tài liệu hàm biến phức

Do vậy người ta đưa ra khái niệm số phức cũng như xác định các phép toán về số phức phải đạt được yêu cầu: sao cho các số thực và các phép toán trên tập các số thực có xem số thực như là

PHẦN I: HÀM BIẾN PHỨC CHƯƠNG I: HÀM BIẾN PHỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM BIẾN PHỨC

Trong giải tích: số thực bao gồm số hữu tỷ và số vô tỷ Bình phương của mọi số thực đều không âm, có thể lấy căn bậc hai, nhưng đối với số âm không thể lấy căn bậc hai và không giải mọi phương trình bậc hai với hệ số thực Do vậy người ta đưa ra khái niệm số phức cũng như xác định các phép toán về số phức phải đạt được yêu cầu: sao cho các số thực và các phép toán trên tập các số thực có xem số thực như là trường hợp riêng của số phức và các phép toán trên tập các số phức

1.1.Khái niệm về miền và biên của miền

Nếu: y = 0 thì z = x: số thực là trường hợp riêng của số phức

Nếu: x = 0 thì z = iy: số thuần túy ảo

Liên hợp phức của z, kí hiệu là: z=x−iy

Số phức đối của z là: -z = -x-iy

1 1 1

iy x z

iy x z

2 1

y y

x x

1 1 1

iy x z

iy x z

Gọi z = x+iy là tổng của z 1 và z 2 : z = z 1 + z 2

2 1

y y

y

x x

i z

35

3

2

1

thì z = z 1 + z 2 = (3+5) +i(1-3) = 8-2i b) Phép trừ

Gọi x là hiệu của z 1 và z 2 nếu z + z 2 = z 1

=+

2 1

2 1 1

2

1 2

y y y

x x x y y y

x x

x

Vậy trừ hai số phức ta trừ phần thực cho nhau và phần ảo cho nhau:

z=z 1 -z 2 =(x 1 -x 2 ) +i(y 1 -y 2 ) c) Phép nhân

1,01

1

2 2

1 1

2

1

y x

y x

z z

Khi đó: z 1 z 2 = i.i = i 2 = -y 1 y 2 = -1

Như vậy: i 2 = -1 được suy ra từ phép nhân hai số phức, không phải từ định nghĩa

số phức và nhân giống như số thực nhưng chú ý i 2 = -1

i z

35

3

2 1

Thì z = z 1 z 2 = (3+i)(5-3i) = (3.5 -1(-3)) + i(3(-3) + 5.1) = 18 - 4i

d) Phép chia

Nếu z 2 = x 2 + iy 2≠ 0

Thì z = x + iy sao cho z.z 2 = z 1

−

1 2 2

1 2 2

y y x xy

x yy xx

đây là hệ phương trình bậc 1 hai ẩn số x, y

Khi đó, ta có các định thức của hệ:

2 1 1 2 1 2

1 2

2 1 2 1 2 1

2 1

2 2

2 2 2 2

2 2

y x y x y y

x x

y y x x x y

y x

y x x

2 2

2 1 1 2

2 2

2 2

2 1 2 1

y x

y x y x y

y x

y y x x x

y x

Vậy:

y x

y x y x i y y x x z

z

+

−+

2 1 1 2 2 1 2 1 2 1

Khi đó: gọi mặt phẳng xOy là mặt phẳng phức C

Đồng nhất số phức z với M là tọa vị của nó

Đồng nhất số phức z với mặt phẳng phức C

Các điểm thuộc trục Ox biểu diễn những số phức có y = 0 thì gọi là trục thực

Các điểm thuộc trục Oy biểu diễn những số phức thuần ảo có x = 0 thì gọi là trục

ảo

Đặt OM→ =V→, biểu diễn số phức z = x+iy bởi vectơ (x+iy)V→

Vậy: hai số phức có cùng tọa vị…

Hai số phức liên hợp có tọa vị đối xứng qua Ox

Hai số phức đối nhau có tọa vị đối xứng qua O.

b) Modun và argument của số phức.

Cho số phức z = x+iy có tọa vị M

Gọi độ dài r= OM→` là môdun của z ký hiệu là z

Góc lượng giác giữa 

c) Liên hệ giữa phần thực, phần ảo, modun và argument của số phức

Chiếu OM→ lên các trục tọa độ, ta có:

y x r r

y

r x

ϕϕ

sincos

(1.4)Giá trị của ϕ chọn sao cho cosϕ cùng dấu với x

- Ví dụ: z =1+i ⇒ tgϕ = 1 ⇒ϕ = π/4

z = -1-i ⇒ tgϕ = -1 ⇒ϕ = 3π/4

Tọa vị của z thuộc trục Ox(+) thì ϕ = 0

Tọa vị của z thuộc trục Ox(-) thì ϕ = π

Tọa vị của z thuộc trục Oy(+) thì ϕ = π/2

Tọa vị của z thuộc trục Oy(-) thì ϕ = -π/2

z = 0 thì argz không xác định

c) Dạng lượng giác của số phức

Nếu biểu diễn phần thực và phần ảo của số phức theo r và ϕ thì ta được:

z = x+iy = r(cosϕ + i sinϕ)

(1.5)

Công thức (1.4) được gọi là dạng lượng giác của số phức z = x + iy

Ví dụ: Hãy biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác

3cos24

- Định lý 1: Tích của hai số phức có modun bằng tích các modun của các thừa số và có

argumen bằng tổng các argumen của các thừa số.

sincos

sincos

z

i r

[cos( ) sin( )]

)sincoscos

.(sin)

sinsincos

.(cos

)sincos

)(

sincos

1

2 2

1 1

2

1

ψϕψ

ϕ

ψϕψ

ϕψ

ϕψ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

++

+

=

++

−

=

++

=

i r

r

r ir r

r

ir r

ir r

z

z

- Định lý 2: Thương của hai số phức có modun bằng thương các modun và có argumen

bằng hiệu argumen của số bị chia và số chia.

[cos( ) sin( )]

2

1 2

1 = ϕ−ψ +i ϕ−ψ

r

r z z

(1.7)

Đặc biệt: nếu z 1 = 1 (ϕ = 0) thì: 1 1 (cos sin )

2 2

[r(cosϕ+isinϕ)]n =r n(cosnϕ+isinnϕ)

Đặc biệt khi r = 1, ta được:

ϕϕ

ϕ

1.1.1.5 Căn bậc n của số phức z dưới dạng lượng giác

Cho số phức z = r(cosϕ+isinϕ) Hãy tìm căn bậc n của số phức z, tức là tìm ξ sao cho: ξn =z, trong đó n là một số nguyên dương cho trước.

Đặt ξ= ρ(cosψ + isinψ), khi đó tìm ρ và ψ sao cho:

ρn (cosnψ + isinnψ) = r(cosϕ+isinϕ)

Do liên hệ giữa giữa modun và argumen của hai số phức bằng nhau, ta có:

2

n k

r k

n

n

πϕψ

ρπϕψρ

k r

)

2cos(

)2

2sin(

)2

2cos(

2sin

2cos

n

k i

n k

n

k i

n

k n

n k i

n

n k

πϕπ

ϕ

ππϕπ

πϕπ

ϕπ

ϕ

++

+

=

+

++

+

+

=+++

++

Cho nên, trong (1.8) lấy k=0, 1, 2, …, n-1

sin4cos2

r i

24cos2

6 0

ππ

Với k=1 thì: =  + + + 3 )

212sin(

)3

212cos(

2

6 1

πππ

π

Với k=2 thì: =  + + + 3 )

412sin(

)3

412cos(

2

6 2

πππ

2cos

sin4

cos

0

ππ

ξ

Với k = 1 thì = + +i + = +i = 2 (−1+i)

24

3sin4

3cos4

2sin4

2cos

1

ππ

πππ

πξ

Với k = 2 thì = + +i + = +i =− 2 ( )1+i

24

5sin4

5cos4

4sin4

4cos

2

ππ

πππ

πξ

Với k = 3 thì = + +i + = +i = 2 ( )1−i

24

7sin4

7cos4

6sin4

6cos

3

ππ

πππ

πξ

1.1.2 Khái niệm về miền và biên của miền

1.1.2.1 Điểm trong của một tập hợp

Giả sử E là một tập điểm trong mặt phẳng phức z và z 0 là một điểm thuộc E Nếu

tồn tại một ε-lân cận của z 0 nằm hoàn toàn trong E, thì z 0 được gọi là điểm trong của tập E.

1.1.2.2 Biên của một tập

Điểm ξ thuộc E hoặc không thuộc E được gọi là điểm biên của tập E và tồn tại

một hình tròn tâm η không chứa một điểm nào của E và những điểm không thuộc E

Tập hợp các điểm biên của tập E, được gọi là biên của tập E Nếu điểm ξ không

thuộc E và tồn tại một hình tròn tâm η không chứa một điểm nào của E, thì η được gọi là

điểm ngoài của tập E.

Ví dụ 1: Xét tập E là hình tròn z <1 Mọi điểm của E đều là điểm trong Biên của E là đường tròn z =1 Mọi điểm η mà η <1 là điểm ngoài của E.

1.1.2.3 Miền

Miền trên mặt phẳng phức là một tập hợp G trên mặt phẳng ấy có hai tính chất

sau:

* G là một tập mở, nghĩa là một tập chỉ gồm những điểm bên trong

* G là một tập liên thông, nghĩa là qua hai điểm tùy ý thuộc G, bao giờ cũng có thể nối chúng với nhau bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong G

Tập G, hợp thêm những điểm biên của nó, được gọi là một miền kín và ký hiệu: G

Miền G được gọi là miền bị chặn nếu tồn tại một hình tròn bán kính R, chứa G ở

bên trong

Ví dụ 2: Phần của mặt phẳng phức giới hạn bởi một đường cong kín liên tục L (hình 1.2)

là một miền Biên của miền là đường cong L Sau này, ta chỉ nói tới những miền G mà

biên của nó gồm một số hữu hạn các đường cong kín Số các đường cong này được gọi là

cấp liên thông của miền G.

Ví dụ 3: Miền G trong hình 1.2 là miền đơn liên, hình 1.2a và 1.2b cho ta những ví dụ về

miền nhị liên Hình 1.2c cho ta ví dụ về miền tam liên

Quy ước: hướng dương trên biên L của miền là hướng mà khi một người đi trên L theo hướng đó, thì phần của miền G kề người đó luôn luôn nằm ở bên trái Trong hình 1.2c, hướng dương trên biên ngoài L 0 là hướng ngược chiều quay của kim đồng hồ, hướng

dương trên các biên tron L 1 và L 2 là hướng thuận chiều kim đồng hồ.

Giá trị của hàm số ứng với z = z 0 , ký hiệu là f(z 0 ) Nếu ứng với mỗi số phức z ∈ E,

ta có nhiều giá trị của ω, thì ta gọi ω là một hàm đa trị Sau này, khi nói tới hàm số mà

không nói gì thêm thì ta hiểu đó là hàm đơn trị

Tóm lại, cho hàm phức ω = f(z), tương đương với cho hai hàm biến thực u=u(x,y),

và v = v(x,y) và hàm ω = f(z) viết dưới dạng:

(1.20a)

Ta có thể chuyển dạng (1.20a) hàm phức cho dưới dạng (1.20) Phép chuyển như vậy được gọi là tách phần thực và phần ảo của hàm phức Ngược lại, cho hàm số dưới dạng (1.20a) cũng có thể chuyển về dạng (1.20).

- Ví dụ: Tách phần thực và phần ảo của các hàm sau:

−++

=+

−

=

−+

−

=+

=

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

1

y x

y v

y x

x u

y x

y i y x

x y

x

iy x iy x iy x

iy x iy

−

=++

+

=+

2 3

3 2 2

3 3 3 2 2

3 3

3

33

33

3

y y x v

xy x

u y

y x i xy x

y i xiy iy x x iy x

2

z z i i

z z y

z z x iy x

z

iy x

4

12

22

2

2 2 2

2

ω

2 2 2 2 2

2 2

22

22

22

z z z z z z z z i z

z i z z

=

−+







 ++

1.3 Phép biến hình thực hiện bởi một hàm biến phức

Để biểu diễn hình học của một hàm số thực biến số thực, thì ta vẽ đồ thị của hàm

số đó Để mô tả hình học của một hàm biến phức, không thể dùng phương pháp đồ thị được nữa mà phải làm như sau:

Giả sử cho hàm biến phức ω = f(z), z ∈ E Lấy hai mặt phẳng phức xOy (mặt phẳng z) và mặt phẳng phức uO 1 v (mặt phẳng ω) Ứng với mỗi điểm z 0∈ E, hàm ω=f(z)

xác điểm ω0 =f(z 0 ) trong mặt phẳng ω Cho nên về mặt hình học, hàm ω=f(z) xác định một phép biến hình từ mặt phẳng z vào mặt phẳng ω.

Điểm ω0 được gọi là ảnh của điểm z 0 , điểm z 0 gọi là nghịch ảnh của điểm ω0

- Ví dụ: Cho hàm ω = z 2 Hãy tìm ảnh của:

- Ví dụ: Tìm nghịch ảnh của đường tròn:

2

12

12

−++

=+

−

=

−+

−

=+

=

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

1

y x

y v

y x

x u

y x

y i y x

x y

x

iy x iy x iy x

iy x iy

x

ω

Khi đó: x+y-1=0, đây là nghịch ảnh cần tìm.

1.4 Hàm ngược

Cho hàm ω=f(z) xác định và đơn trị trong miền E Gọi ∆ là ảnh của miền E qua

phép biến hình ω=f(z) Như vậy mỗi điểm z ∈ E có ảnh duy nhất ω∈ ∆ Nhưng ngược

lại, cho trước điểm ω∈∆, có thể có một hoặc nhiều điểm thuộc E là nghịch ảnh của ω.

Nếu phép biến hình ω=f(z) là tương ứng một một, thì hàm số ω=f(z) được gọi là đơn diệp trên E.

1.4.1 Định nghĩa

Cho hàm ω=f(z) xác định trên tập E Nếu ánh xạ f là đơn ánh, nghĩa là nếu giá trị của hàm số tại hai điểm khác nhau của tập E là khác nhau, thì hàm số được gọi là đơn diệp trên tập E.

Phép biến hình tạo nên bởi một hàm đơn diệp, được gọi là phép biến hình đơn diệp Phép biến hình ω=f(z) chỉ đơn diệp trên tập E nếu tập này không chứa một cặp điểm z 1 , z 2 nào mà f(z 1 )=f(z 2 ).

Nếu phép biến hình ω=f(z) từ E lên ∆ là đơn diệp, thì với mỗi điểm ω∈ ∆, có thể

cho tương ứng một và chỉ một điểm z ∈ E sao cho f(z)= ω Vậy trên tập E, xác định hàm

số z=ϕ(ω), gọi là hàm ngược của hàm ω=f(z) Hàm ngược này cũng là một hàm đơn trị.

Nếu phép biến hình ω=f(z) không đơn diệp trên tập E, thì mỗi điểm ω∈ ∆ có thể

cho tương ứng một hoặc nhiều giá trị z ∈ E sao cho f(z)= ω Trong trường hợp này, trên

tập ∆ xác định một hàm ngược đa trị

- Ví dụ: Hàm ω=z n biến mặt phẳng phức z lên cả mặt phẳng phức ω NHưng phép biến

hình này không đơn diệp vì ứng với mỗi ω có n căn bậc n là z 1 , z 2 ,…, z n khác nhau sao cho:

(z k ) n = ω với k =1,n Miền E: 0<argz<2π/n là một miền đơn diệp của hàm ω=z n Ảnh ∆ của nó qua phép biến hình là cả mặt phẳng phức ω, trừ đi phần dương của trục thực Ta còn nói: ∆ là mặt phẳng phức bỏ đi lát cắt dọc theo nửa trục thực dương (quay ước bờ trên của lát cắt

ứng với tia argz = 0, bờ dưới của lát cắt là ảnh của tia argz=2π/n) Miền

n

z n

π

arg

2 < <

cũng là một miền đơn diệp khác của hàm ω=z n

1.5 Giới hạn của hàm biến phức

Định nghĩa giới hạn và liên tục của hàm biến phức cũng tương tự như hàm biến thực

1.5.1 Định nghĩa 1

Giả sử f(z) là một hàm số xác định trong một lân cận của điểm z 0 (có thể trừ tại

điểm z 0 ) Ta nói số phức A là giới hạn của f(z) khi z dần tới z 0 , nếu khi z−z0 →0 thì

0 0

y x v

y

y x x

1.5.2 Định nghĩa 2

Số phức A là giới hạn của hàm ω=f(z) khi z dần tới ra vô cùng, nếu khi z →+∞

thì f(z)−A →0, nói khác đi với mọi ε>0 cho trước, luôn luôn tồn tại một số R>0 để khi R

z > thì f )(z −A <ε

Ta kí hiệu là: z f z = A

∞

→ ( )lim

1.5.3 Định nghĩa 3

Hàm ω=f(z) dần ra vô cùng khi z dần tới z 0 , nếu khi z−z0 →0 thì f (z) →∞, nói

khác đi với mọi số M>0 cho trước lớn tùy ý, luôn luôn tồn tại một số δ để khi z−z0 <δ

Hàm ω=f(z) dần ra vô cùng khi z dần tới ∞, nếu khi z →+∞ thì f (z) →+∞, nói

khác đi với mọi số M>0 cho trước lớn tùy ý, luôn luôn tồn tại một số R>0 để khi z >R

1.6.1 Định nghĩa

Giả sử ω=f(z) là một hàm số xác định trong một miền chứa điểm z 0

Hàm số ω=f(z) được gọi là liên tục tại z 0 , nếu:

)()(

0

z f z f

Ví dụ: Hàm ω=z 2 liên tục trong toàn mặt phẳng phức vì phần thực u=x 2 -y 2 và phần ảo

v=2xy luôn luôn liên tục.

Nhận xét: Vì định nghĩa giới hạn và liên tục ở đây hoàn toàn tương tự như trong

giải tích thực, nên về các tính chất của giới hạn, các phép tính của giới hạn, ta cũng có những kết quả tương tự

1.7 Định nghĩa đạo hàm

1.7.1 Định nghĩa

Cho hàm ω=f(z) xác định trong một miền chứa điểm z= x +iy.

Cho z một số gia ∆z= ∆x +i∆y

Gọi ∆ω là số gia tương ứng của hàm: ∆ω = f(z+∆z) – f(z).

Xét tỷ số

z

∆

∆ω

nếu khí ∆z→0, tỷ số đó dần tới một giới hạn xác định, thì giới hạn

ấy được gọi là đạo hàm của hàm số ω tại điểm z và được ký hiệu là f’(z) hoặc ω’(z) hay dz

dω

Ta có:

z

z f z z f z

z f

z

−

∆+

limlim

)('

0 0

cùng một giới hạn xác định khi ∆z→0 theo mọi cách.

Từ định nghĩa trên, tương tự như giải tích thực, dễ dàng suy ra rằng nếu hàm

ω=f(z) có đạo hàm tại điểm z, thì nó liên tục tại đó.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm ω=z 2 tại điểm z.

Ta có: ∆ω=(z+∆z) 2 -z 2 =2z∆z+∆z 2 ; z z

z = +∆

∆

∆2ω

Khi ∆z→0 thì vế phải của (*) có giới hạn là 2z Vậy: z

dz

d

2

=ω

Ví dụ 2: Cho hàm ω =z =x−iy Xét xem hàm số có đạo hàm tại điểm z=x+iy không? Cho z một số gia ∆z= ∆x +i∆y Số gia tương ứng của ω là:

y i x z z z z z z

ωω

hạn khác nhau Vậy hàm số đã cho không có đạo hàm tại mọi điểm z.

Qua ví dụ này, một vấn đề đặt ra là: cho hàm ω = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) Hỏi

những điều kiện nào thì hàm ω = f(z) có đạo hàm tại điểm z=x+iy? Để trả lời câu hỏi

u y

v x

(1.11) được gọi là các điều kiện Cauchy-Riemann.

Ngược lại, nếu các hàm số u(x, y) và v(x, y) có các đạo hàm riêng liên tụa tại điểm (x, y), thỏa mãn điều kiện C-R, thì hàm ω = f(z) có đạo hàm f’(z) tại điểm z = x+iy và

được tính theo công thức:

f’(z) = u’ x +iv’ x

1.7.2.2 Chứng minh

Giả thiết f’(z) tồn tại, nghĩa là giới hạn của tỷ số:

[ ] [ ]

y i x

v i u y

i x

y x v y y x x v i y x u y y x x u

y i x

y x v y x u y y x x iv y y x x u z

∆+

∆

∆+

∆

=

∆+

∆

−

∆+

∆++

−

∆+

∆+

=

∆+

∆

−

−

∆+

∆++

∆+

∆+

=

∆

∆

),(),

(),(),

(

),(),(),

(),

(ω

Bằng f’(z) khi ∆z→0 theo mọi cách Đặc biệt, khi ∆z=∆x, thì

x

v i u z

x x

∆

∆+

u z

x x

∆

∆+

x

v i x

u z f

∂

∂+

∂

∂

=)('

(1.23)

Tương tự khi ∆z=i∆y (∆x=0) thì

y

u i y i

v y

i

v i u z

y y

y y

v z f

(1.24)

So sánh (1.12) và (1.13) ta có:

y

u i y

v x

v i x

u

∂

∂+

∂

∂

, so sánh phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo của hai số phức này, ta có:

v y

v x

u

- Điều kiện Cauchy Riemann

- Chứng minh điều kiện đủ:

Giả thiết u(x, y) và v(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm (x, y) và các đạo hàm riêng đó thỏa mãn điều kiện C-R Ta sẽ chứng minh

v i u

z ∆ + ∆

∆+

Từ giả thiết ta suy ra u(x, y) và v(x,y) khả vi nghĩa là:

∆+

∆

∂

∂+

∆+

∆

∂

∂+

y y

v x x

v v

y x

y y

u x x

u u

2 1

2 1

ββ

αα

Trong đó α1 , α2 , β1 , β2 →0 khi ∆x→0, ∆y→0 (tức là ∆z→0) thay vào (1.20) các

kết quả này, ta có:

y i x

y i x

i y

i x

y y

v i x x

v i y y

u x x u

y i x

y x

y y

v x x

v i y x

y y

u x x u z

∆+

∆

∆++

∆++

∆+

∆

∆

∂

∂+

∆

∂

∂+

∆

∂

∂+

∂+

∆

∂

∂+

∆+

∆+

∆

∂

∂+

1

2 1

2 1

βαβ

α

ββ

αα

∆+

∂

∂

∆+

∆

∂

∂+

∆

∂

∂+

u y i x

y

u y i x x

u y i x

y x

u i x y

u i y y

u x x

u y y

v i x x

v i y y

u x x u

Vậy:

y i x

y i x

i y

u i x

u

∆++

∆++

x i

y x

x y

i x

x y

i x

∆+

∆

∆+

≤

∆+

∆

∆

=

∆+

∆

∆

=

∆+

∆

∆+

y i x

x

iβα

Tương tự, ta chứng minh được rằng:

∆+

∆

∆+

y i x

y

iβα

Cho nên nếu cho ∆z→0 (theo mọi cách), thì vế phải của (1.26) sẽ có giới hạn là

* Hàm số ω=x + 2y + i(2x + y) không có đạo hàm tại mọi điểm vì:

Giả sử các hàm f(z) và g(z) có đạo hàm tại điểm z Khi đó:

[f(z) + g(z)]’=f’(z) + g’(z) [f(z).g(z)]’=f’(z) g(z) + f(z) g’(z)

)(

)(')

()()

('')(

)(

2 z g

z g z f z g z f z g

ω

d

dz dz

d d

;)('

1)(

z h z f

1.9 Ý nghĩa hình học của