Cơ sở lý thuyết hàm biến phức

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 565 Tr. Từ khoá: Mặt phẳng phức, Hàm số phức, số phức, Hàm biến phức, Điểm tụ, Biên của tập hợp, Tập hợp compact, Hàm phức biến thực, Miền đơn liên, Đa liên, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Nguyên lý thác triển giải tích, tập hợp mờ, Hàm đa trị, Diện đa liên, Lý thuyết thặng dư, Hàm đơn diệp, Phiến hàm liên tục, Diện Riemann. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. NGUY ˆ E ˜ N THUY ’ THANH CO . SO . ’ L ´ Y THUY ˆ E ´ T H ` AM BI ˆ E ´ NPH ´ U . C NH ` AXU ˆ A ´ TBA ’ NDA . IHO . CQU ˆ O ´ C GIA H ` AN ˆ O . I H`a Nˆo . i – 2006 Mu . clu . c L`o . in´oid ˆa ` u 8 1M˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c v`a h`am biˆe ´ nph´u . c10 1.1 Tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . c, m˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c 11 1.1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c 12 1.1.2 Da . ng d a . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c 16 1.1.3 Ph´ep tr`u . v`a ph´ep chia sˆo ´ ph´u . c 18 1.1.4 M˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c 19 1.1.5 Mˆod un v`a acgumen cu ’ asˆo ´ ph´u . c 20 1.1.6 Ph´ep khai c˘an sˆo ´ ph´u . c 28 1.1.7 Da . ng m˜ucu ’ asˆo ´ ph´u . c 29 1.1.8 Kh´ai niˆe . mvˆe ` m˘a . t ph˘a ’ ng mo . ’ rˆo . ng 30 1.1.9 Khoa ’ ng c´ach trˆen C 33 1.2 C´ac kh´ai niˆe . m tˆopˆo co . ba ’ n trˆen m˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c 35 1.2.1 Tˆopˆo trˆen C 36 1.2.2 Phˆa ` n trong v`a phˆa ` nngo`ai 38 1.2.3 D - iˆe ’ mtu . 39 1.2.4 Biˆen cu ’ atˆa . pho . . p 40 1.2.5 Tˆa . pho . . p comp˘a ´ c 41 1.2.6 Tˆa . pho . . pliˆenthˆong 42 1.2.7 H`am ph´u . cbiˆe ´ n thu . . c. Tuyˆe ´ nv`adu . `o . ng cong . . . . . . 46 1.2.8 Ph´ep d ˆo ` ngluˆan 53 1.2.9 Miˆe ` nd o . n liˆen v`a daliˆen 56 2MU . CLU . C 1.3 H`am biˆe ´ nph´u . c 59 1.3.1 D - i . nh ngh˜ıa h`am biˆe ´ nph´u . c 59 1.3.2 C´ac v´ıdu . vˆe ` ´anh xa . d o . ndiˆe . p 62 1.3.3 Gi´o . iha . ncu ’ ah`am 64 1.3.4 T´ınh liˆen tu . c v`a liˆen tu . cd ˆe ` u 67 1.4 L ´y thuyˆe ´ t d˜ay v`a chuˆo ˜ i trong miˆe ` nph´u . c 72 1.4.1 Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay diˆe ’ m 72 1.4.2 Chuˆo ˜ isˆo ´ ph´u . c v`a su . . hˆo . itu . cu ’ an´o 75 1.4.3 D˜ay v`a chuˆo ˜ ih`am 79 1.4.4 Chuˆo ˜ il˜uy th`u . a 85 1.4.5 Su . . hˆo . itu . d ˆe ` u trˆen t`u . ng comp˘a ´ c 92 1.5 H`am arg z 95 1.5.1 T´ınh liˆen tu . ccu ’ a h`am arg z 95 1.5.2 Sˆo ´ gia cu ’ a acgumen do . c theo du . `o . ng cong . . . . . . . . 96 1.5.3 Nh´anh d o . n tri . liˆen tu . ccu ’ a h`am arg z 98 1.6 B`ai tˆa . p 100 2 H`am chı ’ nh h`ınh 105 2.1 H`am kha ’ vi 106 2.1.1 H`am R 2 - kha ’ vi 106 2.1.2 D - a . o h`am theo phu . o . ng 108 2.1.3 H`am C - kha ’ vi 110 2.1.4 Mˆo ´ i liˆen hˆe . gi˜u . a C - kha ’ vi v`a R 2 - kha ’ vi . . . . . . . 114 2.1.5 H`am chı ’ nhh`ınh 115 2.1.6 Khˆong gian c´ac h`am chı ’ nhh`ınh 121 2.2 Mˆo . tsˆo ´ h`am chı ’ nh h`ınh so . cˆa ´ p 122 2.2.1 D - ath´u . c v`a h`am h˜u . uty ’ 122 2.2.2 H`am w = z n v`a z = n √ w, n ∈ N 122 2.2.3 H`am e z 124 2.2.4 H`am lˆogarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.2.5 H`am l˜uy th`u . a z α , α ∈ R 130 2.2.6 C´ac h`am so . cˆa ´ pkh´ac 131 MU . CLU . C3 2.2.7 Nh´anh chı ’ nh h`ınh cu ’ a h`am da tri . 134 2.3 H`am chı ’ nh h`ınh v`a ´anh xa . ba ’ ogi´ac 138 2.3.1 ´ Y ngh˜ıa h`ınh ho . ccu ’ a acgumen cu ’ ad a . o h`am . . . . . . 138 2.3.2 ´ Y ngh˜ıa h`ınh ho . ccu ’ a mˆodun da . o h`am . . . . . . . . . 140 2.3.3 ´ Anh xa . ba ’ ogi´ac 141 2.3.4 ´ Anh xa . liˆen tu . c v`a ´anh xa . chı ’ nh h`ınh . . . . . . . . . . 143 2.4 C´ac d ˘a ’ ng cˆa ´ uso . cˆa ´ p 146 2.4.1 D - ˘a ’ ng cˆa ´ u phˆan tuyˆe ´ nt´ınh 147 2.4.2 ´ Anh xa . w = e z v`a z = log w 160 2.4.3 H`am Jukovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2.4.4 C´ac d ˘a ’ ng cˆa ´ uso . cˆa ´ pkh´ac 172 2.4.5 Mˆo . tsˆo ´ v´ıdu . 175 2.5 B`ai tˆa . p 183 3 L´y thuyˆe ´ tt´ıch phˆan h`am chı ’ nh h`ınh 188 3.1 T´ıch phˆan trong miˆe ` nph´u . c 189 3.1.1 D - i . nh ngh˜ıa t´ıch phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.1.2 U . ´o . clu . o . . ngt´ıchphˆan 193 3.1.3 T´ınh t´ıch phˆan b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap qua gi´o . iha . n 194 3.1.4 Da . ng vi phˆan d ´ung v`a da . ng vi phˆan d´ong . . . . . . . 200 3.1.5 T´ıch phˆan du . `o . ng phu . thuˆo . c tham sˆo ´ 213 3.2 L ´y thuyˆe ´ tCauchy 217 3.2.1 Nguyˆen h`am d i . aphu . o . ng cu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh . . . . . 217 3.2.2 Nguyˆen h`am cu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh theo tuyˆe ´ n 223 3.2.3 T´ınh bˆa ´ tbiˆe ´ ncu ’ a t´ıch phˆan d ˆo ´ iv´o . i c´ac tuyˆe ´ nd ˆo ` ng luˆan227 3.2.4 Cˆong th´u . c t´ıch phˆan co . ba ’ nth´u . nhˆa ´ tcu ’ a Cauchy . . . 231 3.2.5 Nguyˆen h`am trong miˆe ` nd o . nliˆen 234 3.2.6 Cˆong th´u . c t´ıch phˆan Cauchy (cˆong th´u . cco . ba ’ nth´u . hai cu ’ aCauchy) 235 3.2.7 Biˆe ’ udiˆe ˜ n t´ıch phˆan d ˆo ´ iv´o . ida . o h`am cu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh241 3.2.8 D - iˆe ` ukiˆe . nd u ’ dˆe ’ h`am f chı ’ nh h`ınh . . . . . . . . . . . . 250 3.2.9 H`am d iˆe ` u h`oa v`a mˆo ´ i liˆen hˆe . v´o . i h`am chı ’ nh h`ınh . . . 250 4MU . CLU . C 3.2.10 T´ıch phˆan da . ng Cauchy. Cˆong th´u . c Sokhotski 257 3.2.11 Biˆe ’ udiˆe ˜ n t´ıch phˆan h`am diˆe ` uh`oa 270 3.3 B`ai tˆa . p 277 4 C´ac t´ınh chˆa ´ tco . ba ’ ncu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh 278 4.1 C´ac kˆe ´ t qua ’ quan tro . ng nhˆa ´ tr´ut ra t`u . t´ıch phˆan Cauchy . . . 279 4.1.1 D - i . nh l´y gi´a tri . trung b`ınh 279 4.1.2 D - i . nh l´y Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 4.1.3 D - i . nh l´y Weierstrass vˆe ` chuˆo ˜ i h`am hˆo . itu . d ˆe ` u 284 4.1.4 T´ınh chˆa ´ td i . aphu . o . ng cu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh. Chuˆo ˜ i Taylor288 4.1.5 C´ac quan d iˆe ’ m kh´ac nhau trong viˆe . c xˆay du . . ng l´y thuyˆe ´ t h`am chı ’ nhh`ınh 305 4.2 T´ınh chˆa ´ t duy nhˆa ´ tcu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh . . . . . . . . . . . . 310 4.2.1 Khˆong d iˆe ’ m (0-diˆe ’ m) cu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh . . . . . . . 310 4.2.2 T´ınh chˆa ´ t duy nhˆa ´ tcu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh . . . . . . . . 313 4.2.3 Nguyˆen l´y th´ac triˆe ’ n gia ’ it´ıch 317 4.2.4 Nguyˆen l´y mˆodun cu . . cda . i 320 4.3 D - iˆe ’ mbˆa ´ tthu . `o . ng cˆo lˆa . p 326 4.3.1 Chuˆo ˜ iLaurent 326 4.3.2 D - iˆe ’ mbˆa ´ tthu . `o . ng cˆo lˆa . pdo . n tri . 337 4.3.3 D´ang diˆe . ucu ’ a h`am ta . idiˆe ’ mvˆoc`ung . . . . . . . . . . 348 4.3.4 Phˆan loa . i h`am chı ’ nhh`ınh 350 4.4 T´ınh bˆa ´ tbiˆe ´ ncu ’ atˆa . pho . . pmo . ’ 354 4.4.1 Nguyˆen l´yacgumen 354 4.4.2 D - i . nh l´y Rouch´e 360 4.4.3 T´ınh bˆa ´ tbiˆe ´ ncu ’ atˆa . pho . . pmo . ’ 363 4.5 B`ai tˆa . p 365 5 H`am d a tri . v`a diˆe . n Riemann 369 5.1 Phu . o . ng ph´ap th´ac triˆe ’ ncu ’ a Weierstrass . . . . . . . . . . . . 370 5.1.1 Phˆa ` ntu . ’ ch´ınh t˘a ´ c 371 MU . CLU . C5 5.1.2 D - iˆe ’ mbˆa ´ tthu . `o . ng cu ’ a phˆa ` ntu . ’ ch´ınh t˘a ´ c 372 5.1.3 Phu . o . ng ph´ap th´ac triˆe ’ ncu ’ a Weierstrass . . . . . . . . 373 5.1.4 H`am khˆong cho ph´ep th´ac triˆe ’ n gia ’ i t´ıch . . . . . . . . 378 5.2 C´ac phu . o . ngph´apkh´ac 380 5.2.1 Th´ac triˆe ’ n gia ’ i t´ıch theo tuyˆe ´ n 380 5.2.2 Th´ac triˆe ’ nd ˆo ´ ix´u . ng 386 5.3 H`am gia ’ it´ıchdu ’ 391 5.3.1 Kh´ai niˆe . m h`am gia ’ it´ıchdu ’ 391 5.3.2 Mˆo . t v`ai v´ıdu . 393 5.3.3 T´ınh d o . n tri . v`a d a tri . . D - i . nh l´y d o . n tri . (monodromie) . . . . . . . . . . . . . . 396 5.3.4 Nh´anh v`a phu . o . ng ph´ap t´ach nh´anh chı ’ nh h`ınh . . . . 399 5.3.5 Kh´ai niˆe . mvˆe ` d iˆe ’ mbˆa ´ tthu . `o . ng 405 5.4 Kh´ai niˆe . mvˆe ` diˆe . nRiemann 412 5.4.1 Mˆo . tsˆo ´ v´ıdu . mo . ’ dˆa ` u 413 5.4.2 Phu . o . ng ph´ap du . . ng diˆe . n Riemann . . . . . . . . . . . . 419 5.5 B`ai tˆa . p 420 6 L´y thuyˆe ´ t th˘a . ng du . v`a ´u . ng du . ng 422 6.1 Co . so . ’ l´y thuyˆe ´ t th˘a . ng du . 423 6.1.1 D - i . nh ngh˜ıa th˘a . ng du . 423 6.1.2 Phu . o . ng ph´ap t´ınh th˘a . ng du . 425 6.1.3 D - i . nh l´y co . ba ’ ncu ’ al´ythuyˆe ´ t th˘a . ng du . 436 6.1.4 T´ınh t´ıch phˆan theo chu tuyˆe ´ nd´ong . . . . . . . . . . 444 6.2 Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ’ al´ythuyˆe ´ t th˘a . ng du . 448 6.2.1 Phu . o . ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan . . . . . . . . . . . . . . . 448 6.2.2 T´ınh t´ıch phˆan da . ng I = 2π  0 R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ 451 6.2.3 T´ıch phˆan da . ng I = +∞  −∞ R(x)dx 454 6MU . CLU . C 6.2.4 T´ıch phˆan da . ng I =  R e iax R(x)dx 459 6.2.5 T´ıch phˆan da . ng I =  R + R(x)x α dx 463 6.2.6 Mˆo . tsˆo ´ v´ıdu . kh´ac 478 6.2.7 T`ım tˆo ’ ng cu ’ a chuˆo ˜ i 490 6.3 H`am nguyˆen v`a h`am phˆan h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 6.3.1 H`am phˆan h`ınh. B`ai to´an Cousin th´u . nhˆa ´ t trong m˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c 495 6.3.2 H`am nguyˆen. B`ai to´an Cousin th´u . hai trong m˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c 503 6.4 B`ai tˆa . p 513 7 ´ Anh xa . ba ’ o gi´ac 515 7.1 C´ac kh´ai niˆe . mchung 516 7.1.1 H`am d o . ndiˆe . p 517 7.1.2 D - iˆe ` ukiˆe . nd u ’ dˆe ’ h`am do . ndiˆe . p 522 7.1.3 Su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay h`am do . ndiˆe . p 524 7.1.4 T´ınh chˆa ´ td i . aphu . o . ng cu ’ a ´anh xa . chı ’ nh h`ınh c´o d a . o h`am b˘a ` ng0 525 7.1.5 T´ınh chˆa ´ t chung cu ’ a ´anh xa . ba ’ o gi´ac . . . . . . . . . . 527 7.1.6 D - ˘a ’ ng cˆa ´ u v`a tu . . d ˘a ’ ng cˆa ´ u 528 7.1.7 D - iˆe ` ukiˆe . ncˆa ` ndˆe ’ tˆo ` nta . id˘a ’ ng cˆa ´ u 532 7.1.8 D - iˆe ` ukiˆe . n chuˆa ’ n 534 7.2 D - i . nh l´y co . ba ’ ncu ’ al´ythuyˆe ´ t ´anh xa . ba ’ o gi´ac . . . . . . . . . 537 7.2.1 Tˆa . pho . . pbi . ch˘a . n trong H(D) 538 7.2.2 Tˆa . pho . . p liˆen tu . cdˆo ` ng bˆa . c 539 7.2.3 Nguyˆen l´y comp˘a ´ c 540 7.2.4 Phiˆe ´ m h`am liˆen tu . c 544 7.2.5 D - o . n gia ’ n h´oa c´ach d ˘a . t b`ai to´an Riemann . . . . . . . . 546 7.2.6 D - i . nhl´yRiemann 548 7.2.7 D - i . nh l´y duy nhˆa ´ tcu ’ a ´anh xa . ba ’ o gi´ac . . . . . . . . . . 553 MU . CLU . C7 7.2.8 Su . . tu . o . ng ´u . ng gi˜u . a c´ac biˆen v`a cˆong th´u . c Christoffel- Schwarz 554 7.3 B`ai tˆa . p 560 T`ai liˆe . u tham kha ’ o 563 L`o . i n´oi d ˆa ` u Co . so . ’ l´y thuyˆe ´ t h`am biˆe ´ nph´u . c (LTHBP) du . o . . cd˘a . tnˆe ` n m´ong t`u . gi˜u . athˆe ´ ky ’ XVIII bo . ’ i c´ac cˆong tr`ınh cu ’ a L. Euler. V´o . itu . c´ach mˆo . t nh´anh dˆo . clˆa . p, LTHBP du . o . . c h`ınh th`anh v`ao gi˜u . athˆe ´ ky ’ XIX nh`o . c´ac cˆong tr`ınh cu ’ aO. Cauchy, C. Weierstrass v`a B. Riemann. Ng`ay nay LTHBP l`a mˆo . t trong nh˜u . ng phˆa ` n quan tro . ng nhˆa ´ tcu ’ a to´an ho . c. D ´o l`a khoa ho . cv`u . acˆo ’ d iˆe ’ nv`u . ahiˆe . nd a . i, v`u . ag˘a ´ n b´o mˆa . t thiˆe ´ tv´o . i c´ac nh´anh hiˆe . nd a . i nhˆa ´ tcu ’ a to´an ho . cl´y thuyˆe ´ tla . iv`u . ag˘a ´ n b´o v´o . i nhiˆe ` u b`ai to´an vˆa . tl´yv`aco . ho . ccu . thˆe ’ .Tu . tu . o . ’ ng v`a kˆe ´ t qua ’ cu ’ an´od˜a thˆam nhˆa . p sˆau v`ao nhiˆe ` u phˆa ` n kh´ac nhau cu ’ a to´an ho . c. C´ac phu . o . ng ph´ap cu ’ a LTHBP d˜a tro . ’ th`anh quen thuˆo . cca ’ trong nhiˆe ` u ng`anh ´u . ng du . ng nhu . thu ’ yd ˆo . ng ho . c, v`a kh´ı dˆo . ng ho . c, l´y thuyˆe ´ td`an hˆo ` i, V`ı l´ydod´o m`a LTHBP l`a mˆon ho . c b˘a ´ t buˆo . c, l`a mˆo . t phˆa ` ntˆa ´ tyˆe ´ ucu ’ a gi´ao du . c to´an ho . cdˆo ´ iv´o . i c´ac hˆe . d`ao ta . o: To´an, To´an - Co . , To´an - Tin ´u . ng du . ng cu ’ a tru . `o . ng Da . iho . c Khoa ho . cTu . . nhiˆen (Da . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . i). Gi´ao tr`ınh “Co . so . ’ l´y thuyˆe ´ t h`am biˆe ´ nph´u . c” n`ay du . o . . c biˆen soa . n theo s´at chu . o . ng tr`ınh H`am biˆe ´ nph´u . cdu . o . . cDa . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . i ban h`anh. Khˆo ´ ilu . o . . ng v`a cˆa ´ utr´uc chung cu ’ a cuˆo ´ n s´ach l`a ho`an to`an tu . o . ng ´u . ng v´o . inˆo . i dung v`a cˆa ´ utr´uc cu ’ a chu . o . ng tr`ınh hiˆe . n h`anh cu ’ aDa . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . i. N´o du . o . . cbiˆen soa . ndu . . a trˆen nˆo . i dung cuˆo ´ n s´ach “Co . so . ’ l´y thuyˆe ´ t H`am biˆe ´ n ph´u . c” tru . ´o . cdˆay cu ’ a t´ac gia ’ v`a kinh nghiˆe . m tr`ınh b`ay LTHBP o . ’ tru . `o . ng Da . i ho . cTˆo ’ ng ho . . pH`aNˆo . i tru . ´o . cd ˆay v`a Da . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . i ng`ay nay. Nh˘a ` mmu . cd´ıch gi´up sinh viˆen hiˆe ’ u thˆa ´ ud´ao co . so . ’ l´y thuyˆe ´ tcu ’ a LTHBP, khi biˆen soa . n gi´ao tr`ınh n`ay ch´ung tˆoi d ˜acˆo ´ g˘a ´ ng du . a v`ao nhiˆe ` uv´ıdu . minh . Cơ sở lý thuyết hàm biến phức Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 565 Tr. Từ khoá: Mặt phẳng phức, Hàm số phức, số phức, Hàm biến phức, Điểm tụ, Biên. compact, Hàm phức biến thực, Miền đơn liên, Đa liên, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Nguyên lý thác triển giải tích, tập hợp mờ, Hàm đa trị, Diện đa liên, Lý thuyết thặng dư, Hàm. triển giải tích, tập hợp mờ, Hàm đa trị, Diện đa liên, Lý thuyết thặng dư, Hàm đơn diệp, Phiến hàm liên tục, Diện Riemann. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử