Bài toán chia kẹo Euler:

IV. Tiến trình dạy học:

1. Bài toán chia kẹo Euler:

Bài tốn 1:Có bao nhiêu cách chia n cái

quan đến bài toán chia kẹo Euler. GV: Trình bày lời giải bài toán 1.

GV: Qua việc tìm lời giải của bài tốn hãy nêu một phương pháp tư duy mới trong việc giải các bài toán đếm? Sử dụng khi nào? GV: Xét ví dụ sau: Một nhóm gồm 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp sớ học sinh trên thành một hàng ngang sao cho khơng có 2 học

HS: Trả lời.

+ Ta xếp n chiếc kẹo trên hàng ngang

+ Giữa n chiếc kẹo có

n -1 khe (vách,

khoảng trống).

+ Để chia n chiếc kẹo này thành k phần, ta dùng k -1 chiếc que đặt vào n -1 khe đã nói ở trên.

Mỗi cách đặt này cho ta một cách chia kẹo cho k em bé. Số cách chia là: k 11. n C - - HS: Tư duy vách ngăn, sử dụng khi trong bải toán xuất hiện giả thiết các đối tượng cần đứng cạnh nhau hay không đứng cạnh nhau.

HS: Trả lời

+ Xếp 5 học sinh nam có 5! Cách.

+ Mỗi cách xếp 5 học sinh nam đó, giữa 5 học sinh nam có 4 vách ngăn, ta chọn 3

sinh nữ nào đứng cạnh nhau và học sinh đầu hàng, cuối hàng đều là nam?

GV: Nếu bỏ giả thiết học sinh đầu và ći hàng là nam thì sớ cách xếp là bao nhiêu? GV: đến đây ta lại liên hệ đến bài toán chia kẹo ban đầu, nhưng việc chọn vách ngăn, khoảng trớng khơng tính đầu và cuối. Nếu chọn như vậy tức là em bé thứ nhất và thứ 3 có thể khơng có cái kẹo nào. GV: Từ bài tốn 1, ta có thể suy ra kết quả của các bài tốn sau:

GV: Tóm tắt lại hướng dẫn đến các kết quả bài tốn đó.

trong 4 vách ngăn để xếp 3 học sinh nữ: 3 4. C + Mỗi cách chọn 3 vách ngăn có 3! cách xếp học sinh nữ. Do đó sớ cách xếp thỏa mãn yêu cầu:

3!.5!.C43.

HS:3!.5!.C63.

HS: Ghi nhận kết quả các bài tốn.

4. Hoạt đợng 4:Vận dụng kiến thức thu được qua học tập dự án nghiên cứu để giải

quyết các dạng toán liên quan (số tiết dự kiến 02). a) Mục tiêu:

+ Vận dụng kiến thức nền có được thơng qua tìm hiểu về bài toán chia kẹo Euler để giải qút một sớ dạng tốn đếm.

b) Nợi dung

Các dạng tốn liên quan đến bài toán chia kẹo Euler:

+ Dạng 1: Đếm sớ nghiệm ngun của phương trình, bất phương trình. + Dạng 2: Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm.

+ Dạng 3:Đếm sớ.

+ Dạng 4:Đếm sớ tập con. + Dạng 5:Đếm hình học. + Dạng 6:Lưới tọa độ.

+ Dạng 7:Các bài toán vận dụng “tư duy vách ngăn”.

c) Sản phầm

DẠNG 1:Đếm số nghiệm ngun của phương trình, bất phương trình

Ví dụ 1: Cho phương trình: x1   x2 x3 x4 20. Tìm sớ nghiệm ngun của phương trình

thỏa mãn:

1. xi 0,i1, 4.

2. xi 1,i1, 4.

3. x11,x2 2,x3 3,x44.

4. xi là các số tự nhiên chia 4 dư 1, với i1, 4.

LỜI GIẢI

1. Sớ nghiệm ngun khơng âm của phương trình: C233.

2. Sớ nghiệm ngun dương của phương trình: C193.

3. Đặt: y1=x y1; 2= -x2 1;y3= -x3 2;y4= -x4 3. Sớ nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện bằng số nghiệm nguyên dương của phương trình:

1 2 3 4 14; i 1, 1, 4.

y + + +y y y = y ³ i=

4. Đặt xi=4yi+1;yi³ 0,i=1; 4. Sớ nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện bằng sớ nghiệm phương trình: y1+ + +y2 y3 y 4=4;yi³ 0,i=1, 4.

Sớ nghiệm là: C73.

5.Cách 1: Xét các trường hợp x1=0;1; 2;3. Sớ nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện là: C222 +C212 +C202 +C192 =802.

Cách 2: (Sử dụng biến cố đối)

+ Số nghiệm ngun khơng âm của phương trình là: C233.

+ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn x1³ 4: Đặt

1 1 4

y = -x ®

Sớ nghiệm là: C193 .

Suy ra: sớ nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện:

3 3

23 19 802.

C - C =

Ví dụ 2: Cho phương trình: x1   x2 x3 x4 17. Tìm sớ nghiệm ngun của phương

trình thỏa mãn:

1. 0x x1, 2 3.

2. 3 xi 5,i1, 4.

LỜI GIẢI

1. + Số nghiệm ngun khơng âm của phương trình là: C203 .

+ Gọi X X1, 2 lần lượt là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn điều kiện: x1³ 4,x2³ 4. Khi đó: sớ nghiệm thỏa mãn điều kiện là: C203 - X1È X2 .