Mot so bai tap ve ham so va do thi.doc

Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơngứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập vềhàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu tro

Phần I

Đặt vấn đề

Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiềulĩnh vực khác nhau Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việccải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài ngời ngàymột tốt đẹp hơn

Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoahọc phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triểncác phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống trithức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phầncải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc chomọi ngời

Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại

số đó là “Số” và “Hàm số” Khái niệm ”Hàm số” xuyên suốt chơng trìnhmôn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm củamôn đại số Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơngứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập vềhàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳthi Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lạikhông nhiều, nên kết quả của học sinh không cao

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu về tâm lý của

đối tợng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất

lúng túng chính vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: “Một số dạng

bài tập về hàm số và đồ thị”

Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa

ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan

Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với

đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các

em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng,chính xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú Hàm số còn đợc coi làcông cụ giải quyết một số bài toán khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giảibất phơng trình, sau đây là nội dung đề tài

Phần II

Nội dung đề tài

Chơng I: Lý thuyết cơ bản

Để là tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trớc hết chúng ta và học sinhcần nắm vững khái niệm hàm số

Ký hiệu: f: X →Y

x a y = f(x)

Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f

Y là tập đích của ánh xạ fPhần tử y = f(x) ∈ Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f

Là một toàn ánh vì phơng trình 2x = y luôn có nghiệm x =

Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho

t-ơng ứng mỗi giá trị x ∈ X một và chỉ một giá trị y ∈ Y mà kí hiệu là y = f(x).Ngời ta viết: f: X →Y

đợc gọi là hàm số của x và x gọi là biến số”

* Chú ý: Nh vậy hàm số dù đợc định nghĩa bằng cách nào cũng đều có

những thuộc tính bản chất:

+ X và T là tập hai số

+ Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x ∈ X đều xác đinh duy nhất một số y∈

Y

+ Biến thiên: x và y là các đại lợng nhận giá trị biến đổi

+ Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biến thiênphụ thuộc

b Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)

- Đồ thị của hàm số y= f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ

có toạ độ (x; f(x)) với x ∈ X

- Chú ý:

+ Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngợc lại

+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và

điểm E(1; a)

+ a > 0 Hàm số đồng biến trong (

2

b a

− là trực đối xứng

Chơng II: Một số dạng bài tậpDạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x ∈ −[ 1;1] là y ∈ − −[ 7; 3]

+ Ví dụ 2 : tìm miền giá trị của hàm số y = x− + − 6 7 x

Giải

áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

x− + − ≥ − + − = ⇒ ≥x x x y

Vậy miền giá trị của hàm số y = x− + − 6 7 x với x∈ R là y∈ R, y≥1

+ Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x ∈[ ]2;3

Giải

Hàm số y = x2 – 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x≥1

Vậy với x ∈[ ]2;3 ta có y(2) ≤y(3) ⇒ 3 ≤ ≤y 6

VËy miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = x2 – 2x + 3 víi x ∈[ ]2;3 lµ [ ]3;6

+ VÝ dô 4: T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = x2 –4

øng dông 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt c¶u hµm sè;

VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña y = 2x – x2 – 4

x x

x x

+ + + + (1)

+ ta cã VT = 6x – x2 – 2 = 7 – (x – 3) 2 ≤ 7 dÊu = x¶y ra khi vµ chØkhi x=3

VP = x− + − + 1 x 2 2x− + 3 4x− 13 ≥ 7 dÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi

b x− + 2 4 − =x x2 − 6x+ 11

Dạng III: Xác định công thức hàm số

1/ Khi biết tính chất đồ thị hàm số

Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1-1 nên ta sẽ xác định đợccông thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng

a Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d



Vì d vuông góc với d’ nên aa1 = -1 ⇒a = 2 ⇒ b = -1

Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x – 1

d Đồ thị qua điểm A(x 1 ; y 1 ) và tiếp xúc với

Parabol (P): y = a”x 2 + b”x + c” (a” ≠ 0)

Giải

Vì A(1; 1) ∈ d nên ax1 + b = y1 (1)

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a’x2 + b’x+c’ nên phơng trình hoành

độ giao điểm : ax + b = a’x2 + b’x+c’ có nghiệm kép

 a’x2 + (b’ – a)x = c’ – b = 0 có nghiệm kép

 ∆ = (b’ – a)2 – 4a’(c’ – b) = 0 (2)Giải hệ hai phơng trình (1) và (2) để tìm a và b Kết luận công thức hàmsố

Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm

A(1;2)∈ d nên –a + b = 2 (1)

Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x2+1 nên phơng trình hoành độ giao

điểm : ax+b=x2+1 có nghiệm kép

III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)

a Đi qua 3 điểm phân biệt A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ), C(x 3 ,y 3 )

b ac y

Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x – 2 nên phơng trình hoành độ

Bài 1: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = 2x – 1

a/ Viết phơng trình đờng thẳng song song với d và đi qua gốc toạ độ.b/ Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng d và đi qua

nằm trên đờng thẳng d: y = 2x +1

b/ Với a, b vừa tìm đợc vẽ Parabol (P) và đờng thẳng d trên cùng mộtmặt phẳng toạ độ

III.2 Xác định công thức hàm số khi biết phơng trình hàm:

Ví dụ1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+1

b/ Đồ Thị Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) là một đờng thẳng.

Cách vẽ:

- Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số

Chẳng hạn A(0, b) và B(-b

a; 0)

- Vẽ đờng thẳng đi qua A và B

c/ Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax 2 + bx + c (a ≠0) là Parabol (P) có:

2 4

b

a a

−∆

+ Trục đối xứng: x

=-2

b a

+ bề lõm quay lên trên khi a>0 ; bề lõm quay xuống dới khi a<0

d/ Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối: y

x với x≥0

Chẳng hạn: y = x =

-x với x≤0

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác

của các góc vuông I và II (hình 1d) 0 x

hình 1d e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y = [ ]x trong đó [ ]x là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vợt quá x + Đồ thị hàm số y = [ ]x với − ≤ < 1 x 3 có dạng bậc thang nh (hình 1e) -1 với − ≤ < 1 x 0 y = 0 với 0 ≤ <x 1 3

1 với 1 ≤ <x 2 2

2 với 2 ≤ <x 3 1

-1

0 1 2 3

-1

f/ Nhận xét:

+ Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung

+ Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận truc tung làm trục đối xứng Vì vậy khi vẽ chỉ cần:

• Vẽ đồ thị y = f(x) với x≥0

• Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung

y

x

+ y = x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thịhàm số mà chỉ vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ.

Nhận xét: Đồ Thị Hàm số là Parabol (P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua

đờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên

y …3 1 -3…

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y=− +x2 2 x +2

Ta có y=

2 2

y

y

x0

-2 -1

1

0 -1

Nhận xét : đồ thị hàm số y = -x2 + 2 x + 2 nhận trục tung làm trục đốixứng

3/ ứng dụng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Nhận xét: Điểm thấp nhất( cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ

nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất)Vì vậy khi tìmgiá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị của hàm số rôi tìm

điểm cao nhất( thấp nhất của đồ thị

Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất cua hàm số y = x− + − 1 x 2

và y = -x2+2x+2 với x<0

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 3 khi x = 1 hoặc x = -1

Ví dụ 3: Tìm giá lớn nhất của hàm số : y = - x2 - 2 x− 1 + 1

-1-2-9/4-4-5

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 0 khi x= 1

4/ Bài tập

Bài 1: Cho hàm số y = x2 − 4x+ + 4 4x2 + 4x+ + 1 ax

a.Xác định a để hàm số luôn đồng biến

b Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6) Vẽ đồ thị củahàm số với a vừa tìm đợc

 Vậy ví trí tơng đối giữa đppf thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc

vào số nghiệm của phơng trình ( )

Hai đồ thị cắt nhau ⇔phơng trình (3) có hai nghiệm phận biệt

Hai đồ thị tiếp xúc ⇔ Phơng trình (3) có nghiệm kép

(1)(2)

Hai đồ thị không cắt nhau ⇔phơng trình (3) vô nghiệm.

• Để biện luận vị trí tơng đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm củaphơng trình (3)

• Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phơng trình (3)tìm hoành độ x = x0 , dựa vào phơng trình (1) hoặc (2) để xác địnhtung độ tơng ứng y = y0

Ví dụ 1: cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) và d: y = (2m-3)x + 2

a Biện luận theo m vị trí tơng dối của hai đờng thẳng

+ không có giá trị nào của m đẻ d trùng với d1

b Tìm các giá trị của m để hai đờng thẳng vuông góc Xác định toạ độ

điểm chung trong từng trờng hợp

2x+ và d1: y=-2x+2 vuông góc với nhau

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

6 1

Ví dụ2: Biện luận theo m vị trí tơng đói của đồ thị các hàm số y = x 4x+m (P) và y= 2x+1 (d) Trong trờng hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc.

+ (P) tiếp xúc với (D) ⇔Phuơng trình (3) có nghiệm kép

⇔ ∆ = 9-m+1 = 0

⇔ m=10Với m= 10 phơng trình (3) trở thành x2 – 6x + 9 = 0 ⇔x=3

Thay vào (2) ta có y = 7

Vậy với m= 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điiểm A(3; 7)

+ (P) không giao với (d) ⇔Phơng trinhg (3) vô nghiệm

⇔ ∆ = 9-m+1 < 0

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị các hàm số y = x2 – 4x – 8 (P) và y=mx2 +(m+2)x + 8 (P’) có không quá một điểm chung

Vậy với m=1 (P) và (P’) cắt nhau tại một điểm

- Xét m ≠1 (P) và (P’) có không qua một điểm chung ⇔ ∆ ≤ 0

• Cách giải bài toán:

- Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1) bằng phơng pháp

đồ thị

- Vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C’) trên cùng mặtphẳng toạ độ

- Biện luận số nghiệm chung của â và (C’) => số nghiệm của phơngtrình

• Ví dụ:

Ví dụ 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x− + − = 1 x 2 m

Giải

+ Vẽ đồ thị hàm số y = x− + − 1 x 2 và y = m trên cùng một mặt phẳngtoạ độ

+ Theo đồ thị ta có

m < 1 phơng trình (1) vô nghiệm

m = 1 phơng trình (1) có vô số nghiệm : 1 ≤ ≤x 2

m > 1 phơng trình (1) cóa hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phơng trình sau có nghiệm duy nhất

321

0

1 2 3 xy

y = m

- Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔hai đồ thị có một điểm

4 2

-1 -4 -3 -2 -1 0 1 a

y=

y=

y

y=2k5

* y = 2k là đờng thẳng song song vơi Ox.

Khi đó phơng trình (x-1)2 = 2 x k− có 4 nghiệm phận biệt ⇔ (d) cắt (P1)

và (P2) tại 4 điểm phận biệt

Hớng dẫn: Các đờng thẳng x = a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi a.

Nên đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b

Vậy đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m≠0

b a

x

Vậy đờng thẳng y = -1 luôn tiếp xúc với (P): y = mx – 2mx+ (m-1)

a b c

+ Biến đổi (1) về phơng trình chính tắc ẩn m ( coi x0 ; y0 là tham số)

có nghiệm với mọi m suy ra các hệ số của phơng trình băng 0 (2)

Giải hệ điều kiện (2) tìm x0 ; y0

+ (Thử lại) kết luận điểm cố định

⇔Vậy đờng thẳng đi qua điểm M(-1;1) với ∀m.

Ví dụ3: Tìm điểm cố định mà Parabol (P): y=(m2 – m+2)x24m2+1 đi qua với mọi m

0 2

Dạng VII: Quỹ tích đại số

• Cơ sở lý thuyết

+ Điểm M(xM; yM) có toạ độ thoả mãn yM = f(xM) thì M thuộc đồ thịhàm số y = f(x)

+ Hàm số và đồ thị của nó tơng ứng là 1-1

1/ Cách giải bài toán:

Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m

Giải

+ Biểu diễn tạo độ của M theo tham số

+ Từ biểu thức xM; yM khử tham số m , biểu diễn yM = f(xM)

+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị của hàm số y = f(x)

Chú ý: Khi tham số m có điều kiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra

điều kiện của x để giới hạn quỹ tích

Phơng trình hoành độ x2 = mx - 1

4 ⇔4x2 – 4x + 1 = 0 (3)(P) cắt (d) cắt nhau tai hai điểm phận biệt ⇔phơng trình (3) có hai nghiệmphận biệt ⇔ ∆ = 4m2 − > ⇔ < − ∪ > 4 0 m 1 m 1

• Với m< − ∪ > 1 m 1 (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phận biệt A và B có

hoành độ xA, xB là nghiệm của phơng trình (3) nên xA + xB = m

Khi đó I là trung điểm của AB

1

1 1

2 2

1 1

4 4

B

x x

Giải

Hạ MH ⊥ d ta có H(x;-1)

( 1) ( 1) 2

Bài 1: Cho Parabol (P) y = x2 Gọi A và B là giao điểm của đờng thẳng y

= 2x + m với (P) Tìm quỹ tích trung điểm của AB khi m thay đổi

Bài 2: Cho Parabol (P) y = x2 Tìm tập hợp những điểm từ đó kẻ đợc haitiếp tuyến vuông góc đến (P)

Bài 3: Cho Parabol (P) y = x2 + 7x + 6 Tìm điểm M trên trục tung saocho Hai tiếp tuyến của (P) qua M cuông góc với nhau

Hớng dẫn:

+ M∈Oy nên M có toạ độ M(0;a)

+ Giả sử đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = kx +a là tiếp tuyến của(P) ⇔Phơng trình hoành độ x2 + (7 – k)x + (6 – a) = 0 (2) có nghiệmkép

a Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc.

b Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) vừa có , và tìm toạ độ tiếp điểm

c Gọi B là giao điểm của (d) ở câu 2 với trục tung C là điểm đối xứngcủa A qua trục tung Chứng tỏ rằng:

+ Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vuông cân

Bài 2: Cho Parabol (P): y = x2 – 4x + 3

a Chứng minh đờng thẳng y = 2x – 6 tiếp xúc với Parabol (P)

b Giải bằng đồ thị bất phơng trình: x2 – 4x + 3 > 2x – 4

Bài 3: Cho Parabol (P); y = 1

2x2, điểm I(0;2) và điểm M(m;0) với m ≠0

a Vẽ (P)

b Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua I và M

c Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệtA; B với m ≠0

1 Họi H và K là hình chiếu của Avà B trên trục hoành Chứng minhrằng tam giác IHK vuông cân

2 Chứng minh độ dài đoạn AB > 4 với m ≠0.

+ Viết phơng trình đờng thẳng (d’’) vuông góc với (d’) tại A Xác

định giao điểm của (d’’) với (d) để tìm B(4;1

2)+ Khoảng cách AB = 5

2 là lớn nhất

Bài 5: Cho Parabol (P) y = x2 và hai điểm A; B thuộc B có hoành độ xA= -1;

xB = 2 Tìm M thuộc Parabol có hoành độ x ∈ −[ 1; 2] sao cho diện tích tamgiác AMB lớn nhất

Qua những năm trực tiếp giảng dạy môn toán ở bậc trung học cơ sở và

qua nhiều năm nghiên cứu đề tài “ Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị”

tôi đã hiểu một cách sâu sắc hơn và hàm số và đồ thị Xây dựng đợc hệ thốngbài tập phong phú Với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng cóphơng pháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc hứngthú học tập cho học sinh Làm cho học sinh không còn thấy sợ “Hàm số”.

Đúng nh Ăng ghen đã từng nhận định “Các khái niệm địa lợng biến thiên vàhàm số đã đa t tởng biện chứng vào toán học và do đó phạm vi ứng dụng củatoán học đã rộng hơn và sâu hơn” Hiện nay toán học còn sâu sắc và linh hoạthơn rất nhiều so với toán học thời kì Ăng ghen Chơng trình cải cách giáodục đã đa tập hợp số thực vào chơng trình lớp 7 nên học sinh lớp 7 tiếp thukhái niệm “Đồ thị hàm số” một cách tự nhiện, dễ hiểu hơn

Đối với đối tợng học sinh khá giỏi nếu có thời gian cần tiếp thu pháttriển các ứng dụng của từng dạng toán, nâng cao yêu cầu trong từng bài giúpcác em phát huy đợc năng lực học môn toán

Trên đây là nội dung đề tài mà em đã tìm hiểu Trong quá trình thựchiện và trình bày đề tài không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy em rất mong đ-

ợc sự góp ý của thầy cô giáo cùng các bạn bè đồng nghiệp để đề tài của em

đợc hoàn thành xuất sắc đề tài của mình

Em xin chân trọng cảm ơn./

Ngời thực hiện

Vũ Văn Thế