Phát triển năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi trong dạy học giải phương trình, hệ phương trình ở trung học phổ thông

VJE Tạp chí Giáo dục, Số 490 (Kì - 11/2020), tr 24-28 ISSN: 2354-0753 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Nguyễn Anh Thương Article History Received: 01/9/2020 Accepted: 19/10/2020 Published: 20/11/2020 Keywords competencies in solving math problems, equations, system of equations, high school Sở Giáo dục, Khoa học Công nghệ Bạc Liêu Email: nathuong@sobaclieu.edu.vn ABSTRACT Teaching method innovation not only aims to change one-way teaching method and passive students in learning but also focuses on teaching capacity development for students Teachers need to shift the educational process from mainly teaching knowledge to developing students' competencies and qualities This article identifies the manifestations of the student's ability to solve math equations, the system of equations of pretty good and good students, and then proposes some measures to develop the skill of solving equations and systems of equations for good and intelligent students at high school It is expected that the article will be a useful reference for readers in general, particularly for math teachers in the process of fostering good and excellent students at high school Mở đầu Đổi phương pháp dạy học không nhằm mục tiêu thay đổi cách dạy truyền thụ kiến thức chiều, học sinh (HS) thụ động học tập mà trọng dạy học phát triển lực cho HS Nghị số 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 Quốc hội xác định mục tiêu giáo dục phổ thông là: tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, lực công dân, phát bồi dưỡng khiếu (Quốc hội, 2014) Ở trường phổ thơng, mơn Tốn có vai trị, vị trí quan trọng việc góp phần hình thành phát triển tồn diện phẩm chất lực người học Mơn Tốn có tính logic, trừu tượng, khái qt cao Do đó, để hình thành phát triển lực toán học, cần cung cấp kiến thức, kĩ bản, tạo hội để HS trải nghiệm, kết nối ý tưởng tốn học Trong chương trình mơn Tốn THPT, có nhiều nội dung dạy học mà giáo viên (GV) giúp HS khá, giỏi có hội phát triển lực giải tốn Với dạng tốn phong phú giải phương trình (PT) hệ phương trình (HPT), báo đề xuất số biện pháp phát triển lực giải toán cho HS khá, giỏi dạy học giải PT, HPT Kết nghiên cứu 2.1 Khái niệm “Năng lực” “Năng lực giải toán” - Năng lực: Năng lực phạm trù sử dụng lĩnh vực đời sống xã hội Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018 Bộ GD-ĐT xác định: “Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, thực thành cơng loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” (Bộ GD-ĐT, 2018a) Từ quan niệm trên, rút đặc điểm lực gồm: - Là kết hợp tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện người học; - Là kết huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, để thực thành công công việc bối cảnh định Biểu lực biết sử dụng nội dung kĩ thuật tình có ý nghĩa khơng phải tiếp thu lượng tri thức rời rạc; - Được hình thành, phát triển thông qua hoạt động thể thành công hoạt động thực tiễn - Năng lực giải toán: Nguyễn Thị Hương Trang (2002) cho rằng: Năng lực giải toán khả áp dụng tiến trình phát giải vấn đề vào giải tốn cụ thể, địi hỏi phương thức tiếp cận sáng tạo tính hướng đích cao, nhằm đạt kết sau thực hoạt động giải toán Theo Đỗ Thị Trinh (2017): Năng lực giải Toán phần lực toán học, bao gồm tổ hợp kĩ năng, đảm bảo thực hoạt động giải toán cách hiệu sau số bước thực Theo chúng tôi, lực giải tốn thuộc tính cá nhân, đáp ứng u cầu giải 24 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 490 (Kì - 11/2020), tr 24-28 ISSN: 2354-0753 thành công vấn đề toán học dựa vào tố chất sẵn có, huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm lĩnh vực toán học thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, niềm đam mê,… Để có lực giải tốn, HS cần rèn luyện tư phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,… 2.2 Những biểu lực giải toán học sinh khá, giỏi trường trung học phổ thông dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình PT HPT nội dung có vai trị quan trọng chương trình mơn Tốn THPT, thường xuất đề thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPT quốc gia thi chọn HS giỏi cấp, đặc biệt PT, HPT nội dung cấu trúc đề thi chọn HS giỏi cấp tỉnh cấp quốc gia Hơn nữa, PT HPT đa dạng, phong phú dạng phương pháp giải; tập PT, HPT có nhiều cách giải khác nhau, cách giải có ý nghĩa việc rèn luyện, phát triển lực giải toán cho HS Khi gặp dạng toán này, đề thi chọn HS giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, khơng HS lúng túng khơng biết phân tích toán theo hướng nào, nên biến đổi sao, cách giải nào,… Do đó, PT, HPT nội dung quan trọng, giúp HS khá, giỏi rèn luyện phát triển lực giải toán cách hiệu Năng lực giải toán HS khá, giỏi trường THPT thể hiện: - Có tính độc lập độc đáo cao giải toán; biết tìm tịi thêm nhiều lời giải, huy động hiệu kiến thức vào q trình giải tập; - Có khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, hợp lí, tối ưu lời giải; - Có khả phân tích, phản biện tổng hợp kiến thức từ toán cụ thể đến toán tổng quát hơn, từ tốn có số yếu tố tổng qt đến tốn có nhiều yếu tố tổng qt thơng qua thao tác trí tuệ như: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, hệ thống hóa, đặc biệt hóa,…; - Có khả vận dụng kiến thức tốn học làm cơng cụ để giải tình thực tiễn, có khả tự học cao, tự tìm tịi, nhận thức vận dụng kiến thức vào tình tương tự với chất lượng cao Trong dạy nội dung PT, HPT, biểu cụ thể lực giải toán HS khá, giỏi thường gồm: - Đề xuất cách giải lạ, độc đáo đặt vấn đề, câu hỏi sáng tạo - Có khả thay đổi phương thức hành động để giải vấn đề phù hợp với thay đổi điều kiện, có khả xác lập phụ thuộc kiện toán Biểu thể khả phản ứng nhanh HS trước thay đổi kiện - Có óc quan sát, phát nhanh dấu hiệu chung riêng, mau chóng phát “nút thắt” tốn tìm hướng giải vấn đề hợp lí, độc đáo, nhanh gọn, sáng tạo - Có khả chuyển từ trừu tượng, khái quát sang cụ thể ngược lại Đây biểu quan trọng lực giải toán PT, HPT 2.3 Một số biện pháp phát triển lực giải toán cho học sinh khá, giỏi dạy học giải phương trình, hệ phương trình trường trung học phổ thơng 2.3.1 Phát triển lực giải tốn cho học sinh thơng qua rèn luyện thao tác tư cho học sinh Để triển khai biện pháp này, GV thực theo bước sau: Bước 1: GV định hướng cho HS nghiên cứu, trao đổi, thảo luận, đề xuất cách giải tốn Sau đó, HS trình bày lời giải, sửa chữa, hoàn chỉnh lời giải Bước 2: GV rèn luyện phát triển cho HS thao tác tư phân tích, tổng hợp, khái quát cách giải (nếu có) bước giải tốn Bước 3: GV giao cho HS số tập tương tự, dạng trường hợp đặc biệt tập tổng quát nêu bước (bước cho HS thực nhà) Chẳng hạn, GV rèn luyện, phát triển lực khái qt hóa cho HS thơng qua toán sau: 2x 1) Giải PT: x   2  x2 2) Giải PT: x   x x2    x  1 x  x   4 x  ( x   1)( x  y  y  2) 3) Giải HPT:  ( x, y  ) 2 2 ( x  y )  2015 y  2016  x  4032 y Thơng qua tốn trên, HS hình thành, phát triển tư phân tích, tổng hợp; giúp em biết khái qt hóa tốn, phương pháp giải từ ví dụ cụ thể 2.3.2 Tập luyện cho học sinh cách nhìn tốn theo góc độ khác nhau, từ tìm nhiều cách giải cho tốn 25 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 490 (Kì - 11/2020), tr 24-28 ISSN: 2354-0753 Để thực biện pháp này, GV thực theo bước sau: Bước 1: GV cho HS trao đổi, thảo luận để tìm lời giải tốn theo cách khác HS trình bày hồn chỉnh lời giải Trong trường hợp HS chưa tìm cách giải, GV gợi ý, hướng dẫn em cách tiếp cận giải vấn đề để đưa lời giải Bước 2: GV rèn luyện cho HS cách xét tốn theo góc độ khác để tìm nhiều cách giải cho toán Bước 3: GV giao tập tương tự cho HS luyện tập áp dụng (HS thực nhà) Ví dụ: Giải PT: x    x  x2  6x  11 Bước 1: GV cho HS trao đổi, thảo luận để tìm cách giải khác cho tốn Sau đó, HS trình bày lời giải hoàn chỉnh lời giải Bước 2: GV hướng dẫn HS số cách tiếp cận tốn để tìm cách giải khác sau: Cách 1: Điều kiện:  x  Do vế phải x  x  11  ( x  3)2   vế trái x    x  x    x (có dạng ax  by , mà ax  by  a  b2 x  y ), gợi cho ta cách tiếp cận theo hướng sử dụng bất đẳng thức để đánh giá hai vế tìm nghiệm Ta có: x  x  11  ( x  3)2   2, x Đẳng thức xảy x  x    x  12  12 ( x  2)  (4  x)  Đẳng thức xảy x2  4 x  x 3 Vậy, PT có nghiệm x  Cách 2: Từ điều kiện  x   1  x   , gợi cho HS cách tiếp cận theo hướng lượng giác hóa sau: Đặt x   cos t (với t 0;  ), PT cho trở thành: t t   t     cos t   cos t  cos t    cos  sin   cos t   sin     1  cos t  2  2 4  Đến đây, ta thu t   , suy x  Cách 3: Do vế trái PT chứa x    x , mà  x    x     x  x  (xuất biểu thức x  x vế phải) nên gợi cho cách tiếp cận theo hướng đặt ẩn phụ để đưa PT đa thức bậc cao sau: Đặt t  x    x ( t  )    x2  6x  8   t  2 PT cho trở thành: 4t   t  2  12  t  4t  4t    t  2t t  2  4   t  Từ tìm x  PT Bước 3: GV giao tập tương tự cho HS tự giải: Giải PT:  x  x3  24 x   x Cách thực giúp HS hình thành, rèn luyện cách xét tốn theo góc độ khác nhau, từ tìm nhiều cách giải cho tốn 2.3.3 Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải khác lạ, độc đáo cho toán Trong thực tế, thật khó xác định cách có cách giải nào, đáp án, làm nào, cách suy luận, giải lạ, độc đáo cách cụ thể, mà nói lạ độc đáo HS Tùy theo mức độ nhận thức, mức độ tư duy, hiểu biết, kinh nghiệm hay nhiều HS mà xác định mức độ độc đáo tư thể qua làm HS Tính độc đáo phụ thuộc vào cách suy luận, phân tích, khai thác điều kiện đề bài,… Vì vậy, hiểu cách giải độc đáo cách giải khác với thuật giải mà HS biết có khơng từ cách nghĩ bình thường Do vậy, để thực biện pháp này, GV cho HS nghiên cứu, trao đổi, thảo luận, đề xuất cách giải ngắn gọn, độc đáo từ cách giải quen thuộc Sau đó, GV cho HS trình bày lời giải, sửa chữa hồn chỉnh tốn (nếu HS chưa thực được) Với tốn khó, HS chưa biết cách giải, GV đưa cách giải 26 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 490 (Kì - 11/2020), tr 24-28 ISSN: 2354-0753 cho em HS phân tích, suy luận, nhận xét cách giải toán để tìm cách giải mới, sáng tạo thơng qua q trình tư duy, suy luận logic chặt chẽ 2 x  y  y   Ví dụ: Giải HPT: 2 y  z  z  2 z  x3  x   Với tốn này, HS thường gặp khó khăn tìm cách giải GV giới thiệu cho HS cách giải sau:   x  1  y  y  1  HPT cho tương đương với:   y  1  z  z  1   z  1  x  x  1  Đặt x   a , y   b , z   c Hệ cho trở thành: 2a   b  12 b 2a  f (b)  2   2b   c  1 c  2b  f (c) , với f (t )   t  1 t   2c  f ( a )  2c   a  1 a   Dễ dàng nhận thấy a , b , c dấu Xét trường hợp sau: - Trường hợp 1: Cả ba số a, b, c  Khi đó, ta có: f (t )  3t  4t   (3t  1)(t  1)  với t  Do vậy, f (t ) đồng biến với t  Giả sử a  max{a; b; c} Ta có a  b , a  c  f (a )  f (b) , f (a )  f (c)  c  a , c  b Nhưng a  max{a; b; c} nên a  c Tương tự, ta có a  b  c Do đó, ta cần giải PT: 2a  (a  1)2 a  a(a  2a  1)   a  a   (do a  ) Vậy, a  b  c  a  b  c   - Trường hợp 2: Cả ba số a, b, c  1 Ta có: f (t )  3t  4t   (3t  1)(t  1)  , với t  1 Giả sử a  max{a; b; c} , suy luận tương tự, ta được: a  b  c Ta cần giải PT: 2a  (a  1)2 a  a(a  2a  1)   a    (do a  1 ) Vậy, a  b  c    - Trường hợp 3: Cả ba số a, b, c  min{a; b; c}  1 Giả sử a  max{a; b; c}  1  a    (a  1)2   (a  1)2 a  a (do a  )  2c  (a  1)2 a  a , mà a  c nên 2c  c  c  (vơ lí) Vậy HPT có ba nghiệm (a; b; c)  (0;0;0) ; (a; b; c)  (  1;  1;  1); (a; b; c)  (  1;   1;   1) Hay ( x; y; z )  (1;1;1) ; ( x; y; z)   2; 2;  ; ( x; y; z)    2;  2;   GV cho HS nhận xét lời giải yêu cầu em tiếp cận theo hướng khác: Hãy tìm cách giải khác cho tốn này? Có cách giải khác ngắn gọn hay không? GV hướng dẫn HS tiếp cận theo hướng giải sau: Xét hàm số f (t )  t  t  , dễ thấy f (t ) không đơn điệu Tuy nhiên, cộng hai vế PT thứ với y , ta  x  y   y  y  y  Khi đó, vế phải có dạng f (t )  t  t  2t  hàm đồng biến HPT cho tương đương với: 27 Từ đó, HS dễ dàng tìm cách giải sau: VJE Tạp chí Giáo dục, Số 490 (Kì - 11/2020), tr 24-28 ISSN: 2354-0753 2  x  y   y  y  y   2  y  z   z  z  z  2  z  x   x3  x  x   Dễ thấy hàm số f (t )  t  t  2t  đồng biến Giả sử x  max  x; y; z , ta có x  y  f ( x)  f ( y )  x  z  x  y  z  y  f ( z )  f ( y )  y  z  x  y  z  x , suy x  z x  Từ x  z  f ( x)  f ( z )  x  y Vậy x  y  z Khi đó, ta có: x3  x  x     x   Với cách biến đổi này, cách giải toán trở nên đơn giản “độc đáo” Bước 4: GV cho HS tập tương tự: 12 x  11y   x  y   x2  y  1) Giải HPT:   y  x   11x  12 y  x2  y  2) Giải PT: x x    x  x2  Kết luận Năng lực giải toán lực HS q trình học tập mơn Tốn Việc xác định rõ biểu lực giải toán PT, HPT HS khá, giỏi giới thiệu số biện pháp phát triển lực cho HS sở để góp phần bồi dưỡng lực tốn học cho HS khá, giỏi THPT Một số biện pháp đề xuất bước đầu đưa vào giảng dạy thực tiễn cho kết khả quan Hi vọng rằng, báo tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc nói chung, cho GV Tốn nói riêng q trình bồi dưỡng HS khá, giỏi THPT Tài liệu tham khảo Bộ GD-ĐT (2018a) Chương trình giáo dục phổ thơng - Chương trình tổng thể (Ban hành kèm theo Thơng tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 Bộ trưởng Bộ GD-ĐT) Bộ GD-ĐT (2018b) Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn năm 2018 (Ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 Bộ trưởng Bộ GD-ĐT) Đỗ Thị Trinh (2017) Vận dụng quan điểm hoạt động dạy học góp phần phát triển lực giải tốn cho sinh viên sư phạm Tốn Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt tháng 10, tr 160-163 G Polya (1997) Sáng tạo toán học NXB Giáo dục G Polya (2010) Toán học suy luận có lí NXB Giáo dục Việt Nam Hoàng Ngọc Anh, Nguyễn Dương Hoàng, Nguyễn Tiến Trung (2017) Đổi q trình dạy học mơn Tốn thơng qua chuyên đề dạy học NXB Giáo dục Việt Nam Nguyễn Bá Kim (2015) Phương pháp dạy học môn Toán NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Tài Chung (2013) Sáng tạo giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình NXB Tổng hợp TP Hồ Chí Minh Nguyễn Thị Hương Trang (2002) Rèn luyện lực giải toán theo hướng phát giải vấn đề cách sáng tạo cho học sinh khá, giỏi trường trung học phổ thơng: Qua dạy học giải phương trình bậc - phương trình lượng giác Luận án tiến sĩ Khoa học giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam Quốc hội (2014) Nghị số 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 đổi chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông Văn Phú Quốc (2014) Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn (tập 1) NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 28 ... trọng lực giải toán PT, HPT 2.3 Một số biện pháp phát triển lực giải toán cho học sinh khá, giỏi dạy học giải phương trình, hệ phương trình trường trung học phổ thơng 2.3.1 Phát triển lực giải. .. luận Năng lực giải toán lực HS trình học tập mơn Tốn Việc xác định rõ biểu lực giải toán PT, HPT HS khá, giỏi giới thiệu số biện pháp phát triển lực cho HS sở để góp phần bồi dưỡng lực tốn học cho. .. hóa,… 2.2 Những biểu lực giải toán học sinh khá, giỏi trường trung học phổ thơng dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình PT HPT nội dung có vai trị quan trọng chương trình mơn Tốn THPT,