45 xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo euler” nhằm phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất của học sinh THPT

sáng kiến: Xây dựng một số dạng toán đếm dựa bài toán “chia kẹo Euler” nhằm phát triển lực giải toán Tổ hợp - Xác suất của học sinh THPT 4.1 Thực trạng giải pháp cũ thường làm - Hạn chế giải pháp cũ Trong chương trình tốn THPT tốn đếm xác śt ln tốn khiến đa sớ học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng Xét tốn tiếng toán học Tổ hợp Xác suất “Chia kẹo Euler” “Có cách chia n kẹo cho k em bé” Kết cách tư lời giải toán ứng dụng giải qút sớ tốn sau: + Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chất lượng cao (20212022) (ĐHCN-ĐHQGHN) Alice vừa đoạt giải quán quân kì thi lập trình danh giá Ban tổ chức trao thưởng theo cách thức sau: Có n hộp xếp hàng dài n hộp có k hộp có quà đặc biệt Alice phép chọn k hộp lấy tất quà k hộp chọn Ban tổ chức cho Alice biết rằng, khơng có hai hộp q đặc biệt xếp cạnh Nhằm tăng xác suất chọn k hộp quà đặc biệt Alice quyết định chọn k hộp q mà khơng có hai hộp cạnh Yêu cầu: Cho hai số nguyên dương n k Gọi C số cách chọn k hộp mà khơng có hai hộp đứng cạnh dãy n hộp, tính C%(10^9+7)(trong % phép tốn chia lấy dư) + Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2020 – 2021 (VMO) Bài 6: Một học sinh chia tất 30 viên bi vào hộp đánh số 1, 2, 3, 4, (sau chia có hộp khơng có viên bi nào) a Hỏi có cách chia viên bi vào hộp (hai cách chia khác nếu có hộp có sớ bi hau cách chia khác nhau) + Trích đề tham khảo kì thi tớt nghiệp THPT năm 2020 Câu 39 Có chiếc ghế kê thành hàng ngang Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, cho ghế có học sinh Xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B bằng: A B 20 C 15 D + Mợt sớ bài toán khác - (Bài tốn liên quan vấn đề trồng rừng) Ông An trồng lim, long não xà cừ hàng cách ngẫu nhiên Tính xác suất để khơng có xà cừ trồng cạnh nhau? - (Bài toán bầu cử): Trong bầu cử, ứng cử viên A a phiếu bầu, ứng cử viên B b phiếu bầu (a > b) Cử tri bỏ phiếu người Có cách xếp việc bỏ phiếu để lúc A B số phiếu bầu? - (Bài tốn mua vé): Có m + n  m  n  người đứng quanh quầy vé, có n người có tiền 5.000 m người có tiền 10.000 Đầu tiên quầy khơng có tiền, vé giá 5.000 Hỏi có cách xếp m + n người thành hàng để không người phải chờ tiền trả lại? Nhìn nhận vấn đề xung quanh toán trên, nhận thấy số vấn đề liên quan đến thực trạng dạy học vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng nội dung đề thi ưu, nhược điểm giải pháp dạy học để giải toán nội dung  Các toán nêu mức vận dụng vận dụng cao có nội dung thực tiễn, xuất phát từ vấn đề thực tế Điều phù hợp với cách tiếp cận chương trình PT 2018 nhằm phát triển lực giải qút tình h́ng  Để giải quyết toán cần sử dụng toán tảng (kiến thức chương II ĐS> 11 Tổ hợp – Xác śt theo chương trình cịn trang bị nội dung chương trình khới 10,11,12 theo chương trình GDPT 2018) sử dụng phương pháp tư đề cập đến tốn “Chia kẹo Euler”  Sách giáo khoa viết cịn mang tính hàn lâm: tập chủ yếu dừng lại mức nhận biết thông hiểu; nội dung đề cập đến đề thi đại học ; thi THPT Quốc gia trước (bây kì thi tớt nghiệp THPT); thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia; thi kiểm tra đánh giá lực trường Đại học…có mức vận dụng vận dụng cao Mặt khác tập đề cập sách giáo khoa không phân chia theo dạng định hướng phương pháp tư cho học sinh  Sách tham khảo; nguồn tài liệu mạng Internet…hầu không đề cập đến cách hệ thớng tốn theo phương pháp tư trình bày lời giải toán “Chia kẹo Euler” mà xuất rải rác  Vấn đề dạy học giáo viên: Khi giảng dạy phần kiến thức thuộc nội dung tổ hợp xác suất giáo viên gặp phải rất nhiều khó khăn việc định hướng hướng dẫn học sinh tiếp cận lời giải cho toán, chia dạng tốn cho hợp lý nhất Thơng thường đa sớ giáo viên dạy cho học sinh nắm nhiều tớt, để từ thi gặp quen thuộc làm Hoặc nếu có định hình chia dạng để dạy cho học sinh chia theo đặc điểm đới tượng tham gia vào tốn (đếm người; đếm đồ vật; đếm hình học…), mà rõ ràng dạng có rất nhiều cách tư để giải quyết (đa dạng phương pháp dạng) Điều hạn chế tính logic việc xâu chuỗi toán cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh phải ghi nhớ nhiều phương pháp giải dạng toán Từ khơng phát huy tính chủ động, sáng tạo học sinh q trình giải tốn  Vấn đề học học sinh: Đa số học sinh tiếp thu kiến thức cách thụ động, lười tư tìm tịi sáng tạo; khả tự học chưa cao Do đó, tiếp cận tốn thuộc nội dung hiểu lời giải khả vận dụng để giải quyết tốn khác cịn hạn chế chưa hiểu rõ phương pháp tư 4.2 Giải pháp mới: - Sáng kiến hình thành theo dạng chủ đề dạy học (Phụ lục 2), cung cấp dạng tập (7 dạng) với nội dụng gắn với thực tiễn: + Vận dụng kết toán “Chia kẹo Euler” (Dạng đến dạng 6) + Vận dụng tư lời giải tốn “Chia kẹo Euler” tư “vách ngăn” với phương pháp dạy học đổi phát triển lực học sinh - Hệ thớng lý thút trình bày cách cô đọng ngắn gọn nhất - Các dạng tập xây dựng cách hệ thống, có phân chia mức độ, q trình hình thành lời giải có phân tích cách tư đường tìm lời giải sở giả thiết từ giúp học sinh tạo thói quen tư liên kết gặp toán lạ - Bài tập thiết kế chủ yếu theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh có khả phát huy hết lực thân * Nội dung giải pháp sáng kiến (Phụ lục 1) Có thể tóm tắt sau: - Phần thứ nhất: Cung cấp lại cách có hệ thống kiến thức đại số tổ hợp xác suất - Phần thứ hai: Giới thiệu nội dung toán “chia kẹo Euler”, cách giải kết - Phần thứ ba: Xây dựng sớ dạng tốn thường gặp vận dụng kết cách tư toán “chia kẹo Euler”, cụ thể gồm dạng: + Dạng 1: Đếm số nghiệm nguyên phương trình, bất phương trình + Dạng 2: Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm + Dạng 3: Đếm số + Dạng 4: Đếm số tập + Dạng 5: Đếm hình học + Dạng 6: Lưới tọa độ + Dạng 7: Các toán vận dụng “tư vách ngăn” - Phần thứ tư: Hệ thớng tập vận dụng hình trắc nghiệm - Phần thứ năm: Thiết kế hệ thống câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức giúp học sinh nắm vận dụng kiến thức vào giải qút tình h́ng có liên quan q trình học tập Như vậy: Giải pháp giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trình học tập Kiến thức cần thiết nằm khuôn khổ sách giáo khoa hành, nhớ nhiều dạng tập cách máy móc, khơng phải tớn q trình mua tài liệu tham khảo Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh tự chủ động tìm lời giải độc lập cho toán dựa lượng kiến thức có sẵn Do học sinh chủ động linh hoạt trước tốn khơng phải áp đặt theo khuôn mẫu định sẵn Các giải pháp nêu sử dụng phần lớn kiến thức mà học sinh học lớp Sự liên kết phần kiến thức với định hướng ban đầu khiến cho toán trở nên quen thuộc dễ tiếp cận Việc vận dụng cách phù hợp vào toán cụ thể tạo mẻ rất quen thuộc với học sinh Các tập vận dụng giải pháp toán xuất tài liệu tham khảo Đề thi đại học năm gần tiếp cận cách hoàn toàn mẻ đồng thời rất gần gũi với mức độ suy luận em học sinh Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt 5.1 Hiệu quả kinh tế: + Tài liệu in ấn giá thành thấp + Học sinh tự học tự nghiên cứu tài liệu tránh việc học thêm gây lãng phí tớn 5.2 Hiệu quả xã hợi + Có tính thực tiễn cao: Kiến thức nằm SGK hành Sáng kiến tập trung vào việc phân tích tư giúp học sinh tìm lời giải Hệ thớng ví dụ tập mang tính sáng tạo, đáp ứng yêu cầu đổi Bài tập xây dựng kết hợp tự luận trắc nghiệm; đặc biệt tập tự luyện xây dựng hình thức trắc nghiệm phù hợp với tình hình thi cử Các toán đề thi đại học trước đây; đề thi tốt nghiệp THPT năm gần đây; đề thi HSG tỉnh quốc gia đề ĐGNL trường ĐH sử dụng cách định hướng tư giải pháp giải quyết cách dễ dàng + Hình thành phẩm chất lực học sinh, phù hợp với yêu cầu chương trình giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo học tập Phát huy hứng thú niềm đam mê học tập Từ tự tin tham gia kì thi kiểm tra định kì thi học sinh giỏi; + Tính kết nối chia sẻ: Thông qua trao đổi chia sẻ sáng kiến với giáo viên trường đơn vị khác giúp giáo viên việc dạy học theo phương pháp mới, xác định nội dung trọng tâm bài, giáo viên sử dụng tài liệu tham khảo, sáng kiến giúp cho giáo viên giảm bớt nhiều công sức việc soạn bài, chuẩn bị lên lớp Đặc biệt, giúp giáo viên có sớ dạng tốn hay để áp dụng q trình biên soạn đề thi Trong nhóm tác giả sáng kiến, thành viên ban soạn thảo đề thi Sở; ngân hàng đề thi Sở có người tham gia ban soạn thảo đề Bộ + Tính giáo dục định hướng: định hướng cho học sinh học tập nghiên cứu cần đề cao phương pháp tư khả vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề thực tiễn Đặc biệt, ứng dụng sáng kiến mơn Tốn trường THPT Kim Sơn A, huyện Kim Sơn, tỉnh Ninh Bình cho kết bật sau: Nội dung Kết Học sinh giỏi THPT cấp tỉnh Kết Học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh Năm 2019-2020 Năm 2020-2021 (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) 02/03 giải (02 giải Khuyến khích) 03/03 đạt giải ( 01 giải Nhì, 01 giải Ba, 01 giải Khún khích) Số lượng học sinh 23 học sinh nhận giải thưởng Đinh Bộ Lĩnh có kết (Có tổng điểm ba môn khối thi truyền thống cao kỳ thi THPT 27,25 điểm) Quốc gia Điểm trung bình mơn Tốn kì thi tớt nghiệp THPT ĐTB mơn Tốn 8,32 02/03 giải (01 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) 03/03 đạt giải (01 giải Nhất, 02 giải Nhì) 35 học sinh (Có tổng điểm ba môn khối thi truyền thống 27,0 điểm) ĐTB mơn Tốn 8,15 (ĐTB mơn Tốn tỉnh 7,22 (ĐTB mơn Tốn tỉnh 7,06 ĐTB mơn Tốn tồn q́c 6,68) ĐTB mơn Tốn tồn q́c 6,61) Khi ứng dụng sáng kiến mơn Tốn trường THPT n Mơ A, huyện n Mơ , tỉnh Ninh Bình cho kết bật sau: Nội dung Kết Học sinh giỏi THPT cấp tỉnh Kết Học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh Năm 2019-2020 Năm 2020-2021 (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) 01/03 giải 03/05 giải (01 giải nhì) (02 giải Ba, 01 giải Khún khích) 04/06 đạt giải 06/06 đạt giải ( 04 giải Khuyến khích) (03 giải Nhì, 02 giải Ba 01 giải Khún Khích) Sớ lượng học sinh nhận giải thưởng Đinh Bộ Lĩnh có kết cao kỳ thi THPT Q́c gia Điểm trung bình mơn Tốn kì thi tớt nghiệp THPT 08 học sinh 12 học sinh (Có tổng điểm ba mơn khới thi truyền thớng 27,25 điểm) (Có tổng điểm ba mơn khối thi truyền thống 27,00 điểm) ĐTB mơn Tốn 7,83 ĐTB mơn Tốn 7,64 (ĐTB mơn Tốn tỉnh 7,22 (ĐTB mơn Tốn tỉnh 7,06 ĐTB mơn Tốn tồn q́c 6,68) ĐTB mơn Tốn tồn q́c 6,61) Các kết bật khác: - Trong nhóm tác giả, có thầy Dỗn Huy Tùng giáo viên Tốn THPT Kim Sơn A hai năm học gần dạy đội tuyển HSG Tốn lớp 12 có học sinh đạt giải Nhất kì thi chọn HSG lớp 12 cấp tỉnh - Các thầy nhóm tác giả người hướng dẫn giảng dạy trực tiếp mơn Tốn cho em Nguyễn Thị Thu Hằng – học sinh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt vòng nguyệt quế chương trình chung kết năm “Đường lên đỉnh Olympia” năm thứ 20 - Năm học 2020 – 2021: giảng dạy em Nguyễn Hoàng Anh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt điểm 9.8 mơn Tốn, trở thành thủ khoa tỉnh Ninh Bình khới thi B D07 Điều kiện khả áp dụng: 6.1 Điều kiện áp dụng: - Học sinh lớp 11,12 THPT theo chương trình hành; sau lớp 10,11,12 THPT học sinh THCS (theo chương trình GDPT mới) - Kiến thức tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT 6.2 Khả áp dụng: + Đáp ứng nhu cầu dạy học giáo viên: đổi phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển lực phẩm chất (Do giải pháp trình bày dạng chủ đề dạy học) + Đáp ứng cho nhiều đối tượng học sinh, phát triển lực giải quyết vấn đề thực tiễn học sinh nâng cao khả tư + Phù hợp với nội dung chương trình GDPT hành CT GDPT 2018; xu thế đề thi kì thi q́c gia; kì thi ĐGNL… + Trong tình hình dịch bệnh nay, việc dạy học phải tiến hành theo hình thức trực tuyến Khi rõ ràng việc tương tác thầy trị có hạn chế hơn, yêu cầu với người học cao tính tự giác tìm tịi Vì vậy, thấy tính khả thi giải pháp đề cập đến Ninh Bình, tháng 05 năm 2021 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG ĐẠI DIỆN NHÓM TÁC GIẢ Dỗn Huy Tùng PHỤ LỤC Phần MƠ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN Sáng kiến thiết kế theo dạng chủ đề dạy học nhóm tác giả áp dụng q trình giảng dạy ơn tập cho lớp ôn thi học sinh giỏi 02 nhà trường THPT Kim sơn A THPT Yên Mô A Tùy theo mức độ học sinh lớp mà tác giả đưa vào phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn Nội dung sáng kiến nhóm tác giả xây dựng thành dạng toán thường gặp vận dụng kết tư lời giải toán “chia kẹo Euler”, dạng thiết kế theo cấu trúc: Ví dụ – Lời giải – Nhận xét, hướng suy luận tư Sáng kiến ngồi nguồn tài liệu cho thầy q trình giảng dạy cịn tư liệu để em học sinh tự học cách tốt nhất Các em học sinh đọc lời giải hướng dẫn suy luận ví dụ từ vận dụng vào làm tập hệ thớng tập trình bày sáng kiến Phần MỘT SỚ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VẬN DỤNG KẾT QUẢ VÀ TƯ DUY LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN “CHIA KẸO EULER” 2.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 2.1.1 Hai quy tắc đếm n  A A Số phần tử tập hợp hữu hạn A kí hiệu 2.1.1.1 Quy tắc cộng Một công việc hoàn thành bởi hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực Chú y: + Quy tắc cộng phát biểu tổng qt cho cơng việc hồn thành bới nhiều hành động + Quy tắc cộng phát biểu thực chất quy tắc đếm số phần tử hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A B tập hợp hữu hạn khơng giao nhau, thì: A B  A  B + Quy tắc cộng cịn mở rộng đới với tập hợp hữu hạn, có giao khác rỗng Có thể chứng minh rằng, với hai tập hợp hữu hạn A B bất kì, ta có: A B  A  B  A B , (quy tắc bao hàm loại trừ) Hoặc với tập hợp hữu hạn A,B,C ta có: A B C  A  B  C  A B  AC  B C  A B C 2.1.1.2 Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc Chú y: Quy tắc nhân mở rộng cho cơng việc hồn thành nhiều hành động liên tiếp 2.1.2 Hốn vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 2.1.2.1 Hoán vị  n  1 Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A Cho tập A gồm n phần tử gọi hoán vị của n phần tư Sớ hốn vị n phần tử: 2.1.2.2 Chỉnh hợp Pn  n !  n  n  1 2.1  n  1 Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử Cho tập A gồm n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k của n phần tư cho n! Ank  ,   k  n n k!  Số chỉnh hơp: n Chú y: Pn  An 2.1.2.3 Tổ hợp  n  1 Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp Cho tập A gồm n phần tử chập k của n phần tư cho n! Cnk  ,   k  n k !  n  k  ! Số tổ hợp: Ank C  k! Chú y: 2.1.3 Xác suất biến cố 2.1.3 Định nghĩa Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử có sớ hữu hạn kết đồng k n khả xuất Ta gọi tỉ số Chú y: n  A n  A n   xác śt biến cớ A, kí hiệu n  A P  A  n   P  A số phần tử A số kết thuận lợi cho biến cố A, n   số kết xảy phép thử 2.1.3 Tính chất a ) P     0; P     b)  P  A   c) A  B    P  A  B   P  A   P  B  Chú y: Tính chất c) cơng thức cộng xác suất ta có hệ quả:   P A   P  A , A biến cớ đới biến cớ A 2.2 BÀI TỐN “CHIA KẸO EULER” 2.2.1 Nội dung tốn: Có cách chia n kẹo giống cho k em bé? 10 Ta đặt ngày nghỉ vào 27 khoảng trống tạo từ 26 ngày không nghỉ, cách đặt cho ta cách chọn thỏa mãn u cầu Do đó, sớ cách chọn thỏa mãn: C27 Ví dụ 3: Cho tập hợp A gồm 2021 sớ ngun dương Có tập A có phần tử cho tổng phần tử tập 2019? LỜI GIẢI + Gọi a, b, c phần tử tập A + Khi đó: a + b + c = 2019, (*);1 £ a, b, c £ 2021, a ¹ b ¹ c, (1) + Tức ta cần đếm số nghiệm nguyên dương phương trình (*) mà a, b, c đơi phân biệt + Số nghiệm nguyên dương phương trình (*) là: C2018 + Sớ nghiệm ngun dương mà a = b = c là: nghiệm (673;673;673) + Số nghiệm nguyên dương mà a = b ¹ c : Phương trình (*) Û 2a + c = 2019 ® c lẻ Suy sớ nghiệm là: 1009 - =1008 , (trừ c nhận giá trị 673 2019) + Tương tự với trường hợp a = c ¹ b; c = b ¹ a có sớ nghiệm 1008 Do số nghiệm thỏa mãn yêu cầu: C2018 - 3.1008 - = 2032128 + Vì tập có phần tử A thỏa mãn yêu cầu sinh 3! nghiệm tính Do sớ tập thỏa mãn là: 2032128 : 3! = 338688 DẠNG 5: Đếm hình học Ví dụ 1: Cho đa giác có 2021 đỉnh Có tam giác, tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác cho cho khơng có cạnh cạnh đa giác cho? LỜI GIẢI Từ giả thiết suy đỉnh tam giác, tứ giác không đỉnh kề đỉnh đa giác ban đầu, từ cho ta ý tưởng cách giải dạng toán tập Nhưng đỉnh đa giác xếp đường tròn nên đếm ta cần cố định đỉnh trước, tức chọn đỉnh tam giác, tứ giác thỏa mãn trước + Đếm số tam giác thỏa mãn: Giả sử tam giác ABC tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cho mà không cạnh cạnh đa giác - Chọn đỉnh A có 2021 cách chọn - Chọn đỉnh lại: Gọi x1 , x2 , x3 số đỉnh A B; B C; C A Khi đó: x1 + x2 + x3 = 2018, (*); x1 , x2 , x3 > Số cách chọn đỉnh cịn lại sớ nghiệm ngun dương phương trình (*) bằng: C2017 52 - Do tam giác đếm lần nên số tam giác cần đếm là: 2021.C2017 = 1369655952 3 2021.C2016 + Tương tự với số tứ giác thỏa mãn: Dễ dàng suy tốn tổng quát: đếm số k – giác từ n – giác Nhận xét: n.Cnk k1- cho khơng có cạnh k – giác cạnh n – giác Đáp sớ là: k Ví dụ 2: Cho đa giác có 2013 đỉnh Người ta tô màu đỏ cho 100 đỉnh đa giác Hỏi có cách tơ màu cho đỉnh tơ có nhất đỉnh không tô màu? LỜI GIẢI + Chọn đỉnh tơ A1 : có 2013 cách chọn + Chọn 99 đỉnh lại: Gọi x1 , x2 , , x100 số đỉnh 100 đỉnh với Khi đó: x1 + x2 + + x100 =1913, (*); x1 , x2 , , x100 ³ 3, (1) 99 Dễ dàng đếm sớ nghiệm phương trình (*) thỏa mãn (1) là: C1713 Đó sớ cách chọn 99 đỉnh cịn lại 99 2013.C1713 100 + Do 100 – giác đếm 100 lần, nên sớ cách tơ màu là: Ví dụ 3: Cho tam giác có diện tích 27 Một điểm P nằm tam giác gọi “điểm tớt” nếu tìm 27 tia chung gớc P chia tam giác thành 27 tam giác có diện tích? Đếm sớ điểm P? LỜI GIẢI + Nhận xét: - Các tia PA, PB, PC thuộc 27 tia chung gốc P điểm tốt P - SDPAB , SDPBC , SDPCA số nguyên dương + Với điểm tốt P , đặt x = SDPBC , y = SDPCA , z = SD PAB ® x + y + z = 27, (*) Dễ thấy sớ nghiệm ngun dương phương trình (*) C26 = 325 Bổ đề: “Với điểm P nằm tam giác ABC, ta ln có: uur uur uuu r r xPA + yPB + zPC = ” Từ hệ thức ta dễ dàng chứng minh với (x; y; z) tồn nhất điểm P Do đó, sớ điểm tốt P là: 325 DẠNG 6: Lưới tọa độ 53 Ví dụ 1: Cho lưới gồm vuông, nút đánh số từ đến m theo chiều từ trái sang phải từ đến n theo chiều từ lên (như hình vẽ): Hỏi có đường khác từ nút (0; 0) đến nút (m; n) nếu cho phép cạnh ô vuông theo chiều từ trái sang phải từ lên LỜI GIẢI + Một đường thỏa mãn yêu cầu toán trải qua m + n bước bước có cách di chuyển (đây đường ngắn nhất để di chuyển từ nút (0;0) đến nút (m; n)) + Trong m + n bước đó, ta chọn m bước để để di chuyển sang phải, n bước m n lại ta di chuyển lên Khi sớ đường di chuyển là: Cm+n = Cm+n Ví dụ 2: Trên bàn cờ 5x4 vng hình vẽ đây, người chơi di chuyển quân theo cạnh hình vng, bước cạnh Có cách di chuyển quân từ điểm A đến điểm B bước? LỜI GIẢI Di chuyển quân từ A đến B bước đường di chuyển ngắn nhất, tức bước di chuyển phép lên sang phải Do theo ý ta suy số cách di chuyển là: C9 = C9 = 126 DẠNG 7: Vận dụng tư vách ngăn Ví dụ 1: Thầy Bình trồng lim, long não xà cừ hàng cách ngẫu nhiên Tính xác suất để khơng có xà cừ trồng cạnh nhau? LỜI GIẢI W= 12! + Ta có: + Biến cớ A: “Khơng có xà cừ trồng cạnh nhau” 54 - Trồng gồm lim long não có 7! cách - Mỗi cách trồng đó, có khoảng trớng, ta chọn khoảng trống khoảng trống để trồng xà cừ, sớ cách chọn vị trí là: C8 - Mỗi cách chọn vị trí có 5! cách trồng xà cừ 7!C85 5! A = 7!C 5! ® P ( A) = = 12! 99 Do đó: Ví dụ 2: Trong giải bóng đá có 10 trận đấu diễn vòng 30 ngày Hỏi ban tổ chức có cách xếp lịch thi đấu trận đấu cho trận đấu kề phải cách nhất ngày? LỜI GIẢI Dựa theo giả thiết ta suy ngày thứ ngày thứ 30 ngày có trận Do sớ cách xếp trận sớ cách đặt trận cịn lại vào 19 khoảng trớng 20 ngày mà khơng có trận đấu diễn Do đó, sớ cách xếp lịch thi đấu là: C19 = 75582 Ví dụ 3: Một lớp có 36 học sinh xếp theo hàng ngang cho khoảng cách hai người cạnh 0,5 mét Có cách chọn 10 học sinh hàng để sau chọn khơng tồn khoảng trống lớn mét hai học sinh cạnh sớ học sinh cịn lại hàng? LỜI GIẢI u cầu tốn số cách chọn 10 người hàng cho khơng có người đứng cạnh Giữa 26 người khơng chọn có 27 khoảng trớng, sớ cách đặt 10 người chọn vào 27 khoảng trống sớ cách chọn thỏa mãn u cầu 10 C27 = 8436285 Do đó, sớ cách chọn là: Ví dụ 4: Có cách xếp bạn nữ bạn nam vào 10 ghế ngồi mà hai bạn nữ xếp cạnh nhau, nếu: Ghế xếp thành hàng ngang Ghế xếp quanh bàn trịn LỜI GIẢI Sớ cách xếp bạn nam: 6! Giữa bạn nam có khoảng trớng, chọn khoảng trớng sớ xếp bạn nữ, số cách xếp là: C7 4! Do sớ cách xếp thỏa mãn là: 6!C7 4! = 604800 d) Cách thức tổ chức 55 Các dạng tốn thiết kế dạng gói câu hỏi, gói câu hỏi nhóm nghiên cứu nhận nhiệm vụ nên tùy thuộc vào việc lựa chọn gói câu hỏi thực nhóm để tổ chức hoạt động: + Với gói câu hỏi có nhóm nghiên cứu thực hiện: (Tiết 2) - Nhận xét, đánh giá kết nhóm nghiên cứu - Chính xác hóa lời giải - Đưa lưu ý liên quan đến dạng tốn + Với gói câu hỏi chưa có nhóm nghiên cứu thực hiện: (Tiết 3) - Tổ chức hoạt động nhóm lớp hướng dẫn giáo viên * Củng cố giao tập + Giáo viên củng cố lại kiến thức học + Giao tập: Học sinh làm hệ thống tập trắc nghiệm (Phụ Lục 8) Hoạt động 5:Kiểm tra đánh giá học sinh thông qua bài kiểm tra trắc nghiệm 45 phút.(Thực lớp) Hoạt động 6: Rút kinh nghiệm 56 PHỤ LỤC 2.1: BỘ CÂU HỎI ĐỊNH HƯỚNG Bộ câu hỏi số Ơng An có 10 lô đất liền kề với 10 sổ đỏ Mỗi lô đất có diện tích (như hình vẽ): Ơng An có người muốn cho 10 lơ đất cho người Để chia đất, ông An định xây tường ngăn để chia khu đất thành phần, phần ông cho người Hãy giúp ơng An lên phương án xây mà cho đất ông An chỉ cần chuyển sổ đỏ cho 2.Tính xem ơng An có cách thực dự định mình? Từ tốn hãy nêu cách giải tốn: a Có cách chia 10 kẹo cho em bé cho em có kẹo? b Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình: x1 + x2 + x3 = 10? c Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình: x1 + x2 + + xk = n (n>=k)? Bộ câu hỏi số Bài 1:Một nhóm gờm học sinh Có cách xếp học sinh thành hàng ngang Trong học sinh có học sinh lớp A, học sinh lớp B Có cách xếp học sinh thành hàng ngang cho học sinh lớp A khơng đứng cạnh Có phần quà trao thưởng cho bạn Có cách trao thưởng để bạn nhận phần quà không phần quà? Có cách trao thưởng phần quà cho học sinh để em nhận phần quà? Có cách trao thưởng phần quà cho học sinh mà có học sinh khơng nhận phần thưởng nào? Bài 2: 1.Tìm số nghiệm khơng âm phương trình: x1 + x2 + + xk = n? 2.Có cách chia n kẹo cho k em bé? Bộ câu hỏi số 1.Phát biểu toán tổng quát nhận thức từ câu hỏi trên? 2.Ngoài tốn tổng qt đó, em rút phương pháp tư việc giải tốn đếm? Lựa chọn tối thiểu gói câu hỏi sau hồn thành: 57 Các gói câu hỏi lựa chọn nhóm 58 59 60 Đề xuất số câu hỏi để kiểm tra nhóm nghiên cứu còn lại ứng với nội dung gói câu hỏi đã chọn sau báo cáo? Đánh giá thực nghiệm a) Kiểm tra Sau hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết thực nghiệm tác giả tiến hành cho học sinh bao gồm hai đối tượng: Tại trường THPT Kim Sơn A, lớp học sinh có chất lượng gồm lớp 11B1, 11B2, 12B3, 12B4 Tại trường THPT Yên Mô A, lớp có học sinh chất lượng gồm 11A, 11E, 12A, 12C (được đánh giá tương đương nhau)làm kiểm tra 45 phút với đề kiểm tra Nội dung đề kiểm tra sau: 61 TRƯỜNG THPT KIM SƠN A TỔ TOÁN - TIN BÀI KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT Thời gian làm bài: 45 phút Đề thi gồm 20 câu trang  Biết sớ tam giác có đỉnh đỉnh Câu 1: Cho đa giác (H) có n đỉnh  (H) khơng có cạnh cạnh (H) gấp lần số tam giác có đỉnh đỉnh (H) có cạnh cạnh (H) Khẳng định sau ? n ¥,n  A  4;12 B  13; 21 C  22;30 D  31;38 Câu 2:Gọi S tập hợp sớ tự nhiên gồm chữ sớ Tính xác śt để rút sớ mà sớ chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước ba chữ số đứng đôi khác ? 77 A 1500 75 B 1500 76 C 1500 78 D 1500 Câu 3:Có học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 xếp ngẫu nhiên vào ghế thành dãy Tính xác suất để xếp học sinh lớp 12 xen kẽ học sinh lớp 11 A 84 15 B 32 C 12 D 72 Câu 4: Cho đa giác (H) có 60 đỉnh nội tiếp đường tròn (O) Người ta lập tứ giác tùy ý có đỉnh đỉnh (H) Xác suất để lập tứ giác có cạnh đường chéo (H) gần với số nhất số sau ? A 85, 40% B.13, 45% C 40,35% D 80, 70% Câu 5: Cho tập hợp A   1, 2,3, 10 , Chọn ngẫu nhiên ba sớ từ A Tìm xác śt để ba sớ chọn khơng có hai số hai số nguyên liên tiếp A 90 B 24 C 10 D 15 Câu 6:Trong cửa hàng có bút giống , sách giống , 10 giớng Hỏi có cách chọn bút, sách, để làm thành hộp quà gồm đồ ? A 20 B 21 C 22 D 24   Gọi S tập hợp gồm tất tập A, Câu 7:Cho tập hợp tập gồm phần tử A có tổng 91 Chọn ngẫu nhiên phần tử S Xác suất để chọn phần tử có sớ lập thành cấp sớ nhân ? A  1; 2;3; ;100 A 645 1 B 215 C 39160 D 445 62 Câu 8: Có 12 người xếp thành hàng dọc (vị trí người hàng sớ cố định ), Chọn ngẫu nhiên người hàng Tính xác śt để người chọn khơng có người đứng cạnh 21 A B 55 C 11 D Câu 9: Cho đa giác 103 cạnh Tô màu đỏ 79 đỉnh đa giác tô màu xanh đỉnh cịn lại Gọi A sớ cặp đỉnh đỏ kề B số cặp đỉnh xanh kề Tính sớ cách tơ màu đỉnh đa giác để B =14 10 10 C24 C79 A 10 9 C23C78 B 10 9 C24 C79 C 10 9 D C24C79   Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Có cách chọn Câu 10:Cho tập số tập A cho hiệu sớ bất kì sớ có trị tuyệt đối không nhỏ 2? A  1; 2; ;18 5 5 A C18 B C14 C C10 D C17 Câu 11:Cho đa giác có 12 đỉnh Chọn ngẫy nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác cho ? 28 A 55 52 B 55 C 55 D 10 Câu 12: Kỳ thi có 10 học sinh , xếp ngồi hai dãy ghế , dãy có ghế Thầy giáo có hai loại đề , gồm đề chẵn đề lẻ tính xác suất để học sinh nhận đề hai bạn ngồi kề khác loại đề ? A 63 D 15120 Câu 13:Tìm sớ nghiệm ngun khơng âm bất phương trình sau : a  b  c  d  10 B 126 C 252 4 A C13 B C14 C A10 D A14 Câu 14:Có cách chia 15 kẹo cho em bé cho em có kẹo ? A C14 B C14  5 C C10 Câu 15:Có sớ tự nhiên a1a2 a3a4a5a6 thỏa mãn D A10 a1  a2  a3  a4  a5  a6 A C10 B C10  C A10 D C15 Câu 16: Cho tập hợp X gồm sớ tự nhiên có chữ sớ đơi khác có dạng 6 abcdef Từ X lấy ngẫu nhiên sớ Tính xác śt để sớ lấy sớ kẻ thỏa mãn abcd e f 33 A 68040 B 2430 31 C 68040 29 D 68040 63 Câu 17: Cho hình chữ nhật m.n với đỉnh bên trái A, bên phải B Có đường ngắn nhất từ A đến B ? n n A Cn.m B Cn m C D Câu 18:Dọc đường phố người ta dự định đặt chậu hoa hồng, chậu hoa hướng dướng Tìm sớ cách đặt chậu hoa cho hai hoa hồng có nhất hoa hướng dướng hai đầu đặt chậu hoa hồng ? A B C D m Câu 19:Tìm sớ nghiệm nguyên không âm hệ 8 n 9  xi  1983  i 1  x  5(mod 6)i  1,9  i A C331 B C322 C C1982 D C1983 Câu 20: Có 17 tấm thẻ phân biệt có tấm thẻ ghi chữ ĐỖ, tấm thẻ ghi chữ ĐẠI, tấm thẻ ghi chữ HỌC , tấm thẻ tấm thẻ ghi chữ A,B,C,D 10 tấm thẻ đánh sớ từ đến Lấy ngẫu nhiên từ tấm thẻ Tính xác suất để rút tấm thẻ mà ghép lại theo thứ tự ta dòng chữ B1 ĐỖ ĐẠI HỌC ? A 6188 40 B 429 C 6188 D 148512 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.A 2.A 12.A 3.C 13.B 4.D 14.A 5.D 15.A 6.B 16.C 7.B 17.B 8.C 18.B 9.B 19.A 10.B 20.C b) Đánh giá kết quả thực nghiệm Về thái độ học tập học sinh Học sinh rất hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng lực tự học, học sinh người chủ động lĩnh hội kiến thức Học sinh cuốn hút vào hoạt động cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức Đa số em nắm vững kiến thức có ý thức hồn thành hoạt động công việc mà giáo viên giao cho Về kết kiểm tra THPT Kim Sơn A Điểm/Lớp Yếu TB Khá Giỏi Đối chứng 11B2 Thực nghiệm 11B1 22 11 15 23 Tổng số học sinh 40 40 64 Đối chứng 12B3 Thực nghiệm 12B4 10 23 8 19 17 44 44 Về kết kiểm tra THPT Yên Mô A Điểm/Lớp Yếu TB Khá Giỏi Đối chứng 11E Thực nghiệm 11A Đối chứng 12C Thực nghiệm 12A 3 10 20 20 21 18 25 19 Tổng số học sinh 36 48 40 45 Về kết kiểm tra hai trường Điểm/Lớp Lớp đối chứng K11 Lớp thực nghiệm K11 Lớp đối chứng K12 Lớp thực nghiệm K12 Yếu TB Khá Giỏi Tổng số học sinh 11 40 18 76 35 48 88 20 44 14 84 16 37 36 89 Phân tích kết kiểm tra theo trường Với khối 11: Lớp đới chứng có 95,0% 91.66% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 82.5% 75% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 95,0% 93.75% đạt khá, giỏi Với khới 12: Lớp đới chứng có 93,2% 92.5% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 70,5% 67.5 đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 81,8% 82.22% đạt khá, giỏi Phân tích kết kiểm tra theo số liệu tổng hợp Với khới 11: Lớp đới chứng có 93.42% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 76.31% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 94,31% đạt khá, giỏi 65 Với khới 12: Lớp đới chứng có 92.85% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 69.04% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 82.02% đạt khá, giỏi Nhận xét Các lớp đối chứng: Khả tiếp cận tốn có tính tư duy, sáng tạo chưa cao, nhiều em trình bày lời giải cịn nhiều thiếu sót Đặc biệt với sớ dạng tốn lạ mà trước đề cho dạng tự luận thường khơng x́t hầu hết học sinh thuộc lớp đối chứng cảm thấy bỡ ngỡ hầu hết không giải quyết đặc biệt sớ tốn có hình thức lạ so với dạng tập trình bày SKG Khi giáo viên vấn em nội dung câu hỏi có đề đại phận học sinh lớp đới chứng có nhận xét đề lạ, em không biết tiếp cận toán theo hướng thế Các lớp thực nghiệm: Khả vận dụng linh hoạt hơn, có sáng tạo Một sớ em trình bày lời giải gọn gàng, rõ ràng, lập luận chặt chẽ Hầu hết em biết vận dụng lý thuyết để trả lời câu hỏi cách sáng tạo logic Bên cạnh đó, hai lớp có học sinh dừng lại việc bắt chước số tập mẫu, chưa hiểu rõ chất vấn đề làm ý đơn giản đề kiểm tra Một số em chưa thực tự lập giải tốn, cịn phụ thuộc vào dạng cớ định làm, chưa có tư vận dụng linh hoạt giải toán Kết luận Kết thực nghiệm bước đầu thể tính hiệu tính khả thi sáng kiến Mặc dù tình hình thực tiễn địa phương, sáng kiến cần bổ sung thiết kế hợp lý tạo nhiều toán tương tự để giúp em có tập để thực hành vận dụng 66 ... tiễn: + Vận dụng kết toán “Chia kẹo Euler” (Dạng đến dạng 6) + Vận dụng tư lời giải tốn “Chia kẹo Euler” tư “vách ngăn” với phương pháp dạy học đổi phát triển lực học sinh - Hệ thớng lý thút... đại số tổ hợp xác suất - Phần thứ hai: Giới thiệu nội dung toán “chia kẹo Euler”, cách giải kết - Phần thứ ba: Xây dựng sớ dạng tốn thường gặp vận dụng kết cách tư toán “chia kẹo Euler”, ... 01/03 giải 03/05 giải (01 giải nhì) (02 giải Ba, 01 giải Khún khích) 04/06 đạt giải 06/06 đạt giải ( 04 giải Khuyến khích) (03 giải Nhì, 02 giải Ba 01 giải Khún Khích) Sớ lượng học sinh nhận giải