Tài liệu PT SỐ PHỨC 1điểm dễ dàng

Chuyên đề: Giải phương trình trên tập số phức thi tn A. Đề bài : 1. Giải các phương trình sau: a) iz+2- i = 0 b) (2+3i).z = z-1 c) (2-i). z - 4 = 0 d) z - 2 +3i = 0 2. Giải phương trình tích : a) ( (2-i). z +3+i).(iz+ 1 2i ) = 0 b) (z-2i).(z+2i) = 0 3. Giải các phương trình sau : a) z 2 =z+1 b) z 2 +(1-3i).z-2(1+i) = 0 c) z 2 +4 = 0 d) z 2 +2z+5 = 0 4. Giải phương trình : z+ 1 z = k với k thứ tự bằng 1; 2 ; 2i . 5. Giải các phương trình : a) z 3 +1 = 0 b) z 3 +i = 0 c) z 4 -1 = 0 d) z 4 +4 = 0 6. Tìm các số thực b, c để phương trình ( ẩn z) : z 2 +bz+c = 0 nhận số phức z 0 = 1+i làm nghiệm. 7. Tìm các giá trị thực a, b, c để phương trình : z 3 +az 2 +bz+c = 0 Nhận z 1 =1+i và z 2 =2 làm nghiệm. 8. Tìm các số thực a, b để có phân tích : 2z 3 -9z 2 +14z-5 = (2z-1)(z 2 -az+b) Rồi giải phương trình : 2z 3 -9z 2 +14z-5 = 0. 9. Tìm các số thực a, b để có phân tích : z 4 -4z 2 -16z-16 =( z 2 -2z-4) (z 2 +az+b) Rồi giải phương trình: z 4 -4z 2 -16z-16 = 0 10. Giải phương trình : z 4 -z 3 + 2 2 z +z+1 = 0 bằng cách đặt ẩn phụ ω=z- 1 z 11. Giải các phương trình sau : (z 2 +3z+6) 2 +2z(z 2 +3z+6)-3z 2 = 0 12. Tìm số thực a, b để có phân tích : f(z) =z 4 -4z 3 +7z 2 -16z+12 =(z 2 +4)(z 2 +az+b) Từ đó giải phương trình : f(z) = 0 13. Giải phương trình : z 4 -5z 3 +8z 2 -10z+12 = 0 14. Giải phương trình : z -iz = 1-2i 15. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời : 1z z i - - = 1 và 3 1 z i z i - = + 16. Tìm số phức z thỏa mãn : 4 z i z i æ ö + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - è ø = 1 B.Hướng dẫn giải và đáp số; 1. a) đs : z= 1+2i b) z= 1 10 - (1-3i) 1c) Cách 1 : Gọi z=x+yi với x.y ∈ R.⇒ z =x-yi (2-i) (x-yi) -4=0 ⇔ (2x-y-4)+(-x-2y)i = 0 ⇔ 2 4 2 0 x y x y ì ï - = ï í ï + = ï î ⇔ 8 5 4 5 x y ì ï ï = ï ï ï í ï ï = - ï ï ï î Vậy z = 8 4 5 5 i- Cách 2 : sử dụng các kết quả : z 1 =z 2 ⇔ 1 2 z z= và 1 2 1 2 . .z z z z= , ta có : (2-i) z -4=0 ⇔ (2 ). 4i z- = ⇔ (2 ).i z- =4 ⇔ (2+i).z=4⇔z= 4 8 4 8 4 2 5 5 5 i i i - = = - + 1d) z -2+3i=0⇔ z= 2 3i- ⇔ z =2+3i 2a) ( (2-i) . z +3+i).(iz+ 1 2i ) = 0 ⇔ (2 ). 3 0 1 0 2 i z i iz i é - + + = ê ê ê + = ê ë Để giải phương trình : (2-i). z +3+i =0 ta sử dụng kết qủa : 1 2 1 2 z z z z+ = + (2-i). z +3+i =0 ⇔ (2+i).z+3-i = 0 ⇔ z = 3 2 i i - + + ⇔ z =-1+i Phương trình : iz+ 1 2i =0⇔ -z+ 1 2 =0 ⇔ z = 1 2 đs : z 1 =2+3i , z 2 = 1 2 2b) đs: z=± 2i 3. a) đs : z = 1 2 ± 5 2 b) D =(1-3i) 2 +8(1+i)=2i =(1+i) 2 . ⇒một căn bậc hai của D bằng 1+i phương trình có hai nghiệm là z= 1 3 (1 ) 2 i i- + ± + hay 1 2 1 2 z i z i é = - + ê ê = ê ë c) z 2 +4 = 0⇔ z 4 -4i 2 = 0 ⇔(z 2 -2i)(z 2 +2i) = 0⇔ 2 2 2 2 z i z i é = ê ê = - ê ë vậy z 1 =1+i, z 2 =-1-i, z 3 = 1-i, z 4 =-1+i d) z 2 +2z+5 = 0⇔ z 2 +2z+1=-4⇔(z+1) 2 =4i 2 ⇔ z 1 =- 1+2i, z 2 =- 1-2i Có thể tính : D ’=1-5 =-4. ∂ =z+yi là một căn bậc hai của D ’ ⇔ả 2 =-4 ⇔ 2 2 4 2 0 x y xy ì ï - = - ï ï í ï = ï ï î ⇔ 2 2 2 2 4 ( 4) 0 y x x x ì ï = + ï ï í ï + = ï ï î ⇔ 0 2 x y ì ï = ï í ï = ± ï î ⇒ ả =±2i Vậy z 1 =-1+2i, z 2 = -1-2i 4. z+ 1 z = k ⇔ z 2 -kx +1=0 ⇔ (z- 2 k ) 2 = 2 4 4 k - ⇔z= 2 k ± 2 ¶ Với ả là một căn bậc hai của k 2 -4⇔ả 2 =k 2 -4 • Với k=1 thì ả 2 =-3=3i 2 ị ả=i 3 . Vậy z= 1 2 ± 3 2 i • Với k= 2 thì ả 2 =-2 =2i 2 ịả=i 2 . Vậy z = 2 2 (1±i) • Với k=2i thì ả 2 =-8=8i 2 ịả =2 2 i. Vậy z = i± 2 i hay z = (1± 2 )i 5. a) z 3 +1 = 0 ⇔ (x+1)(z 2 -z+1) = 0 ⇔ (z+1)[ (z- 1 2 ) 2 + 3 4 ] = 0 1 1 3 2 2 z z i é = - ê ê ê = ± ê ë b) đs : z 1 =i , z 2 = 3 2 - 1 2 i , z 3 =- 3 2 - 1 2 i c) đs : z =± 1 , z =± i d) đs : z 1,2 =1±i , z 3,4 =-1±i 6. Giải : vì z 0 =1+i là nghiệm của phương trình , nên ta có : (1+i) 2 +b(1+i) +c = 0 ⇔ (b+c)+(2+b)i = 0 ⇔ 0 2 0 b c b ì ï + = ï í ï + = ï î ⇔b=-2; c=2 7. Xác định a, b , c từ hệ phương trình: 3 2 (1 ) (1 ) (1 ) 0 8 4 2 0 i a i b i c a b c ì ï + + + + + + = ï ï í ï + + + = ï ï î Trừ từng vế hai phương trình, ta được: (1+i)[2i+(1+i)a+b]=8+4a+2b (-3a-b-8)+(2a+b+2)i=0 ⇔ 3 8 2 2 a b a b ì ï + = - ï í ï + = - ï î ⇔ 6 10 a b ì ï = - ï í ï = ï î Thay các kết quả của a, b vào phương trình 2 , ta được : c=-4 đs : a=-6 ; b=10 ; c= -4. 8. a) đs : a=-4; b=5 b) phương trình :(2z-1)(z 2 -4z+5) = 0 có ba nghiệm là z=2±i và z= 1 2 9. a) đs : a=2; b=4. b) z 4 -4z 2 -16z-16=0 ⇔(z 2 -2z-4)(z 2 +2z+4)=0 ⇔ 2 2 ( 1) 5 1 5 ( 1) 3 1 3 z z z z i é é - = = ± ê ê Û ê ê + = - ê = - ± ê ë ë 10. z 4 -z 3 + 2 2 z +z+1 = 0 ⇔ (z 4 +1)-(z 3 -z)+ 2 2 z =0. Chia cả hai vế cho z 2 , ta được : (z 2 + 2 1 z ) –(z- 1 z ) + 1 2 =0 ⇔ 2 1 5 0 2 z z w w w ì ï ï = - ï ï ï í ï ï - + = ï ï ï î ⇔ 1 2 1 3 2 2 1 3 2 2 i i w w ì ï ï = + ï ï ï í ï ï = - ï ï ï î Phương trình : z- 1 z = 1 2 + 3 2 i cho nghiệm z 1 =1+i ; z 2 =- 1 2 (1-i) Phương trình : z- 1 z = 1 2 - 3 2 i cho nghiêm z 3 =- 1 2 (1+i) ; z 4 = 1-i 11. (z 2 +3z+6) 2 +2z(z 2 +3z+6)-3z 2 = 0 Ta thấy z≠0 ( vì sao ?). Chia cả hai vế cho z 2 và đặt 2 2 3 6z z t z + + = , Dẫn tới phương trình : t 2 +2t-3 = 0 ⇔t=1 hoặc t=-3. • Với t=1 , ta có : z 2 +3z+6 = z ⇔ z 2 +2z+6 = 0 ⇔ z = -1± 5 i • Với t=-3 , ta có : z 2 +3z+6 = -3z ⇔ z 2 +6z+6 = 0⇔ z = -3 ± 3 12. đs : a = -4 ; b = 3. Phương trình : (z 2 -4z+3)(z 2 +4) = 0⇔ 2 1 2 2 3 4 4 3 0 1; 3 2 ; 2 4 0 z z z z z i z i z é é - + = = = ê ê Û ê ê = = - + = ê ê ë ë 13. z 4 -5z 3 +8z 2 -10z+12 = 0 ⇔ (z 4 -5z 3 +6z 2 )+(2z 2 -10z+12) = 0 ⇔ z 2 (z 2 -5z+6) +2(z 2 -5z+6) = 0 ⇔(z 2 -5z+6)(z 2 +2) = 0 Phương trình có bốn nghiệm là : z 1 =2 ; z 2 =3; z 3 =1+i ; z 4 =-1-i 14. z -iz = 1-2i ⇔ z = 1+(z-2)i Z=x+yi , với x, y Î R . z = 1+(z-2)i 2 2 2 2 1 ( 2) (1 ) ( 2) x y x yi i x y y x i + = + + - + = - + - Vì 2 2 x y+ là một số thực dương , nên (1-y)+(x-2)i là số thực dương. Suy ra : ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 0 (1 ) 2 2 2 1 2 3 2 x x y y x y y y x y ì ï - = ï ï í ï + = - ï ï î ì ï = ï ï í ï + = - + ï ï î ì ï = ï ï ï í ï = - ï ï ï î Vậy : z =2- 3 2 i 15. a) • 1z z i - - = 1 ⇔ 1 ( 1) ( 1)z z i x yi x y i- = - - + = + -Û ⇔ (x-1) 2 +y 2 = x 2 +(y-1) 2 ⇔ x=y (a) • 3 1 3 ( 3) ( 1) z i z i z i z i x y i x y i - = - = +Û + + - = + +Û ⇔ x 2 +(y-3) 2 = x 2 +(y+1) 2 ⇔y = 1 (b) Từ (a) và (b) : z = 1+i 16. 4 z i z i æ ö + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - è ø = 1 ⇔(z+i) 4 = (z-i) 4 ⇔ (z+i) 4 -(z-i) 4 =0 ⇔ [(z+i) 2 +(z-i) 2 ].[(z+i) 2 -(z-i) 2 =0 ⇔ (2z 2 -2)(4zi) = 0 ⇔ 8z 3 i-8zi = 0 ⇔ 8i(z 3 -z) = 0 ⇔ z(z 2 -1) = 0 ⇔ z = 0; z = ± 1 . phương trình : z -iz = 1-2i 15. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời : 1z z i - - = 1 và 3 1 z i z i - = + 16. Tìm số phức z thỏa mãn : 4 z i z i æ ö + ÷ ç. +i = 0 c) z 4 -1 = 0 d) z 4 +4 = 0 6. Tìm các số thực b, c để phương trình ( ẩn z) : z 2 +bz+c = 0 nhận số phức z 0 = 1+i làm nghiệm. 7. Tìm các giá trị