Skkn góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thpt thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THƠNG QUA GIẢI TỐN MAX – MIN TRONG HÌNH HỌC TOẠ ĐỘ LĨNH VỰC: CHUN MƠN TỐN Năm học 2021 – 2022 skkn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THƠNG QUA GIẢI TỐN MAX – MIN TRONG HÌNH HỌC TOẠ ĐỘ LĨNH VỰC: CHUN MƠN TỐN Nhóm tác giả: Nguyễn Thị Kim Duyên Đậu Thanh Kỳ Tổ mơn: Tốn – Tin Năm thực hiện: 2022 Số điện thoại: 0914.927.156 skkn PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong năm gần đây, tốc độ phát triển nhanh chóng tri thức nhân loại tiến khoa học kĩ thuật, đặc biệt công nghệ thông tin làm cho mô hình dạy học theo tiếp cận nội dung khơng cịn phù hợp Nghị Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực." Ở trường phổ thơng nói chung, việc dạy học mơn tốn để đáp ứng yêu cầu đổi giai đoạn phải tập trung vào việc hình thành phát triển lực chung lực chun biệt mơn tốn như: lực tư (gồm: tư lôgic; tư phê phán; tư sáng tạo; khả suy diễn, lập luận toán học), lực tính tốn (gồm: lực sử dụng phép tính; lực sử dụng ngơn ngữ tốn; lực mơ hình hóa; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện hỗ trợ tính tốn) Tư sáng tạo người “chìa khóa” đưa giới khơng ngừng phát triển, nhờ có tư sáng tạo giúp người khám phá, phát minh cơng trình vĩ đại làm thay đổi giới Phát triển tư sáng tạo cho HS (HS) việc làm quan trọng cần thiết trình dạy học, giáo dục HS Phát triển tư sáng tạo giúp HS tự tin vào thân để khơng ngừng khám phá, tìm tịi, phát mới; sáng tạo giúp HS chủ động tiếp thu kiến thức, có nghị lực niềm tin để chinh phục khó khăn học tập Cao tư sáng tạo giúp HS tìm đường ngắn nhất, nhanh để đạt thành công học tập, sống Trong chương trình tốn học phổ thơng, tốn max – hình học toạ độ đóng vai trị quan trọng Nó thường xuất câu khó đề thi học kỳ, thi vào trường Chuyên, thi HSG cấp, thi tốt nghiệp THPT Max – hình học toạ độ phần kiến thức có nhiều tiềm việc phát triển tư sáng tạo (TDST) cho HS, nội dung xuyên suốt từ hình học Oxy lớp 10 Oxyz lớp 12 Mặc dù tầm quan trọng toán max – hình học toạ độ lớn thế, khơng dạy chủ đề biệt lập, lồng ghép vào số toán chương trình Chính HS khơng học cách bản, không xâu chuỗi kiến thức nội dung kiến thức chuyên đề xuyên suốt chương trình mơn Tốn nhà trường phổ thơng Với trăn trở trên, lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển tư sáng tạo cho HS THPT thơng qua giải tốn max – hình học toạ độ” nhằm khơi gợi tư duy, định hướng giải tốn hình học toạ độ với mong muốn giúp em HS hứng thú đạt hiệu cao học chủ đề skkn II NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Điều tra thực trạng tình hình dạy học chủ đề max – hình học toạ độ trường THPT - Nghiên cứu kiến thức tảng liên quan đến chủ đề max – hình học toạ độ qua SGK tài liệu tham khảo - Triển khai đề tài trình dạy học cách lựa chọn kiến thức toán cực trị hình học toạ độ phù hợp đưa vào tiết học khố, tiết học thêm buổi chiều buổi bồi dưỡng HSG - Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với HS, giáo viên tốn qua thấy hiệu việc áp dụng đề tài đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung cực trị hình học toạ độ cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề nói riêng học mơn tốn nói chung III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - HS bậc trung học phổ thơng - GV dạy tốn bậc trung học phổ thơng - Tài liệu PPDH, hình học Oxy, Oxyz IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp điều tra, phân tích - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp vấn - Phương pháp phân tích - tổng hợp - Phương pháp thực nghiệm V CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Phần I Đặt vấn đề Phần II Nội dung Phần III Kết luận skkn PHẦN II NỘI DUNG A CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận đề tài 1.1.Tư 1.1.1 Khái niệm tư Theo Từ điển Tiếng Việt thì: “Tư (TD) q trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính chất quy luật vật, tượng” Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt não, q trình phản ánh tích cực giới quan khái niệm, phán đốn, lí luận Tiêu biểu cho tư trình trừu tượng hố, phân tích tổng hợp, việc nêu lên vấn đề định tìm cách giải chung, việc đề xuất giả thuyết, ý niệm Kết trình tư ý nghĩ đó” 1.1.2 Đặc điểm tư TD mà người chủ thể nảy sinh gặp tình “có vấn đề” Tuy nhiên vấn đề phải cá nhân nhận thức đầy đủ, chuyển thành nhiệm vụ cá nhân (cái biết, cịn cần tìm kiếm), đồng thời nằm ngưỡng hiểu biết cá nhân nhu cầu động tìm kiếm cá nhân Tiếp theo, TD phản ánh chất chung cho nhiều vật hợp thành nhóm, loại, phạm trù, đồng thời trừu xuất khỏi vật cụ thể, cá biệt Ngồi ra, TD phản ánh gián tiếp thực Trong TD, có khỏi kinh nghiệm cảm tính 1.1.3 Các thao tác tư a Các giai đoạn hoạt động tư Mỗi hành động tư trình giải nhiệm vụ đấy, nảy sinh trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn người Giai đoạn 1: Xác định vấn đề biểu đạt vấn đề; Giai đoạn 2: Huy động tri thức, kinh nghiệm; Giai đoạn 3: Sàng lọc liên tưởng hình thành giả thuyết; Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết; Giai đoạn 5: Giải nhiệm vụ đặt b Các thao tác tư Các giai đoạn tư phản ánh mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngồi tư Cịn nội dung bên diễn thao tác sau: + Phân tích tổng hợp Phân tích tách (trong tư tưởng) hệ thống thành vật, tách vật thành phận riêng lẻ Tổng hợp liên kết (trong tư tưởng) skkn phận thành vật, liên kết nhiều vật thành hệ thống Phân tích tổng hợp hai hoạt động trí tuệ trái ngược lại hai mặt trình thống + So sánh tương tự So sánh xác định trí óc giống hay khác nhau, đồng hay không đồng nhất, hay không vật tượng Tương tự phát trí óc giống đối tượng để từ kiện biết đối tượng dự đoán kiện đối tượng + Trừu tượng hóa Trừu tượng hóa tách đặc điểm chất khỏi đặc điểm không chất (sự phân biệt chất với không chất mang ý nghĩa tương đối, phụ thuộc vào mục đích hành động) + Khái qt hóa đặc biệt hóa Khái quát hóa chuyển từ tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn chứa tập hợp ban đầu cách nêu bật số đặc điểm chung phần tử tập hợp xuất phát Đặc biệt hóa chuyển từ việc khảo sát tập hợp đối tượng cho sang việc khảo sát tập hợp đối tượng nhỏ chứa tập hợp ban đầu 1.2 Các vấn đề tư sáng tạo 1.2.1 Khái niệm tư sáng tạo Tư sáng tạo dạng tư có tính linh hoạt, độc lập tính phê phán, đặc trưng sản sinh ý tưởng độc đáo có hiệu giải vấn đề cao Ý tưởng thể chỗ phát vấn đề mới, tìm hướng mới, cách giải tạo kết 1.2.2 Các đặc trưng tư sáng tạo - Tính mềm dẻo: Biết chuyển hướng gặp trở ngại khó khăn, biết quy lạ quen Vận dụng linh hoạt thao tác tư bản, kinh nghiệm, kĩ có vào giải tốn Có thể thấy tính mềm dẻo (linh hoạt) TD có đặc điểm sau: + Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác; dễ dàng chuyển từ giải pháp sang giải pháp khác; + Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ gặp trở ngại; + Suy nghĩ không rập khuôn, khơng áp dụng cách máy móc tri thức, kinh nghiệm, kĩ có vào điều kiện, hồn cảnh có yếu tố thay đổi; + Có khả khỏi ảnh hưởng kìm hãm kinh nghiệm, phương pháp, cách thức suy nghĩ có; + Nhận vấn đề điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức đối tượng quen biết skkn - Tính nhuần nhuyễn: Biết xét tốn nhiều góc độ, từ đề xuất cách giải khác cho toán lựa chọn cách giải tối ưu Tính nhuần nhuyễn TD thể đặc trưng sau: + Khả xem xét đối tượng nhiều khía cạnh khác nhau; có nhìn đa chiều, tồn diện vấn đề; + Khả tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ nhiều tình khác nhau; + Khả tìm nhiều giải pháp cho vấn đề từ sàng lọc giải pháp để chọn giải pháp tối ưu - Tính độc đáo: Biết tìm phương thức giải lạ, độc cải tiến cách giải có để trở nên tối ưu Tính độc đáo đặc trưng khả sau: + Khả tìm liên tưởng kết hợp mới; + Khả tìm mối liên hệ kiện bên ngồi tưởng khơng có quan hệ với nhau; + Khả tìm giải pháp lạ biết giải pháp khác Ngồi ra, TDST cịn đặc trưng nhiều yếu tố khác Chẳng hạn như: tính chi tiết: khả lập kế hoạch, phối hợp ý nghĩ hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra chứng minh ý tưởng; tính nhạy cảm: lực phát vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, bất hợp lý cách nhanh chóng, có tinh tế quan cảm giác, có lực trực giác, có phong phú cảm xúc, nhạy cảm, cảm nhận ý nghĩ người khác Các đặc trưng TDST khơng tách rời mà trái lại, chúng có quan hệ mật thiết, bổ sung hỗ trợ lẫn Tính mềm dẻo tư tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp góc độ khác nhau, nhờ đề xuất phương án hay, đặc sắc Cơ sở thực tiễn đề tài Để tìm hiểu cụ thể có nhìn đầy đủ, xác thực trạng việc phát triển tư sáng tạo cho HS THPT thơng qua giải tốn max – hình học toạ độ, chúng tơi tiến hành điều tra, khảo sát phiếu câu hỏi (ở phần phụ lục) với đối tượng 300 học sinh 86 giáo viên trường THPT địa bàn thành phố Vinh phụ cận Sau điều tra thu kết cụ thể sau: 2.1 Thực trạng giảng dạy giáo viên - Hầu hết giáo viên tập trung hướng dẫn yêu cầu HS làm tập giao sách giáo khoa mà chưa quan tâm nhiều đến việc phát nguồn gốc toán hay việc phát triển, mở rộng tổng quát toán nhằm phát triển TDST cho HS - Thường sau tiết lý thuyết đến tiết tập, giáo viên tập trung chữa tập cách túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi tập nhằm củng cố, khắc sâu lý thuyết học Nhiều giáo viên chưa thực quan tâm để giúp HS làm bật lên mối quan skkn hệ tập với tập khác, kiến thức học với kiến thức trước - GV chưa dành thời gian thỏa đáng để HS suy nghĩ vấn đề cần giải Nhiều GV cịn khơng dám để HS tự tranh luận sợ làm thời gian, khơng hồn thành dạy (cháy giáo án) Các hoạt động trao đổi, thảo luận tiến hành nhanh, gấp gáp, dẫn đến khơng kích thích HS tích cực suy nghĩ, tìm nhiều phương án, nhiều giải pháp giải pháp độc đáo cho vấn đề Tức không phát huy yếu tố TDST HS - GV chưa ý tạo điều kiện để kích thích TDST HS, chẳng hạn chưa tạo thi đua, thử thách, kích thích động sáng tạo HS, chưa ý rèn luyện biểu tính linh hoạt, mềm dẻo, thục giải vấn đề, tính độc đáo, hoàn thiện, chi tiết sản phẩm làm HS, mà yếu tố đặc trưng TDST 2.2 Thực trạng học tập HS Thông qua khảo sát điều tra HS học tập trường trường bạn địa bàn tỉnh Nghệ An thu thơng tin: - Rất nhiều HS bộc lộ yếu kém, hạn chế lực tư sáng tạo: nhìn đối tượng toán học cách rời rạc, chưa thấy mối liên hệ yếu tố toán học, thường yếu việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ quen, không linh hoạt điều chỉnh hướng suy nghĩ gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khn việc kiến tạo nên hệ thống tri thức tri thức cũ bị hạn chế - Đa số HS thường có thói quen giải xong tốn xem hồn thành cơng việc giao dừng lại đó, HS biết chủ động, khai thác, tìm tịi, suy nghĩ, vận dụng để giải số tốn khác Vì đứng trước tốn mới, tốn chưa có thuật giải hay tốn nâng cao HS thường có tâm lí sợ ngại, thiếu tự tin vào khả mình, lúng túng chưa biết cách chọn lọc kiến thức liên kết kiến thức cũ để giải vấn đề có liên quan - HS chưa hứng thú với chủ đề max – hình học toạ độ tâm lý nghĩ chủ đề khó nên khơng thể chinh phục - Khơng biết khai thác giả thiết để tìm chìa khố lời giải, lúng túng không theo hướng Vậy làm để khắc phục thực trạng đó? Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm, mạnh dạn đề xuất số giải pháp cụ thể áp dụng có hiệu đơn vị - trường THPT Huỳnh Thúc Kháng skkn B MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HS THPT THƠNG QUA GIẢI TỐN MAX – MIN TRONG HÌNH HỌC TOẠ ĐỘ Các nguyên tắc để đề xuất giải pháp - Đảm bảo tính khách quan, khoa học Cần xác định thái độ khách quan, khoa học nghiên cứu Các giải pháp đề xuất cần dựa sở hoạt động nghiên cứu kỹ lưỡng lý luận thực tiễn trường THPT Trong q trình cần tn thủ nghiêm ngặt quy trình khoa học xử lý thơng tin, dựa số liệu điều tra, khảo sát, có đầy đủ cần thiết định Các giải pháp cần kiểm chứng, khảo nghiệm thực tế, có khả thực cao - Đảm bảo tính thực tiễn Các giải pháp đề xuất cần dựa sở thực tiễn tình hình phát triển giáo dục giới, đất nước, địa phương, điều kiện thực tế nhà trường, xuất phát từ phân tích thực trạng nguyên nhân cụ thể Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, đề xuất giải pháp thực có hiệu trường THPT Huỳnh Thúc Kháng Điều có nghĩa giải pháp phải đáp ứng mục tiêu đào tạo phù hợp với điều kiện cụ thể nhà trường - Đảm bảo tính khả thi Các giải pháp đề xuất phải đảm bảo tính khả thi, có khả áp dụng vào thực tiễn cách thuận lợi, hiệu quả, phù hợp với tình hình thực tế sở giáo dục Khi đề xuất, cần tính toán, cân nhắc đầy đủ điều kiện thực tiễn nhà trường tình hình đội ngũ, đối tượng HS… Trong q trình thực hiện, giải pháp điều chỉnh, bổ sung, cải tiến để ngày hồn thiện, có khả ứng dụng phạm vi rộng lớn - Đảm bảo yêu cầu đổi PPDH Các giải pháp đề xuất phải đảm bảo phù hợp với yêu cầu đổi PPDH Ngày nay, trước ngưỡng cửa kỷ XXI - địi hỏi nhà trường phổ thơng phải đào tạo người nắm vững kiến thức khoa học mà loài người tích lũy mà cịn phải có lực sáng tạo giải vấn đề mẻ đời sống thân mình, đất nước, xã hội Như vậy, PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động để phát huy TDST cho em Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển TDST cho HS THPT thơng qua giải tốn max – hình học toạ độ Biện pháp Củng cố kiến thức liên quan tiếp cận dạng toán max – thường gặp hình học tọa độ từ hồn thiện phương pháp giải dạng skkn Như biết, toán toán max – hình học nói chung, max – hình học toạ độ nói riêng hội tụ nhiều kiến thức, kỹ phương pháp giải toán sơ cấp Vì vậy, HS giải tốn max – hình học phải huy động nhiều kiến thức liên quan, qua em củng cố, khắc sâu kiến thức toán nhiều Đây mảng kiến thức hay đề cập đề thi HS giỏi câu vận dụng cao đề thi TN THPT Tầm quan trọng không nhỏ, nhiên HS GV chưa thực quan tâm nhiều chủ đề Điều dẫn đến việc giải tập max – hình học toạ độ HS cịn tỏ lúng túng, chưa rèn luyện kỹ giải toán, chưa kích thích ham mê tìm tịi khám phá HS, từ HS tiếp thu kiến thức cách hình thức thụ động Để khắc phục tồn trên, người GV cần phải có phương pháp dạy học tích cực, quan tâm phần max – hình học toạ độ, giúp HS thấy hay, đẹp chủ đề này, ứng dụng thực tiễn từ làm cho HS thấy thiếu hụt tri thức thân có nhu cầu muốn bù đắp thiếu hụt đó, thoả mãn nhu cầu nhận thức thân Hầu hết tốn max – hình học toạ độ liên quan đến kiến thức hình học, bất đẳng thức Đại số Muốn giúp em HS phát triển tư sáng tạo học chủ đề phải có “Kiến thức vững chắc”, trình sáng tạo tái biết 1.1 Một số kiến thức liên quan thường dùng để giải toán max – hình học + Quan hệ đường vng góc đường xiên, hình chiếu : Trong đường xiên đường vng góc hạ từ điểm đến đường thẳng, : - Đường vng góc ngắn đường xiên - Đường xiên có hình chiếu lớn lớn ngược lại + Quan hệ cạnh góc tam giác - Trong tam giác, đối diện với cạnh lớn góc lớn ngược lại - Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng cạnh thứ ba tam giác lớn cạnh thứ ba tam giác góc đối diện lớn ngược lại Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc - Bất đẳng thức điểm: cho điểm A, B, C ta có: AB + AC  BC " = "  A, B, C thẳng hàng A nằm B C AB − AC  BC ; " = "  A, B, C thẳng hàng A nằm B C - Tổng quát: cho n điểm A1; A2 , An Ta có: A1 A2 + A2 A3 + + An−1 An  A1 An Dấu xảy A1; A2 , An thẳng hàng xếp theo thứ tự + Bất đẳng thức đường tròn: - Trong tất dây cung đường trịn, đường kính dây lớn - Trong đường trịn, dây cung có độ dài ngắn có khoảng cách đến tâm lớn ngược lại - Trong hai cung nhỏ đường tròn, cung lớn góc tâm lớn - Trong hai cung nhỏ đường tròn, cung lớn dây trương cung lớn skkn + Đánh giá phép biến đổi; + Đánh giá kĩ tính tốn; + Đánh giá tính lơgíc Thơng qua việc đánh giá, HS không rèn luyện kĩ xem xét, phân tích vấn đề mà sở tự điều chỉnh cách học, điều chỉnh hành vi phù hợp Các ví dụ sau thiết kế dạy cho HS chủ đề max – hình học toạ độ Tuy nhiên, cần phải hiểu tập luyện vào thời điểm khác xảy tiết học Giáo viên đưa tình sau cho HS hoạt động Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x − y + = hai điểm A ( 2;1) ; B ( 3;0 ) Tìm tọa độ điểm M nằm đường thẳng d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Lời giải Khi T = MA + 2MB = MA + MB + MB  AB + MB = + MB Suy Tmin  MBmin  MB ⊥ d Khi Tmin = + d ( B; d ) = Đẳng thức xảy M hình chiếu vng góc B lên đường thẳng d Đường thẳng qua B vng góc với đường thẳng d có phương trình x + y − =  M (1;2 ) Vậy Tmin =  M (1;2 ) GV? Hãy nhận xét xem lời giải chưa? Nếu sai, sửa lại cho Dự kiến phương án trả lời: Lời giải chưa vì: Kiểm tra lại ta thấy M (1;2 )  MA + MB = , lời giải sai! Nguyên nhân sai: Do quan tâm đến dấu dấu  MA  MB điều không xảy A, B nằm phía  MB ⊥ d Ta có Tmin   đường thẳng d nên MA  MB Lời giải sau: Cách 1: Có A, B nằm phía đường thẳng d gọi A điểm đối xứng A qua d Đường thẳng AA ' qua A ( 2;1) vng góc với đường thẳng d là: x + y − = Gọi H = AA  d  H (1;2 )  A ' ( 0;3) Khi T = MA + MB = MA '+ MB + MB  A ' B + MB = + MB Suy Tmin  MBmin  MB ⊥ d Khi Tmin = + d ( B; d ) =  MA  MB  M (1;2 )  MB ⊥ d Đẳng thức xảy  skkn 44 x = t gọi M ( t ; t + 1)  d y =1+ t Cách 2: Ptts đường thẳng d :  Khi MA + 2MB = (t − 2) + t2 + ( t − 3) + ( t + 1) = 2t − 4t + + 2t − 4t + 10 Xét hàm số f ( t ) = 2t − 4t + + 2t − 4t + 10 , t    1 = ( 4t − )  +  2 2t − 4t + 2t − 4t + 10 2t − 4t + 10   2t − 4t + f ' ( t ) =  t = ; Mặt khác lim f (t ) = + f (1) = f (t ) = 4t − 4t − + r →  ( MA + 2MB )min =  t =  M (1;2 ) Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 9;3; −9 ) , B (1;0;2 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Gọi M điểm thay đổi ( P ) Tìm GTNN T = MA + MB Lời giải: T = MA + MB  AB = 194 Đẳng thức xảy M , A, B thẳng hàng Suy M = AB  ( P )  x = + 8t   M (1 + 8t ;3t ;2 − 11t ) , t  Ta có AB :  y = 3t  z = − 11t  Do M  ( P ) nên (1 + 8t ) − 9t + − 11t − =  t = −1  M ( −7; − 3;13) Vậy Tmin = 194 M ( −7; − 3;13) GV? Hãy nhận xét xem lời giải chưa? Nếu sai, sửa lại cho Dự kiến phương án trả lời: Lời giải sai Có A, B nằm phía ( P ) nên điểm M nằm đoạn AB dấu khơng xảy Lời giải sau: Có A, B nằm phía ( P ) nên gọi A điểm đối xứng A qua ( P )  x = + 2t  Đường thẳng AA ' qua A ( 9;3; − ) vng góc với mặt phẳng ( P ) là:  y = − 3t ,  z = −9 + t  t  Gọi H = AA  ( P )  H (2t + 9;3 − 3t; t − 9)  ( P )  ( + 2t ) − ( − 3t ) − + t − =  t = 17    H 10; ; −   2 Có A điểm đối xứng với A qua ( P ) nên A(11;0; − 8) P = MA + MB = MA + MB  AB = 10 Đẳng thức xảy M , A ', B thẳng hàng, suy M = AB  ( P ) skkn 45 x = + t   M (t + 1;0;2 − t ) , t  Ta có A ' B :  y = z = − t  Do M  ( P ) nên ( t + 1) + − t − =  t =  M ( 4;0; − 1) Vậy Tmin = 10 M ( 4;0; − 1) 1  ;0  mặt cầu 2   2 ( S ) : x + y + z = Một đường thẳng qua điểm M cắt ( S ) hai điểm phân biệt A , B Diện tích lớn tam giác OAB A B C 2 D Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ; Lời giải 1: Mặt cầu ( S ) có tâm O ( 0;0;0 ) bán kính R = 2 Gọi H trung điểm AB  AB = HB Đặt OH = x  AB = HB = − x x2 + − x2 SOAB = OH HB = x − x = x (8 − x )  =4 Vậy diện tích lớn tam giác OAB Dấu xảy  x = − x  x = 2 2 Lời giải 2: Mặt cầu ( S ) có tâm O ( 0;0;0 ) bán kính R = 2 Dễ thấy tam giác AOB cân O OA = OB = R = 2 nên SOAB = OA.OB.sin AOB = 4sin AOB  ( sin AOB  ) Vậy diện tích lớn tam giác OAB Dấu xảy  sin AOB = suy tam giác AOB vuông cân O GV? Hãy nhận xét xem lời giải chưa? Nếu sai, sửa lại cho Dự kiến phương án trả lời: Lời giải sai dấu xảy  x =  OH =  OM điều xảy OH  OM Lời giải sau: Mặt cầu ( S ) có tâm O ( 0;0;0 ) bán kính R = 2 Ta có: OM =  R  điểm M nằm mặt cầu ( S ) Gọi H trung điểm AB  OH  OM ; đặt OH = x   x  SOAB = OH AB = OH − OH = x − x ; Xét hàm số f ( x ) = x − x đoạn  0;1 skkn 46 f ( x ) = − x − x2 − x2 = − x2 − x2  0, x   0;1  max f ( x ) = f (1) = Vậy diện tích lớn tam giác OAB 0;1 Dấu xảy  x = Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x = + t  d :  y = −2 + 2t ; t   z = −t  d ': x − y +1 z −1 = = Lập phương trình mặt phẳng ( Q ) −1 chứa d tạo với d ' góc lớn Lời giải Lời giải 1: Mặt phẳng ( Q ) cần lập tạo với d ' góc lớn Mà ta có 00  ( d ', ( Q ) )  900  ( d ', ( Q ) )max = 900  d ' ⊥ ( Q ) Chọn vtpt mặt phẳng ( Q ) nQ = ud ' ( 2; −1;2 ) Đường thẳng d qua điểm M = (1; − 2;0 ) nên M  ( Q ) Vậy phương trình mặt phẳng ( Q ) cần lập là: x − y + z − = Lời giải 2: Đường thẳng d có véctơ phương ud = (1;2; − 1) qua điểm M = (1; − 2;0 ) + Gọi nQ ( a; b; c ) (a + b + c  0) vtpt mặt phẳng ( Q ) cần lập Ta có: nP ud =  a + 2b − c =  c = a + 2b  nQ ( a; b; a + 2b ) Đường thẳng d ' qua điểm B ( 3; −1;1) có véc tơ phương ud ' ( 2; −1;2 ) ; cos ( d , ( Q ) ) = 4a + 3b (*) 2a + 4ab + 5b ( 4t + 3) a ;t = Chia tử mẫu (*) cho b ta có cos ( d , ( Q ) ) = 2t + 4t + b Xét hàm số f (t ) = ( 4t + 3) 2t + + ;t  ; Ta có f (t ) == ( 4t + 3)( t + ) ( 2t + 4t + )  3  4 625 75 a t =−  =− b Mặt khác lim f (t ) = f  −  = 0, f ( −7 ) = r → ( d ', ( Q ) ) max  cos ( d ', ( Q ) )min Chọn b = −4  a = 3; c = −5 Ta có phương trình mặt phẳng ( Q ) là: 3x − y − z − 11 = GV? Hãy nhận xét xem lời giải chưa? Nếu sai, sửa lại cho skkn 47 Dự kiến phương án trả lời: Lời giải sai: Mặt phẳng ( Q ) chứa d nên nP ud = Mà d d ' không song song với nên nP ud  Lời giải có hai lỗi sai: Lỗi sai 1: Áp dụng sai công thức tính góc đường thẳng mặt phẳng Ta có ( công thức là: sin ( d ; ( ) ) = cos ud , n ) Lỗi sai 2: Chia tử mẫu (*) cho b quên xét trường hợp b = Phép chia thực trường hợp b  Lời giải sau: Đường thẳ ng d có véctơ phương ud = (1;2; − 1) qua điểm M = (1; − 2;0 ) + Gọi nQ ( a; b; c ) (a + b + c  0) vtpt mặt phẳng ( Q ) cần lập Ta có: nP ud =  a + 2b − c =  c = a + 2b  nQ ( a; b; a + 2b ) Đường thẳng d ' qua điểm B ( 3; −1;1) có véc tơ phương ud ' ( 2; −1;2 ) ; ( 4a + 3b ) sin ( d , ( Q ) ) = = 2 2a + 4ab + 5b 2a + 4ab + 5b 2 Xét b =  sin ( d , ( Q ) ) = 4a + 3b ( 4t + 3) a ;t = Xét b   sin ( d , ( Q ) ) = 2t + 4t + b Từ đó, ta xét hàm số f (t ) = ( 4t + 3) 2t + + ;t   3  4 ; Ta có f (t ) == Mặt khác lim f (t ) = f  −  = 0, f ( −7 ) = r → ( d ', (Q ) ) ( 4t + 3)( t + ) ( 2t + 4t + ) 625 từ ta có 75  sin ( d ', ( Q ) )max  t = −7  a = −7 ; Chọn b =  a = −7; c = −5 max b Ta có phương trình mặt phẳng ( Q ) là: x − y + z − =  x = + 2t  Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = − t t  z = + t  hai điểm A ( 2; −2;1) ; B ( 0;2; −3) Tìm GTNN biểu thức cho: T = MA + MB với điểm M thuộc d Lời giải skkn 48 Lời giải 1: Ta có M    M (1 + 2t ;2 − t ;1 + t ) MA + MB = (1 − 2t ) + (t − 4) + t + (1 + 2t ) + t + ( −4 − t ) Áp dụng bất đẳng thức véc tơ: u + v  u + v ; u , v ta có Xét hai véc tơ u = (1 − 2t; t − 4; t ) ; v = (1 + 2t; −t; −4 − t )  u + v = Như MA + MB = u + v  u + v = Vậy Tmin = Lời giải 2: MA + MB = 6t − 12t + 17 + 6t + 12t + 17  11 11  2 =  (1 − t ) + + ( t + 1) +  Ta có bất đẳng thức a, b, c, d  R 6  a b 2 a + b + c + d  ( a + c ) + ( b + d ) Dấu xảy  = c d 2      11 11 2 MA + MB =  (1 − t ) +  −  + ( t + 1) +  −    6       2    11 11   (1 + 1) +  −   = Vậy Tmin =  6     GV? Hãy nhận xét xem lời giải chưa? Nếu sai, sửa lại cho Dự kiến phương án trả lời: Lời giải sai: Lời giải 1: Sai khơng kiểm tra dấu có xảy hay khơng? 1 − 2t = k (1 + 2t )  t − = k ( −t ) Theo lời giải dấu xảy  u  v   t = k ( −4 − t ) k   Hệ vô nghiệm dấu khơng xảy Lời giải 2: Sai sử dụng điều kiện xảy dấu chưa chưa kiểm tra dấu có xảy hay không? Như vậy, theo lời giải dấu xảy 1 − t = k ( t + 1)    11 11 , k   k = −1 (vơ lí) = − k   Chú ý: Bất đẳng thức phải là: + a, b, c, d  ta có: a + b + c + d  skkn (a + c) + (b + d ) 49 Dấu xảy  a b =  ( c, d  ) c d +Cho véc tơ u = ( a; b ) v = ( c; d ) ta có: a = kc  u + v  u + v ; u, v Dấu xảy  u  v  b = kd k   Lời giải sau: Cách 1: Ta có M    M (1 + 2t ;2 − t ;1 + t ) Xét MA + MB = 6t − 12t + 17 + 6t + 12t + 17  11 =  (1 − t ) + +  2    11  11 11 + ( t + 1) +    (1 + 1) +    = 17 6 6      Vậy MA + MB đạt GTNN 17 1 − t = k ( t + 1)  Dấu đạt  11 11 , k   t =  M (1;2;1) = k   Cách 2: Hình học Gọi K , H hình chiếu vng góc A, B lên đường thẳng d K    K (1 + 2t ;2 − t ;1 + t ) ; KA = (1 − 2t; t − 4; −t ) Ta có KA.ud =  (1 − 2t ) − 1.( t − ) + 1.( −t ) =  t = suy K ( 3;1;2 ) Tương tự ta có H ( −1;3;0 ) ; Dễ thấy AK = BH = 11 A  d , xét mặt phẳng ( d ; A ) Gọi B ' điểm nằm khác phía đường thẳng d cho HB ' ⊥ d HB ' = HB = 11 Khi B ' cố định ta có MB = MB '  MA + MB = MA + MB '  AB ' không đổi Vậy MA + MB đạt GTNN AB ' , điểm M giao điểm AB ' đường thẳng d  M  E = AB ' d B d A H E M K P B' skkn 50 Ta có AK HB ' nên EK AK = =  EK = − EH  E (1;2;1)  M (1;2;1) EH B ' H Một lưu ý cho GV tổ chức hoạt động đánh giá phải hướng vào hành vi kết học tập, khơng phải hướng vào thái độ tính cách người Từ kết đánh giá kinh nghiệm sau đánh giá, người học cần thực vài hoạt động bổ sung, có tác dụng luyện tập, rèn luyện kĩ củng cố học Qua bổ sung, trình kết học tập người học nhìn nhận với nhìn mẻ hơn, đầy đủ hoàn thiện C THỰC NGHIỆM ĐỀ TÀI ( Tư liệu minh chứng phần phụ lục) Đối tượng thực nghiệm Việc thực nghiệm thực trường THPT Huỳnh Thúc Kháng, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An Lớp thực nghiệm: A1k99 có 41 HS A1k101 có 44 HS Lớp đối chứng: A7k99 có 49 HS A2k101 có 45 HS Kết thực nghiệm Kết thúc đợt thực nghiệm cho HS lớp thực nghiệm lớp đối chứng làm kiểm tra đề để đánh giá kết thực nghiệm Kết thu sau: Kết đề kiểm tra số Điểm 10 Tổng số Lớp Thực nghiệm 11 41 Đối chứng 13 11 12 49 Lớp thực nghiệm có 41/41 (100%) đạt trung bình trở lên, 70,7% giỏi Có 02 HS đạt điểm tuyệt đối Lớp đối chứng có 47/49 (95,9%) đạt trung bình trở lên, có 46,9% giỏi Khơng có HS đạt điểm tuyệt đối Kết đề kiểm tra số Điểm 10 Tổng số Thực nghiệm 8 11 44 Đối chứng 10 10 10 45 Lớp Lớp thực nghiệm có 43/44 (97,7%) đạt trung bình trở lên, có 66% giỏi Có 01 HS đạt điểm tuyệt đối skkn 51 Lớp đối chứng có 35/45 (77,8%) đạt trung bình trở lên, có 20% đạt giỏi Khơng có HS đạt điểm tuyệt đối Những kết luận rút từ thực nghiệm Qua quan sát hoạt động HS lớp thực nghiệm lớp đối chứng, chúng tơi thấy: Ở lớp thực nghiệm, HS tích cực hoạt động, chịu khó suy nghĩ, tìm tịi phát huy tư độc lập, sáng tạo lớp đối chứng Khả tiếp thu kiến thức mới, lực giải vấn đề tiết học lớp thực nghiệm tốt so với lớp đối chứng Bước đầu hình thành thói quen suy nghĩ tìm tịi, đặt câu hỏi xoay quanh tốn, giải xong biết cách khai thác sâu lời giải, khả huy động kiến thức bản, kiến thức liên quan để giải toán tốt lớp đối chứng.Tuy nhiên, lớp thực nghiệm số dạy GV gặp khó khăn hạn chế thời gian Cả hai kiểm tra cho thấy kết đạt lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng, đặc biệt tỉ lệ loại đạt khá, giỏi Từ kết luận khẳng định rằng: tư sáng tạo HS lớp thực nghiệm nâng cao lớp đối chứng skkn 52 PHẦN KẾT LUẬN I Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI Quá trình nghiên cứu Để đạt kết nêu trên, tiến hành trình nghiên cứu nghiêm túc, khách quan, khoa học Đề tài hướng đến mục đích nghiên cứu lý luận, đánh giá thực trạng hoạt động dạy học GV HS nhà trường THPT để từ đề xuất giải pháp góp phần phát triển TDST cho HS THPT thơng qua giải tốn max – hình học toạ độ nhằm thúc đẩy chất lượng dạy học chủ đề Phương pháp nghiên cứu sử dụng bao gồm: phương pháp nghiên cứu lý luận, phương pháp điều tra khảo sát xử lý số liệu, phương pháp quan sát sư phạm, phương pháp thực nghiệm sư phạm, phương pháp vấn… Quá trình nghiên cứu dựa nguồn tài liệu có độ tin cậy cao, khảo sát điều tra xác từ nhiều đối tượng (học sinh, giáo viên) Trong thực hiện, chúng tơi có điều chỉnh kịp thời biện pháp để phù hợp đạt hiệu cao Đề tài nhận quan tâm tham gia tích cực học sinh, đồng nghiệp nhà trường Tính đề tài Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu HS, thấy đề tài đạt số kết cụ thể sau: - Luyện tập cho HS thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để HS phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà HS phát triển khả nói lưu lốt, biết lí luận chặt chẽ giải tốn - Ngồi có nhiều toán giải nhiều cách khác giúp em HS trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải - Tập luyện cho HS thói quen khai thác đề để sáng tạo toán giúp em tự tin học tập Tính khoa học Đề tài đảm bảo tính xác khoa học mơn, quan điểm tư tưởng Các phương pháp nghiên cứu phù hợp với đối tượng, cấu trúc logic, hợp lí, chặt chẽ, qui định Nội dung đề tài trình bày, lí giải vấn đề cách mạch lạc Các luận khoa học có sở vững chắc, khách quan, số liệu thống kê xác, trình bày có hệ thống Phương pháp xử lí, khai thác tài liệu tiến hành qui chuẩn công trình khoa học Đề tài lập luận chặt chẽ, thấu đáo, có tính thuyết phục cao Tính hiệu phạm vi áp dụng Đề tài thực năm học 2021 – 2022 Do nội dung max – hình học toạ độ có mặt nhiều nội dung tốn THPT; với lớp 10 toạ độ phẳng Oxy, lên lớp 12 toạ độ khơng gian Oxyz Đề tài phù hợp áp dụng cho đối skkn 53 tượng HS khối từ lớp 10, lớp 11, lớp 12 Đề tài thể có tính chất phân cấp từ dễ đến khó, từ lí thuyết đến thực hành vận dụng sáng tạo II MỘT SỐ KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Với cấp quản lí giáo dục Cần nâng cao nhận thức GV TDST tầm quan trọng dạy học phát triển TDST cho HS Các nhà trường cần động viên, khuyến khích tạo điều kiện cho GV đầu tư chuyên môn, đổi phương pháp dạy học nhằm đáp ứng chương trình phổ thơng 2018 Với giáo viên GV cần vào điều kiện cụ thể, đặc biệt trình độ HS, để có vận dụng linh hoạt, sáng tạo biện pháp phát triển TDST nhằm phát huy hiệu cao Không thiết phải rèn luyện theo trình tự biện pháp xây dựng, cần nhận thức rõ biện pháp phù hợp với hoạt động cụ thể học để khai thác có hiệu Với HS - HS cần phải tránh cách học thụ động, máy móc, thiếu tính sáng tạo Đối với phương pháp dạy học mới, HS ln đóng vai trị trung tâm tiết học, HS chủ thể trình nhận thức, người tự khám phá chiếm lĩnh lấy tri thức cho - Đứng trước tốn, ngồi việc tìm lời giải, HS cần phải đặt tốn mối quan hệ với kiến thức học để từ khám phá điều ẩn chứa toán Sau giải xong tốn, HS cần phải “nhúng” tốn vào lĩnh vực tốn học khác để tìm toán tương tự lĩnh vực Cuối cùng, chúng tơi tâm huyết bỏ nhiều thời gian đầu tư nghiên cứu thực đề tài này, nhiên khuôn khổ số trang cho phép đưa nhiều ví dụ minh hoạ thêm cho biện pháp không đưa nhiều tập luyện tập kèm Dù có nhiều cố gắng đề tài khơng tránh khỏi sai sót, chúng tơi mong nhận góp ý hội đồng khoa học cấp, đồng nghiệp bạn đọc để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng năm 2022 Nhóm tác giả skkn 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Cảnh Toàn (chủ biên), Nguyễn Kỳ, Lê Khánh Bằng, Vũ Văn Tảo (2002), Học dạy cách học, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội G Polya (1976) Sáng tạo toán học (tập 3) NXB Giáo dục G.Polya (2009) Giải toán NXB Giáo dục Việt Nam Nguyễn Bá Kim (2008) Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB Đại học Sư phạm Phạm Gia Đức (2007) Đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường trung học sở nhằm hình thành phát triển lực sáng tạo cho HS NXB Đại học Sư phạm Chu Cẩm Thơ (2015) Phát triển tư thơng qua dạy học mơn Tốn trường phổ thông NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Thái Hòe (2004) Rèn luyện tư qua việc giải tập tốn NXB Giáo dục Hồng Chúng (1964), Rèn luyện khả sáng tạo toán học nhà trường phổ thông NXB Giáo dục Nguyễn Thái Hoè (2001), Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, NXB Giáo Dục 10 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ NXB Giáo dục 11 Các tài liệu internet skkn 55 MỤC LỤC PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI II NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU V CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI PHẦN II NỘI DUNG A CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận đề tài 1.1.Tư 1.1.1 Khái niệm tư 1.1.2 Đặc điểm tư 1.1.3 Các thao tác tư 1.2 Các vấn đề tư sáng tạo 1.2.1 Khái niệm tư sáng tạo 1.2.2 Các đặc trưng tư sáng tạo Cơ sở thực tiễn đề tài 2.1 Thực trạng giảng dạy giáo viên 2.2 Thực trạng học tập HS B MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HS THPT THÔNG QUA GIẢI TỐN MAX – MIN TRONG HÌNH HỌC TOẠ ĐỘ Các nguyên tắc để đề xuất giải pháp Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển TDST cho HS THPT thơng qua giải tốn max – hình học toạ độ Biện pháp Củng cố kiến thức liên quan tiếp cận dạng toán max – thường gặp hình học tọa độ từ hồn thiện phương pháp giải dạng Biện pháp Rèn luyện cho HS khả quy lạ quen giải Toán Biện pháp Rèn luyện cho HS khả quy lạ quen giải Toán 17 Biện pháp Hướng dẫn HS phân tích tốn, nhìn tốn nhiều góc độ khác để tìm phương thức giải sáng tạo, độc đáo lựa chọn cách giải tối ưu 24 skkn 56 Biện pháp Hướng dẫn tập luyện cho HS khả khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa thơng qua giải tốn max – hình học toạ độ 27 Biện pháp Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua việc cho HS tập sáng tác toán 32 Biện pháp Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua vận dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ 38 Biện pháp Bồi dưỡng lực phát vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, bất hợp lý lời giải toán, đánh giá nhận xét lời giải 42 Những kết luận rút từ thực nghiệm 51 PHẦN KẾT LUẬN 52 II Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI 52 Quá trình nghiên cứu 52 Tính đề tài 52 Tính khoa học 52 Tính hiệu phạm vi áp dụng 52 II MỘT SỐ KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT 53 Với cấp quản lí giáo dục 53 Với giáo viên 53 Với HS 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 skkn 57 skkn 58 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THƠNG QUA GIẢI TỐN MAX – MIN TRONG HÌNH HỌC TOẠ ĐỘ LĨNH VỰC:... trở trên, lựa chọn đề tài: ? ?Góp phần phát triển tư sáng tạo cho HS THPT thơng qua giải tốn max – hình học toạ độ? ?? nhằm khơi gợi tư duy, định hướng giải tốn hình học toạ độ với mong muốn giúp em... hình học toạ độ liên quan đến max – min, dùng phương pháp đại số khơng giúp người làm toán thấy vẻ đẹp toán max – hình học nói chung, hình học toạ độ nói riêng 1.3 Một số tốn max – hình học toạ