tài liệu hàm biến phức

Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace PHẦN I: HÀM BIẾN PHỨC CHƯƠNG I: HÀM BIẾN PHỨC. ĐẠO HÀM CỦA HÀM BIẾN PHỨC Trong giải tích: số thực bao gồm số hữu tỷ và số vô tỷ. Bình phương của mọi số thực đều không âm, có thể lấy căn bậc hai, nhưng đối với số âm không thể lấy căn bậc hai và không giải mọi phương trình bậc hai với hệ số thực. Do vậy người ta đưa ra khái niệm số phức cũng như xác định các phép toán về số phức phải đạt được yêu cầu: sao cho các số thực và các phép toán trên tập các số thực có xem số thực như là trường hợp riêng của số phức và các phép toán trên tập các số phức. 1.1.Khái niệm về miền và biên của miền 1.1.1. Số phức 1.1.1.1. Định nghĩa số phức Biểu thức của số phức: z = x+iy (1.1) Trong đó: x, y là các số thực i là đơn vị ảo x là phần thực của z: x = Rez y là phần ảo của z: x = Imz Tập hợp các số phức là C= { z=x + iy; x, y ∈ R } Nếu: y = 0 thì z = x: số thực là trường hợp riêng của số phức Nếu: x = 0 thì z = iy: số thuần túy ảo Liên hợp phức của z, kí hiệu là: iyxz −= Số phức đối của z là: -z = -x-iy Cho hai số phức:    += += 222 111 iyxz iyxz hai chỉ số 1, 2 chỉ hai số phức Nếu z 1 = z 2 thì    = = 21 21 yy xx 1.1.1.2. Các phép tính về số phức a) Phép cộng Cho hai số phức:    += += 222 111 iyxz iyxz Gọi z = x+iy là tổng của z 1 và z 2 : z = z 1 + z 2 Khoa khoa học cơ bản 1 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Nếu    += += 21 21 yyy xxx Thì z = z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) - Tính chất: Giao hoán: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 Kết hợp: z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 - Ví dụ: Cho    −= += iz iz 35 3 2 1 thì z = z 1 + z 2 = (3+5) +i(1-3) = 8-2i b) Phép trừ Gọi x là hiệu của z 1 và z 2 nếu z + z 2 = z 1 Ta có: (x +iy) + (x 2 + iy 2 ) = x 1 +iy 1 (x + x 2 ) +i(y + y 2 ) = x 1 +iy 1 Suy ra:    −= −= ⇒    =+ =+ 21 21 12 12 yyy xxx yyy xxx Vậy trừ hai số phức ta trừ phần thực cho nhau và phần ảo cho nhau: z=z 1 -z 2 =(x 1 -x 2 ) +i(y 1 -y 2 ) c) Phép nhân Gọi z=(x 1 x 2 -y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) (1.2) là tích của z 1 và z 2 . Khi đó: z = z 1 .z 2 - Tính chất: Giao hoán: z 1 .z 2 = z 2 .z 1 Kết hợp: (z 1 .z 2 )z 3 = z 1 (z 2 .z 3 ) Phân bố đối với phép cộng: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 - Chứng minh: i 2 = -1 Chọn    == == ⇒    = = 1,0 1,0 1 1 22 11 2 1 yx yx z z Khi đó: z 1 .z 2 = i.i = i 2 = -y 1 .y 2 = -1 Như vậy: i 2 = -1 được suy ra từ phép nhân hai số phức, không phải từ định nghĩa số phức. và nhân giống như số thực nhưng chú ý i 2 = -1 - Ví dụ: cho    −= += iz iz 35 3 2 1 Thì z = z 1 .z 2 = (3+i)(5-3i) = (3.5 -1(-3)) + i(3(-3) + 5.1) = 18 - 4i d) Phép chia Nếu z 2 = x 2 + iy 2 ≠ 0 Thì z = x + iy sao cho z.z 2 = z 1 Khoa khoa học cơ bản 2 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Ta có: (x + iy)( x 2 + iy 2 ) = x 1 +iy 1 ⇒ (xx 2 -yy 2 ) + i(xy 2 + x 2 y) = x 1 +iy 1 Suy ra:    =+ =− 122 122 yyxxy xyyxx đây là hệ phương trình bậc 1 hai ẩn số x, y Khi đó, ta có các định thức của hệ: 2112 12 12 2121 21 21 2 2 2 2 22 22 yxyx yy xx yyxx xy yx yx xy yx y x −==∆ += − =∆ += − =∆ ⇒        + − = ∆ ∆= + + = ∆ ∆ = 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 yx yxyx y yx yyxx x y x Vậy: ( ) ( ) iyx yx yxyxiyyxx z z z += + −++ == 2 2 2 2 21122121 2 1 (1.3) 1.1.1.3. Biểu diễn hình học của số phức. Dạng lượng giác của số phức a) Biểu diễn hình học Cho số phức z = x + iy thuộc mặt phẳng phức Nếu cho một số phức z thì ta xác định được tọa độ của M(x,y), M gọi là tọa vị của số phức z Trong mặt phẳng xOy, ta biểu diễn vị trí của M(x,y). Nếu cho trước M(x, y) thì ta thiết lập được một số phức z = x + iy. Như vậy giữa tập hợp các số phức và tập hợp các điểm của mặt phẳng xOy, ta thiết lập được song ánh. Khi đó: gọi mặt phẳng xOy là mặt phẳng phức C Đồng nhất số phức z với M là tọa vị của nó Đồng nhất số phức z với mặt phẳng phức C Các điểm thuộc trục Ox biểu diễn những số phức có y = 0 thì gọi là trục thực Các điểm thuộc trục Oy biểu diễn những số phức thuần ảo có x = 0 thì gọi là trục ảo Đặt →→ = VOM , biểu diễn số phức z = x+iy bởi vectơ ( ) → + Viyx Vậy: hai số phức có cùng tọa vị… Hai số phức liên hợp có tọa vị đối xứng qua Ox Hai số phức đối nhau có tọa vị đối xứng qua O. b) Modun và argument của số phức. Cho số phức z = x+iy có tọa vị M Khoa khoa học cơ bản 3 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Gọi độ dài `→ = OMr là môdun của z ký hiệu là z Góc lượng giác giữa       →→ OMOx, xác định sai khác 2k π (k là số nguyên) được gọi là argument của z, kí hiệu là Arg Nếu ϕ là một trị số xác định của góc       →→ OMOx, , ta có: Argz = ϕ + 2k π Đặc biệt, k = 0 thì trị số của Argz: - π ≤ ϕ ≤ π , được gọi là nhánh chính của Argz và kí hiệu là argz c) Liên hệ giữa phần thực, phần ảo, modun và argument của số phức Chiếu → OM lên các trục tọa độ, ta có:      = += ⇒    = = x y tg yxr ry rx ϕ ϕ ϕ 22 sin cos (1.4) Giá trị của ϕ chọn sao cho cosϕ cùng dấu với x - Ví dụ: z =1+i ⇒ tg ϕ = 1 ⇒ ϕ = π /4 z = -1-i ⇒ tg ϕ = -1 ⇒ ϕ = 3 π /4 Tọa vị của z thuộc trục Ox(+) thì ϕ = 0 Tọa vị của z thuộc trục Ox(-) thì ϕ = π Tọa vị của z thuộc trục Oy(+) thì ϕ = π /2 Tọa vị của z thuộc trục Oy(-) thì ϕ = - π /2 z = 0 thì argz không xác định c) Dạng lượng giác của số phức Nếu biểu diễn phần thực và phần ảo của số phức theo r và ϕ thì ta được: z = x+iy = r(cos ϕ + i sin ϕ ) (1.5) Công thức (1.4) được gọi là dạng lượng giác của số phức z = x + iy Ví dụ: Hãy biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác z = -2; ta có: ( ) ππ πϕ sincos2 2 iz r +=⇒    = = z= 1-i, ta có:       +=⇒      = = 4 3 sin 4 3 cos2 4 3 2 ππ π ϕ iz r - Định lý 1: Tích của hai số phức có modun bằng tích các modun của các thừa số và có argumen bằng tổng các argumen của các thừa số. Khoa khoa học cơ bản 4 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Nếu: ( ) ( )    += += ψψ ϕϕ sincos sincos 22 11 irz irz Thì ( ) ( ) [ ] ψϕψϕ +++== sincos 2121 irrzzz (1.6) Thật vậy: [ ] )sin()cos( )sincoscos.(sin)sinsincos.(cos )sincos)(sincos(. 21 2121 221121 ψϕψϕ ψϕψϕψϕψϕ ϕϕϕϕ +++= ++−= ++= irr rirrr irrirrzz - Định lý 2: Thương của hai số phức có modun bằng thương các modun và có argumen bằng hiệu argumen của số bị chia và số chia. [ ] )sin()cos( 2 1 2 1 ψϕψϕ −+−= i r r z z (1.7) Đặc biệt: nếu z 1 = 1 ( ϕ = 0) thì: )sin(cos 11 22 ψψ i rz −= 1.1.1.4. Công thức Moivre Áp dụng định lý 1 cho tích của n thừa số bằng z: Lũy thừa bậc n của z=r(cos ϕ +isin ϕ ) có modun bằng r n và có argumen bằng n ϕ , tức là: [ ] )sin(cos)sin(cos ϕϕϕϕ ninrir n n +=+ Đặc biệt khi r = 1, ta được: ϕϕϕϕ nini n sincos)sin(cos +=+ (1.8) Công thức (1.7) được gọi là công thức Moivre Thay ϕ bằng - ϕ , ta được: ϕϕϕϕ nini n sincos)sin(cos −=− 1.1.1.5. Căn bậc n của số phức z dưới dạng lượng giác Cho số phức z = r(cos ϕ +isin ϕ ). Hãy tìm căn bậc n của số phức z, tức là tìm ξ sao cho: ξ n =z, trong đó n là một số nguyên dương cho trước. Đặt ξ = ρ (cos ψ + isin ψ ), khi đó tìm ρ và ψ sao cho: ρ n (cosn ψ + isinn ψ ) = r(cos ϕ +isin ϕ ) Do liên hệ giữa giữa modun và argumen của hai số phức bằng nhau, ta có:      + = = ⇒    += = )( 2 2 nguyênk n k r kn r n n πϕ ψ ρ πϕψ ρ Khoa khoa học cơ bản 5 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Vậy:       + + + = n k i n k r n πϕπϕ ξ 2 sin 2 cos (1.9) Nhưng chú ý rằng, nếu ta cho k lấy hai trị số hơn kém nhau n thì ta cũng được một số phức bởi vì: ( ) ( ) ) 2 sin() 2 cos( )2 2 sin()2 2 cos( 2 sin 2 cos n k i n k n k i n k n nk i n nk πϕπϕ π πϕ π πϕπϕπϕ + + + = + + ++ + = ++ + ++ Cho nên, trong (1.8) lấy k=0, 1, 2, …, n-1 Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm căn bậc ba của z=1+i Ta có:      = = ⇒       +=+ 4 2 4 sin 4 cos21 π ϕ ππ r ii Khi đó:             + + + = 3 2 4 sin 3 2 4 cos2 6 π π π π ξ k i k Với k=0 thì: ) 12 sin 12 (cos2 6 0 ππ ξ i+= Với k=1 thì:       +++= ) 3 2 12 sin() 3 2 12 cos(2 6 1 ππππ ξ i Với k=2 thì:       +++= ) 3 4 12 sin() 3 4 12 cos(2 6 2 ππππ ξ i Ví dụ 2: Giải phương trình: x 2 + x + 1 = 0 Ta có: ∆ =1 2 – 4 = -3 = 3i 2 3i±=∆⇒ . Nên: 2 31 i x ±− = Ví dụ 3: Giải phương trình: x 4 + 1 = 0 Ta có: x 4 = -1, mà -1 = cos π + isin π Khi đó, ta có:       + + + = 4 2 sin 4 2 cos1 ππππ ξ k i k Với k = 0 thì ( ) ii +=+= 1 2 2 4 sin 4 cos 0 ππ ξ Với k = 1 thì ( ) iii +−=+=       + + + = 1 2 2 4 3 sin 4 3 cos 4 2 sin 4 2 cos 1 ππππππ ξ Khoa khoa học cơ bản 6 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Với k = 2 thì ( ) iii +−=+=       + + + = 1 2 2 4 5 sin 4 5 cos 4 4 sin 4 4 cos 2 ππππππ ξ Với k = 3 thì ( ) iii −=+=       + + + = 1 2 2 4 7 sin 4 7 cos 4 6 sin 4 6 cos 3 ππππππ ξ 1.1.2. Khái niệm về miền và biên của miền 1.1.2.1. Điểm trong của một tập hợp Giả sử E là một tập điểm trong mặt phẳng phức z và z 0 là một điểm thuộc E. Nếu tồn tại một ε -lân cận của z 0 nằm hoàn toàn trong E, thì z 0 được gọi là điểm trong của tập E. 1.1.2.2. Biên của một tập Điểm ξ thuộc E hoặc không thuộc E được gọi là điểm biên của tập E và tồn tại một hình tròn tâm η không chứa một điểm nào của E và những điểm không thuộc E . Tập hợp các điểm biên của tập E, được gọi là biên của tập E. Nếu điểm ξ không thuộc E và tồn tại một hình tròn tâm η không chứa một điểm nào của E, thì η được gọi là điểm ngoài của tập E. Ví dụ 1: Xét tập E là hình tròn 1<z . Mọi điểm của E đều là điểm trong . Biên của E là đường tròn 1=z . Mọi điểm η mà 1< η là điểm ngoài của E. 1.1.2.3. Miền Miền trên mặt phẳng phức là một tập hợp G trên mặt phẳng ấy có hai tính chất sau: * G là một tập mở, nghĩa là một tập chỉ gồm những điểm bên trong * G là một tập liên thông, nghĩa là qua hai điểm tùy ý thuộc G, bao giờ cũng có thể nối chúng với nhau bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong G Tập G, hợp thêm những điểm biên của nó, được gọi là một miền kín và ký hiệu: G Miền G được gọi là miền bị chặn nếu tồn tại một hình tròn bán kính R, chứa G ở bên trong. Ví dụ 2: Phần của mặt phẳng phức giới hạn bởi một đường cong kín liên tục L (hình 1.2) là một miền. Biên của miền là đường cong L. Sau này, ta chỉ nói tới những miền G mà biên của nó gồm một số hữu hạn các đường cong kín. Số các đường cong này được gọi là cấp liên thông của miền G. Ví dụ 3: Miền G trong hình 1.2 là miền đơn liên, hình 1.2a và 1.2b cho ta những ví dụ về miền nhị liên. Hình 1.2c cho ta ví dụ về miền tam liên. Khoa khoa học cơ bản 7 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Quy ước: hướng dương trên biên L của miền là hướng mà khi một người đi trên L theo hướng đó, thì phần của miền G kề người đó luôn luôn nằm ở bên trái. Trong hình 1.2c, hướng dương trên biên ngoài L 0 là hướng ngược chiều quay của kim đồng hồ, hướng dương trên các biên tron L 1 và L 2 là hướng thuận chiều kim đồng hồ. Ví dụ 4: Vẽ miền Rez > -1 Mọi điểm nằm bên phải đường thẳng x = -1 đều thỏa mãn Rez > -1. Ngược lại mọi điểm z có phần thực lớn hơn -1 đều nằm bên phải đường thẳng x = -1. Vậy miền Rez > -1 là nửa mặt phẳng phức gạch chéo trên (hình 1.3). 1.2. Định nghĩa hàm biến phức. 1.2.1. Định nghĩa Giả sử E là một tập hợp điểm trên mặt phẳng phức. Nếu có một quy luật cho ứng với mỗi số phức z ∈ E một số phức xác định ω , thì ta nói rằng ω là một hàm số đơn trị của biến số phức z xác định trên E, ký hiệu là: ω = f(z), z ∈ E (1.20) Nói một cách khác một hàm đơn trị của biến phức xác định trên tập E ⊂ C là một ánh xạ từ E vào C. Tập E được gọi là miền xác định của hàm số. Giá trị của hàm số ứng với z = z 0 , ký hiệu là f(z 0 ). Nếu ứng với mỗi số phức z ∈ E, ta có nhiều giá trị của ω , thì ta gọi ω là một hàm đa trị. Sau này, khi nói tới hàm số mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là hàm đơn trị. Ví dụ: - Hàm z 1 = ω xác định trong toàn mặt phẳng, trừ điểm z = 0 - Hàm 1 2 + = z z ω xác định trong toàn mặt phẳng, trừ hai điểm z = ± i vì z 2 +1 = 0 khi z = ± i 1.2.2. Phần thực và phần ảo của một hàm phức Cho hàm ω = f(z) có nghĩa sao cho phần thực u và phần ảo v của ω . Nói khác đi u và v cũng là các hàm phụ thuộc z. Nếu z = x + iy, thì có thể thấy u và v là những hàm số thực của hai biến số thực độc lập x và y. Tóm lại, cho hàm phức ω = f(z), tương đương với cho hai hàm biến thực u=u(x,y), và v = v(x,y) và hàm ω = f(z) viết dưới dạng: ω = u(x,y) + iv(x,y) (1.20a) Khoa khoa học cơ bản 8 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Ta có thể chuyển dạng (1.20a) hàm phức cho dưới dạng (1.20). Phép chuyển như vậy được gọi là tách phần thực và phần ảo của hàm phức. Ngược lại, cho hàm số dưới dạng (1.20a) cũng có thể chuyển về dạng (1.20). - Ví dụ: Tách phần thực và phần ảo của các hàm sau: z 1 = ω , ω = z 3 . Ta có: ( )( )        + − = + = ⇒ + − + + = + − = −+ − = + = 22 22 222222 1 yx y v yx x u yx y i yx x yx iyx iyxiyx iyx iyx ω Ta có: ( ) ( ) ( )      −= −= ⇒−+−=+++=+= 32 23 322333223 3 3 3 3333 yyxv xyxu yyxixyxyixiyiyxxiyx ω - Ví dụ: Hãy biểu diễn các hàm sau đây theo z và z : ω = x 2 -y+i(x+y 2 ); ω = x 2 -y 2 +2ixy Ta có:        − = − = + = ⇒    −= += 22 2 zz i i zz y zz x iyxz iyxz Nên ( ) ( ) ( ) ( ) izzzizzi zzzz izz izz ++++−=                 − − + +−−         + = 1 2 1 1 4 1 2222 2 2 22 ω Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2222 2 22 z zzzzzzzz i zz i zz = − + + =         −         + +         + +         + = ω 1.3. Phép biến hình thực hiện bởi một hàm biến phức Để biểu diễn hình học của một hàm số thực biến số thực, thì ta vẽ đồ thị của hàm số đó. Để mô tả hình học của một hàm biến phức, không thể dùng phương pháp đồ thị được nữa mà phải làm như sau: Giả sử cho hàm biến phức ω = f(z), z ∈ E. Lấy hai mặt phẳng phức xOy (mặt phẳng z) và mặt phẳng phức uO 1 v (mặt phẳng ω ). Ứng với mỗi điểm z 0 ∈ E, hàm ω =f(z) xác điểm ω 0 =f(z 0 ) trong mặt phẳng ω . Cho nên về mặt hình học, hàm ω =f(z) xác định một phép biến hình từ mặt phẳng z vào mặt phẳng ω . Điểm ω 0 được gọi là ảnh của điểm z 0 , điểm z 0 gọi là nghịch ảnh của điểm ω 0 - Ví dụ: Cho hàm ω = z 2 . Hãy tìm ảnh của: * Điểm z 0 = 1+2i Ta có: ω 0 =(1+2i) 2 = 1+2i 2 4i = -3+4i * Đường tròn 2=z Nếu 2=z thì 4 2 == z ω . Vậy ảnh của đường tròn 2=z là đường tròn 4= ω Khoa khoa học cơ bản 9 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace - Ví dụ: Tìm nghịch ảnh của đường tròn: 2 1 2 1 2 1 22 =       ++       − vu qua phép biến hình z 1 = ω Ta có: ( )( )        + − = + = ⇒ + − + + = + − = −+ − = + = 22 22 222222 1 yx y v yx x u yx y i yx x yx iyx iyxiyx iyx iyx ω Khi đó: x+y-1=0, đây là nghịch ảnh cần tìm. 1.4. Hàm ngược Cho hàm ω =f(z) xác định và đơn trị trong miền E. Gọi ∆ là ảnh của miền E qua phép biến hình ω =f(z). Như vậy mỗi điểm z ∈ E có ảnh duy nhất ω∈ ∆ . Nhưng ngược lại, cho trước điểm ω∈ ∆ , có thể có một hoặc nhiều điểm thuộc E là nghịch ảnh của ω . Nếu phép biến hình ω =f(z) là tương ứng một một, thì hàm số ω =f(z) được gọi là đơn diệp trên E. 1.4.1. Định nghĩa Cho hàm ω =f(z) xác định trên tập E. Nếu ánh xạ f là đơn ánh, nghĩa là nếu giá trị của hàm số tại hai điểm khác nhau của tập E là khác nhau, thì hàm số được gọi là đơn diệp trên tập E. Phép biến hình tạo nên bởi một hàm đơn diệp, được gọi là phép biến hình đơn diệp. Phép biến hình ω =f(z) chỉ đơn diệp trên tập E nếu tập này không chứa một cặp điểm z 1 , z 2 nào mà f(z 1 )=f(z 2 ). Nếu phép biến hình ω =f(z) từ E lên ∆ là đơn diệp, thì với mỗi điểm ω∈ ∆ , có thể cho tương ứng một và chỉ một điểm z ∈ E sao cho f(z)= ω . Vậy trên tập E, xác định hàm số z= ϕ ( ω ), gọi là hàm ngược của hàm ω =f(z). Hàm ngược này cũng là một hàm đơn trị. Nếu phép biến hình ω =f(z) không đơn diệp trên tập E, thì mỗi điểm ω∈ ∆ có thể cho tương ứng một hoặc nhiều giá trị z ∈ E sao cho f(z)= ω . Trong trường hợp này, trên tập ∆ xác định một hàm ngược đa trị. - Ví dụ: Hàm ω =z n biến mặt phẳng phức z lên cả mặt phẳng phức ω . NHưng phép biến hình này không đơn diệp vì ứng với mỗi ω có n căn bậc n là z 1 , z 2 ,…, z n khác nhau sao cho: (z k ) n = ω với nk ,1= Miền E: 0<argz<2 π /n là một miền đơn diệp của hàm ω =z n . Ảnh ∆ của nó qua phép biến hình là cả mặt phẳng phức ω , trừ đi phần dương của trục thực. Ta còn nói: ∆ là mặt phẳng phức bỏ đi lát cắt dọc theo nửa trục thực dương (quay ước bờ trên của lát cắt Khoa khoa học cơ bản 10 [...]... = ω dz * Hàm số ω=x + 2y + i(2x + y) không có đạo hàm tại mọi điểm vì: Ta có: u= x + 2y, v = 2x + y Suy ra: u’x = 1 = v’y nhưng u’y =2≠-v’x =-2 1.8 Các quy tắc tính đạo hàm Vì định nghĩa đạo hàm của hàm biến phức giống như định nghĩa đạo hàm của hàm biến thực, nên các phép tính đạo hàm của tổng, tích, thương, hàm hợp hoàn toàn tương tự như đối với hàm thực Giả sử các hàm f(z) và g(z) có đạo hàm tại... - Hàm ω=excosy+iexsiny giải tích trong toàn C 1.10.3 Tính chất của hàm giải tích Tổng, tích của hai hàm giải tích là một hàm giải tích, thương của hai hàm giải tích là một hàm giải tích trừ tại những điểm làm mẫu số triệt tiêu; hợp của hai hàm giải tích là một hàm giải tích; hàm ngược của một hàm giải tích là một hàm giải tích; hàm ngược của một hàm giải tích đơn diệp có đạo hàm khác không là một hàm. .. = 1,543 1.16 Hàm Hypebol 1.16.1 Định nghĩa Khoa khoa học cơ bản 25 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Các hàm hypebol biến phức được định nghĩa theo những công thức: chz = e z + e−z e z − e−z shz chz ; shz = ; thz = ; cthz = 2 2 chz shz (1.43) Những hàm này là thác triển của các hàm hypebol biến thực từ trục thực ra mặt phẳng phức Hàm chz là hàm chẵn, còn shz, thz và cothz là những hàm lẻ Vì ez.. .Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace ứng với tia argz = 0, bờ dưới của lát cắt là ảnh của tia argz=2π/n) Miền 2π 4π < arg z < n n cũng là một miền đơn diệp khác của hàm ω=zn 1.5 Giới hạn của hàm biến phức Định nghĩa giới hạn và liên tục của hàm biến phức cũng tương tự như hàm biến thực 1.5.1 Định nghĩa 1 Giả sử f(z) là một hàm số xác định trong một lân cận của... những hàm có đạo hàm, thì đạo hàm của hàm hợp ω=f[ϕ(ζ)] là: dω dω dz = dξ dz dξ Nếu f(z) là hàm đơn diệp có hàm ngược là h(ω), thì: f ' ( z) = 1 ; h' ( z ) ≠ 0 h' ( z ) 1.9 Ý nghĩa hình học của Khoa khoa học cơ bản 16 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Giả thiết hàm ω=f(z) có đạo hàm tại mọi điểm trong một lân cận điểm z0 và f’(z0) 1.9.1 Ý nghĩa hình học của Argf’(z0) Cho phép biến hình ω=f(z) biến. .. cos z sin z sin y = e − e  2i  (1.41) Vì eiz và e-iz là những hàm đơn trị, nên các hàm lượng giác biến phức cũng là những hàm đơn trị 1.5.2 Đạo hàm của hàm lượng giác Vì e-iz và eiz là những hàm giải tích trong toàn C nên ω=sinz và ω=cosz cũng là những hàm giải tích trong toàn C Ta có : Khoa khoa học cơ bản 24 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace ( sin z ) ' = [( ) ( ) ] [ ] ( ) 1 iz 1 iz 1 e '−... 2 3 2 2  1.18 Hàm hypebol, ngược Ta gọi ω =Arcshz là hàm ngược của z=shω ω =Arcchz là hàm ngược của z=chω ω =Arcthz là hàm ngược của z=thω Khoa khoa học cơ bản 27 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Biểu diễn các hàm này qua loga, ta có: ) ( ) ( Arcshz = Ln z + 1 + z 2 ; Arcchz = Ln z + − 1 + z 2 ; Arcthz = 1 1+ z Ln 2 1− z 1.19 Hàm luỹ thừa phức tổng quát ω =zn Giả sử a là một số phức bất kỳ, a=α... là dạng của tích phân Fourier của hàm f(t) 1.11 Ứng dụng số phức trong tính toán mạch điện 1.11.1 Điện thế phức, cường độ phức 1.11.1.1 Định nghĩa Giả sử điện thế là một hàm hình sin của thời gian t: V(t) Khoa khoa học cơ bản = 30 V*sin(ωt (1.57) + ϕ) Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace V* được gọi là biên độ, ϕ là pha ban đầu, ω là mạch số Ứng v(t) với hàm phức biến số thực xác định như sau: V(t)... các hàm lượng giác và hàm hypebol Ta có: sinz = sin (x+iy)= sinxcosiy + siniycosx = sinx.chy + ishy.cosx Tương tự : cosz = cosxchy – ishx.shy; shz = shx.cosy + isiny.chx (1.45) chz = chx.cosy + isinx.shy 1.16.5 Đạo hàm của hàm hypebol Các hàm ω = shz và ω = chz giải tích trong toàn mặt phẳng và có đạo hàm: (shz)’ = chz; (chz)’ = shz Khoa khoa học cơ bản 26 Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Hàm. .. nghĩa đạo hàm của hàm một biến thực Song điều khác cơ bản ở đây là là người ta đòi hỏi chặt chẽ hơn: tỷ số ∆ω phải có ∆z cùng một giới hạn xác định khi ∆z→0 theo mọi cách Từ định nghĩa trên, tương tự như giải tích thực, dễ dàng suy ra rằng nếu hàm ω=f(z) có đạo hàm tại điểm z, thì nó liên tục tại đó Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm ω=z2 tại điểm z Khoa khoa học cơ bản 12 Hàm biến phức và phép biến đổi . Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace PHẦN I: HÀM BIẾN PHỨC CHƯƠNG I: HÀM BIẾN PHỨC. ĐẠO HÀM CỦA HÀM BIẾN PHỨC Trong giải tích: số thực bao gồm số hữu. đạo hàm của hàm biến phức giống như định nghĩa đạo hàm của hàm biến thực, nên các phép tính đạo hàm của tổng, tích, thương, hàm hợp hoàn toàn tương tự như đối với hàm thực. Giả sử các hàm f(z). 2 2 2 2 2 2 2 2 2222 2 22 z zzzzzzzz i zz i zz = − + + =         −         + +         + +         + = ω 1.3. Phép biến hình thực hiện bởi một hàm biến phức Để biểu diễn hình học của một hàm số thực biến số thực, thì ta vẽ đồ thị của hàm số đó. Để mô tả hình học của một hàm biến phức, không thể