3! i e π − = 8 3 i e π Vậy 2 4 ( 1) z L e dz z + ∫ = 8 3 i e π Bài 6: Tính I= 2 2 sin os ( 1)( 2) L z c z dz z z π π + − − ∫ với L là đường cong kín không đi qua điểm 1 và 2. Giải:Gọi D là miền bị giới hạn bởi đường cong kín L Th1:Miền D không chứa điểm 1 và 2 Khi đó hàm 2 2 sin os ( 1)( 2) z c z z z π π + − − là hàm giải tích trên D.Do vậy SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 5 Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức I = 2 2 sin os 0 ( 1)( 2) L z c z dz z z π π + = − − ∫ Th2: Miền D chứa điểm 1 mà không chứa 2. Trong miền D,ta vẽ 1 hình tròn tâm là 1 bán kính là ε đủ bé ( 0) ε > sao cho (1, )B ε nằm hoàn toàn trong D Khi đó hàm 2 2 sin os ( 1)( 2) z c z z z π π + − − là hàm giải tích trên miền \ (1, )A D B ε = . 2 2 sin os 0. ( 1)( 2) A z c z dz z z π π ∂ + ⇒ = − − ∫ Do đó 2 2 sin os ( 1)( 2) L z c z dz z z π π + − − ∫ = 2 2 (1, ) sin os ( 1)( 2) B z c z dz z z ε π π ∂ + = − − ∫ (1, ) ( ) ( 1) B f z dz z ε ∂ − ∫ với 2 2 sin os ( ) 2 z c z f z z π π + = − Vì hàm 2 2 sin os ( ) 2 z c z f z z π π + = − là hàm giải tích trên (1, )B ε nên áp dụng công thức Cauchy ta được I = 2 (1)if π = 2 (sin os )i c π π π − + = 2 i π Th3: Miền D chứa điểm 2 mà không chứa 1. SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 6 Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức Trong miền D,ta vẽ 1 hình tròn tâm là 2 bán kính là ε đủ bé ( 0) ε > sao cho (2, )B ε nằm hoàn toàn trong D Khi đó hàm 2 2 sin os ( ) ( 1)( 2) z c z f z z z π π + = − − là hàm giải tích trên miền \ (2, )A D B ε = 2 2 sin os 0 ( 1)( 2) A z c z dz z z π π ∂ + ⇒ = − − ∫ Do đó 2 2 sin os ( 1)( 2) L z c z dz z z π π + − − ∫ = 2 2 (2, ) sin os ( 1)( 2) B z c z dz z z ε π π ∂ + = − − ∫ (2, ) ( ) ( 2) B f z dz z ε ∂ − ∫ với 2 2 sin os ( ) 1 z c z f z z π π + = − Vì hàm 2 2 sin os ( ) 1 z c z f z z π π + = − là hàm giải tích trên (2, )B ε nên áp dụng công thức Cauchy ta được I = 2 (2)if π = 2 (sin 4 os4 )i c π π π + = 2 i π Th4: Miền D chứa cả hai điểm 1 và 2. Trong miền D,ta vẽ 2 hình tròn (2, ), (1, )B B ε ε với ε đủ bé ( 0) ε > sao cho cả hai hình tròn này đều nằm hoàn toàn trong D SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 7 Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức Khi đó 2 2 sin os ( 1)( 2) z c z z z π π + − − giải tích trên miền \ ( (2, ) (1, ))A C B B ε ε = ∪ 2 2 sin os 0 ( 1)( 2) A z c z dz z z π π ∂ + ⇒ = − − ∫ Áp dụng công thức Cauchy cho miền đa liên D ta được 2 2 sin os ( 1)( 2) L z c z dz z z π π + − − ∫ = 2 2 (1, ) sin os ( 1)( 2) B z c z dz z z ε π π ∂ + + − − ∫ 2 2 (2, ) sin os ( 1)( 2) B z c z dz z z ε π π ∂ + − − ∫ = 2 2 4i i i π π π + = Bài 7: Tính 2 2 (3 ) L I xy iy dz= + ∫ với z x iy = + a. L là đường thẳng nối 2 điểm z i = và 2z i= − b. L là đường cong 2 2 2 1 x t y i t = −   = + −  nối 2 điểm z i = và 2z i= − Giải: a. 1 L là đường thẳng nối 2 điểm z i = và 2z i= − Phương trình đường thẳng 1 L là SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 8 Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức 2 1 2 x t y t =   = −  với 0 1t ≤ ≤ ( ) 2 (1 2 )z t t i t⇒ = + − / ( ) 2 2z t i⇒ = − Khi đó 1 2 2 (3 ) L I xy iy dz= + ∫ 1 2 2 2 0 [6 12 (1 4 4 )] .[2-2i]dtt t i t t= − + − + ∫ 1 4 3 2 0 (64 64 120 40 2)t t t t dt= + − + − ∫ 1 4 3 2 0 ( 448 512 168 8 2)i t t t t dt+ − + − + + ∫ 448 512 168 8 ( 2) 5 4 3 2 i − + + − + + 64 64 120 40 2 5 4 3 2 = + − + − 34 58 5 i − = b. 2 L là đường cong 2 2 2 1 x t y i t = −   = + −  nối 2 điểm z i = và 2z i= − Ta nhận thấy 2 2 (3 )f xy iy= + là hàm giải tích trên C và 1 2 ,L L là những đường cong trơn trong C cùng nối 2 điểm z i = và 2z i= − nên 2 1 2 2 2 2 (3 ) (3 ) L L I xy iy dz xy iy dz = + = + ∫ ∫ 34 58 5 i− = SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 9 Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức Bài 8: Cho ( sin cos ) x u e x y y y − = − a.CMR u là hàm điều hòa trên miền D thích hợp b.Tìm hàm giải !ch f=u+iv trên D Giải: Ta có: + / / ( sin cos ) x x x x u e x y e y y − − = − = (sin )( ) cos x x x y e x e e y y − − − − + + 2 // (sin )( 2 ) cos x x x x u y e x e e y y − − − ⇒ = − − [(sin )( 2) cos ] x e y x y y − = − − [ sin 2sin cos ] x e x y y y y − = − − (1) + / / ( sin cos ) ( cos cos ysin ) x x y u e x y y y e x y y y − − = − = − + ( sin 2sin cos ) x e x y y y y − = − + + 2 // ( sin sin sin cos ) x y u e x y y y y y − ⇒ = − + + + (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 2 // // 0 x y u u+ = .Vậy u là hàm điều hòa. b. Bây giờ ta cần tìm hàm v(x,y) Vì u,v thỏa mãn điều kiện Cauchy-Rieman nên / / / / x y y x u v u v  =   = −   / / / / (sin )( ) cos ( cos cos ysin ) x x x y x x x y v u y e x e e y y v u e x y y y − − − −  = = − + +  ⇒  = − = − − +   Do đó SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 10 [...]... = y 2 + C Suy ra f = u + iv = 2 xy + 3 + i ( y 2 + C ) Vậy MỘT SỐ BÀI TẬP KHÁC sin z dz z +i L I =∫ Bài 1: Tính L = {z: z + i =3} với Giải: Ta có: sin z f ( z) dz = ∫ dz z +i z +i L L I =∫ Vì hàm ta được f ( z ) = sin z là hàm giải tích trên SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST B (−i,3) Page 20 nên áp dụng công thức Cauchy Bài tập nhỏ môn Hàm biến phức 2 2π if (−i) I= = 2 ei − e − i 1 −2π i (sin i ) = −2π... Thu Hà lớp 10ST Page 21 Bài tập nhỏ môn Hàm biến phức I= 2π i (2) f (a) = π ie a (2 + a ) 2! I= 1 ∫=1 ( z + 1)( z − 1)3 dz z −1 Bài 4: Tính Giải:Ta có 1 f ( z) 1 = , f ( z) = 3 3 ( z + 1)( z − 1) ( z − 1) z +1 f ( z) = 1 z +1 Vì hàm là hàm giải tích trên hàm cấp cao của hàm giải tích ta được I= nên áp dụng công thức tính đạo 2π i (2) 2 iπ f (1) = iπ = 2! (1 + 1)3 4 I= ∫ z −i =1 Bài 5: B(1,1) cos z dz... Vì hàm f(z) là hàm giải tích trên cao của hàm giải tích ta được SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST nên áp dụng công thức tính đạo hàm cấp Page 22 Bài tập nhỏ môn Hàm biến phức 2 2 2π i (2) ei + e − i −π i 1 I= f (i ) = −iπ cos(i ) = −iπ = (e + ) 2! 2 2 e I= Bài 6:Tính D: z < a ∫ ∂D ez dz z (1 − z )3 1 2 D : z −1 < b 1 2 D: z < c 3 2 Giải: a.Ta có ez f (z) −e z = , f ( z) = z (1 − z )3 z ( z − 1)3 Vì hàm. .. x, y ) = y + C Suy ra f = u + iv = 2 x 2 − 2 y 2 + i ( y + C ) Vậy c Đầu tiên ta kiểm tra hàm u là hàm điều hòa.Ta có: // / u x = 2 y ⇒ u x2 = 0 // / u y = 2 x ⇒ u y2 = 0 / / ⇒ u y/2 + u x/2 = 0 Vậy hàm u(x,y) là hàm điều hòa Ta cần tìm hàm v(x,y) SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 19 Bài tập nhỏ môn Hàm biến phức Vì u,v thỏa mãn điều kiên Cauchy-Rieman nên / / vx = −u y = −2 x  ⇒ / / v y = u x... C Hàm f cần tìm là: f = u + iv = e − x ( x sin y − y cos y ) +i[(e− x x − e− x ) cos y + e − x ( y sin y + cos y ) + C ] cosz dz zn L I =∫ Bài 9: Tính z =2 với L: Giải: cosz f ( z) dz = ∫ dz zn ( z − 0) n L L I =∫ với f ( z ) = cos z SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 11 Bài tập nhỏ môn Hàm biến phức B(0, 2) Vì f(z) là hàm giải tích trên của hàm giải tích ta được nên áp dụng công thức tính đạo hàm. .. b u ( x, y ) = 2 x 2 − 2 y 2 + x u ( x, y ) = 2 xy + 3 Giải: a.Đầu tiên ta kiểm tra hàm u là hàm điều hòa.Ta có: // / u x = 3x 2 − 3 y 2 ⇒ u x2 = 6 x // / u y = −6 xy ⇒ u y 2 = −6 x SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 17 Bài tập nhỏ môn Hàm biến phức / / ⇒ u y/2 + u x/2 = 0 Vậy hàm u(x,y) là hàm điều hòa Ta cần tìm hàm v(x,y) Vì u,v thỏa mãn điều kiên Cauchy-Rieman nên / / vx = −u y = 6 xy  ⇒ /... + C Suy ra f = u + iv = x 3 − 3xy 2 + i (3x 2 y + − y 3 + C ) Vậy b Đầu tiên ta kiểm tra hàm u là hàm điều hòa.Ta có: // / u x = 4 x + 1 ⇒ u x2 = 4 // / u y = −4 y ⇒ u y 2 = −4 / / ⇒ u y/2 + u x/2 = 0 SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 18 Bài tập nhỏ môn Hàm biến phức Vậy hàm u(x,y) là hàm điều hòa Ta cần tìm hàm v(x,y) Vì u,v thỏa mãn điều kiên Cauchy-Rieman nên / / vx = −u y = 4 y  ⇒ / / v y... z (1 − z )3 z ( z − 1)3 Vì hàm f(z) là hàm giải tích trên 1 B(0, ) 2 nên áp dụng công thức Cauchy ta được I = 2π if (0) = 2iπ b.Ta có ez f ( z) −e z = , f ( z) = z (1 − z )3 ( z − 1)3 z Vì hàm f(z) là hàm giải tích trên cao của hàm giải tích ta được 1 B(1, ) 2 SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST nên áp dụng công thức tính đạo hàm cấp Page 23 Bài tập nhỏ môn Hàm biến phức 2π i (2) 2e z − z 2e z − 2 ze z I=... (−iπ e) = π i(2 − e) = I= ∫ z =r 1 dz , ( a < r < b ), n = 1, 2, ( z − a ) n ( z − b) Bài 7:Tính Giải:Ta có SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 24 Bài tập nhỏ môn Hàm biến phức 1 f ( z) 1 = ; f (z) = ( z − a ) n ( z − b) ( z − a ) n z −b B (0, r ), ( a < r < b ) Vì hàm f(z)là hàm giải tích trên đạo hàm cấp cao của hàm giải tích ta được I= 2π i f ( n −1) ( z ) z = a (n − 1)! f ( n −1) ( z ) = (−1)( n... là số chẵn (tức n=4k hoặc n=4k+2) thì I = 0 I= 2π i (n − 1)! I= −2π i (n − 1)! Nếu n = 4k+1 thì Nếu n = 4k+3thì II.BÀI TẬP TRONG QUYỂN: ‘BÀI GIẢNG HÀM BIẾN PHỨC’ (TÁC GIẢ:BÙI TUẤN KHANG – ĐHSPĐN) Bài 1:Tính các tích phân sau:(trang 58) ∫ e dz z a, L với L là đường cong parabol y = x3 ∫ tan zdz b, L ,1 ≤ y3 với L là đường cong parabol x = SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 12 ≤ x ,0 ≤ 2 y ≤ Bài tập . đạo hàm thì nó có đạo hàm tại z=x Tại z=x 2 ( )f z x⇒ = .Hàm này có đạo hàm tại mọi điểm z thuộc C. SV: Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 2 Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức Vậy tại z=x thì hàm số. Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức I.BÀI TẬP TRONG VỞ THẦY CHƯA GIẢI Bài 1. CMR : ,a b C ∀ ∈ ta có a. . a b a b e e e + = b. 0 a e. Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST Page 9 Bài t ập nhỏ môn Hàm biến phức Bài 8: Cho ( sin cos ) x u e x y y y − = − a.CMR u là hàm điều hòa trên miền D thích hợp b.Tìm hàm giải !ch f=u+iv trên D Giải: Ta