Luận văn thạc sĩ khoa học máy tính nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian và ứng dụng trong mô hình chuỗi thời gian mờ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http //www lrc tnu edu vn i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG PHẠM THỊ THU HƢỜNG NHÓM QUAN HỆ MỜ PHỤ THUỘC THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤN[.]

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THƠNG TIN & TRUYỀN THƠNG PHẠM THỊ THU HƢỜNG NHĨM QUAN HỆ MỜ PHỤ THUỘC THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG TRONG MƠ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN MỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Thái Nguyên - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THƠNG PHẠM THỊ THU HƢỜNG NHĨM QUAN HỆ MỜ PHỤ THUỘC THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG TRONG MƠ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN MỜ Chun ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Cơng Điều Thái Ngun - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Những nội dung luận văn thực dƣới hƣớng dẫn trực tiếp thầy giáo hƣớng dẫn TS Nguyễn Công Điều Mọi tham khảo luận văn đƣợc trích dẫn rõ ràng tác giả, tên cơng trình, thời gian, địa điểm công bố Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian lận tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Thái Ngun, tháng 05 năm 2015 Tác giả luận văn Phạm Thị Thu Hƣờng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iv LỜI CẢM ƠN Trƣớc hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Cơng Điều tận tình hƣớng dẫn, bảo cung cấp tài liệu hữu ích để tơi hồn thành luận văn Xin cảm ơn lãnh đạo trƣờng Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông – Đại học Thái Nguyên, Đại học Công nghiệp Việt trì tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt suốt trình thực luận văn Tôi xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến gia đình, ngƣời thân, bạn bè, đồng nghiệp, ngƣời ln động viên, khuyến khích giúp đỡ mặt để tơi hồn thành cơng việc nghiên cứu Tuy nhiên điều kiện thời gian khả có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong thầy giáo bạn đóng góp ý kiến để đề tài đƣợc hoàn thiện Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Tác giả luận văn Phạm Thị Thu Hƣờng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i MỤC LỤC Trang phụ bìa LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC i DANH MỤC BẢNG BIỂU iii DANH MỤC HÌNH VẼ iv MỞ ĐẦU CHƢƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TẬP MỜ 1.1 TẬP MỜ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ 1.1.1 Tập mờ 1.1.2 Một số khái niệm tập mờ 1.2 CÁC QUAN HỆ VÀ SUY DIỄN MỜ 13 1.2.1 Quan hệ mờ 13 1.2.2 Suy luận xấp xỉ suy diễn mờ 16 1.2.3 Bộ giải mờ 20 1.2.4 Ví dụ minh họa 22 CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM VÀ MƠ HÌNH CƠ BẢN CỦA CHUỖI THỜI GIAN MỜ 23 2.1 CHUỖI THỜI GIAN MỜ 23 2.1.1 Khái niệm tính chất chuỗi thời gian 23 2.1.2 Chuỗi thời gian mờ 28 2.1.3 Các phƣơng pháp chia khoảng 29 2.1.4 Mơ hình chuỗi thời gian mờ Song & Chissom 31 2.2 MỘT SỐ MƠ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN MỜ BẬC MỘT CẢI BIÊN 32 2.2.1 Mơ hình Chen 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii 2.2.2 Mơ hình Heuristic Huarng 33 2.2.3 Mô hình chuỗi thời gian mờ có trọng Yu 34 2.3 NHÓM QUAN HỆ MỜ PHỤ THUỘC THỜI GIAN VÀ MƠ HÌNH CẢI BIÊN 36 2.3.1 Nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian 36 2.3.2 Mơ hình cải biên sử dụng nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian 37 CHƢƠNG ỨNG DỤNG NHÓM QUAN HỆ MỜ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG DỰ BÁO DÂN SỐ 39 3.1 PHƢƠNG PHÁP CHIA GIÁ TRỊ THÀNH 12 KHOẢNG BẰNG NHAU 40 3.2 PHƢƠNG PHÁP CHIA GIÁ TRỊ THÀNH KHOẢNG BẰNG NHAU 45 3.3 PHƢƠNG PHÁP CHIA KHOẢNG THEO MẬT ĐỘ 47 KẾT LUẬN 53 PHỤ LỤC 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 1.1 Biểu diễn tập mờ A Bảng 1.2 Các cặp T - chuẩn T - đối chuẩn 10 Bảng 1.3 Một số phép kéo theo mờ thông dụng 11 Bảng 2.1 Ánh xạ sở 30 Bảng Số lƣợng trẻ em sinh năm 39 Bảng 3.2 Phân khoảng 40 Bảng 3.3 Mối quan hệ mờ 41 Bảng Các nhóm mối quan hệ mờ 42 Bảng 3.5 Nhóm quan hệ mờ theo Chen , theo Yu nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian 42 Bảng 3.6 Kết dự báo phƣơng pháp khác 43 Bảng 3.7 So sánh hiệu thuật toán 44 Bảng 3.8 Chia khoảng 46 Bảng 3.9 Các nhóm mối quan hệ mờ phụ thuộc thời gian 47 Bảng 3.10 Phân bố giá trị khoảng 48 Bảng 3.11 Phân khoảng 48 Bảng 3.12 Nhóm mối quan hệ mờ 49 Bảng 3.13 Các nhóm mối quan hệ mờ 49 Bảng 3.14 Kết dự báo phƣơng pháp khác 50 Bảng 3.15 So sánh hiệu thuật toán 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iv DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 Hàm thuộc tập B Hình 1.2 Miền xác định miền tin cậy tập mờ A Hình 1.3 Tập bù tập mờ A Hình 3.1 Đồ thị so sánh giá trị thực giá trị dự báo 45 Hình PL So sánh kết dự báo Chen, Yu, cải biên sai số MSE 55 Hình PL So sánh kết dự báo phƣơng pháp chia khoảng sai số MSE 56 Hình PL Kết chƣơng trình 57 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Mơ hình chuỗi thời gian mờ có nhiều ứng dụng công tác dự báo, dự báo kinh tế Từ cơng trình ban đầu chuỗi thời gian mờ đƣợc xuất năm 1993, mơ hình đƣợc sử dụng để dự báo nhiều lĩnh vực kinh tế hay xã hội, giáo dục để dự báo số sinh viên nhập trƣờng [9] – [11] hay lĩnh vực dự báo thất nghiệp, dân số, chứng khoán đời sống nhƣ dự báo mức tiêu thụ điện, hay dự báo nhiệt độ thời tiết Khái niệm tập mờ đƣợc Zadeh đƣa từ năm 1965 ngày tìm đƣợc ứng dụng nhiều lĩnh vực khác điều khiển trí tuệ nhân tạo Trong lĩnh vực phân tích chuỗi thời gian, Song Chissom [9], [10] đƣa khái niệm chuỗi thời gian mờ không phụ thuộc vào thời gian (chuỗi thời gian dừng) phụ thuộc vào thời gian (không dừng) để dự báo Chen [11] cải tiến đƣa phƣơng pháp đơn giản hữu hiệu so với phƣơng pháp Song Chissom Trong phƣơng pháp mình, thay sử dụng phép tính tổ hợp Max - Min phức tạp, Chen tính tốn phép tính số học đơn giản để thiết lập mối quan hệ mờ Phƣơng pháp Chen cho hiệu cao mặt sai số dự báo giảm độ phức tạp thuật tốn Trong năm gần nhiều cơng trình đƣợc hồn thành theo hƣớng nâng cao độ xác giảm khối lƣợng tính tốn mơ hình chuỗi thời gian mờ nhƣ báo Chen Hsu, Huarng, Kuo, Yu [6] – [12] Tuy nhiên xét độ xác dự báo, thuật toán cho kết chƣa cao Để nâng cao độ xác dự báo, số thuật tốn cho mơ hình chuỗi thời gian mờ liên tiếp đƣợc đƣa Chen [12] sử dụng mơ hình bậc cao chuỗi thời gian mờ để tính tốn Sah Degtiarev thay dự báo chuỗi thời gian sử dụng chuỗi thời gian hiệu số bậc để nâng cao độ xác làm giảm độ phi tuyến Gần có nhiều cải tiến đƣợc nhà nghiên cứu giới đƣa để cải tiến độ xác mơ hình theo nhiều hƣớng khác Chen (2002) dựa mô hình trƣớc đƣa mơ hình chuỗi thời gian mờ bậc cao ứng dụng dự báo Huarng (2001) nghiên cứu ảnh hƣởng độ dài khoảng lên độ xác mơ hình đề xuất hai phƣơng pháp chia khoảng phân chia dựa phân bố dựa giá trị trung bình Tiếp theo hƣớng phát triển này, Huarng Yu (2006), Chen Chung (2006), Kuo (2008) tập trung vào việc phân chia khoảng để nâng cao độ xác mơ hình Chen Chung (2006) sử dụng giải thuật gen để điều chỉnh độ dài khoảng cho mơ hình bậc bậc cao chuỗi thời gian mờ Li Cheng (2008) sử dụng thuật tốn C-mean mờ cho mục đích Cuối Kuo tác giả khác (2008) đề xuất thuật toán dựa phƣơng pháp tối ƣu đám đông để cải tiến cách xây dựng độ dài khoảng Mơ hình chuỗi thời gian mờ Song - Chissom Nhƣng cải biên quan trọng thuộc kết Chen Trong mơ hình Chen thay dự báo giá trị tập mờ mối quan hệ mờ phức tạp nhƣng tự nhiên, Chen đƣa khái niệm nhóm quan hệ logic mờ đƣa luật dự báo nhóm quan hệ mờ Từ trình giải mờ đƣợc thực phép tính sơ cấp cộng trừ Cách tính làm giảm khối lƣợng tính tốn đáng kể Đây cải tiến làm sở cho hàng loạt nghiên cứu cải tiến Nhƣng cơng trình chủ yếu theo xu hƣớng nâng cấp theo việc xác định độ dài vị trí điểm phân chia tập Liên quan đến cách xác định nhóm quan hệ mờ có cơng trình Huarng [7], [8] làm đơn giản nhóm quan hệ mờ hàm Heuristic Yu Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn [6] ý đến tính lặp lại tập mờ nhóm quan hệ logic mờ để gán tầm quan trọng chúng giá trị trọng số lần lặp Tiếp theo Dieu N.C [3], [4] ý đến yếu tố thời gian nhóm quan hệ logic mờ Yu đề xuất khái niệm nhóm quan hệ logic mờ phụ thuộc thời gian ứng dụng dự báo Các cải tiến xây dựng nhóm quan hệ mờ đƣợc coi cải tiến hầu nhƣ cải tiến phƣơng pháp khác phải dựa nhóm quan hệ mờ để dự báo Với mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu khái niệm, tính chất thuật tốn khác mơ hình chuỗi thời gian mờ nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian để dự báo, kỳ làm luận văn tốt nghiệp, tác giả chọn đề tài: “Nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian ứng dụng mơ hình chuỗi thời gian mờ” Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đề tài: “Nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian ứng dụng mơ hình chuỗi thời gian mờ” tìm hiểu, nghiên cứu khái niệm liên quan đến mơ hình chuỗi thời gian mờ, đồng thời mô tả thuật tốn liên quan đến dự báo thơng qua mơ hình chuỗi thời gian mờ Đặc biệt sâu nghiên cứu cải tiến mơ hình cải biên chuỗi thời gian mờ phƣơng pháp xây dựng nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian Để chứng tỏ tính ƣu việt thuật tốn đồng thời mở ứng dụng phƣơng pháp, tác giả sử dụng từ số liệu thực tế lĩnh vực xã hội nhƣ số trẻ em sinh thành phố Việt Trì để tiến hành xây dựng mơ hình tiến hành dự báo Kết dự báo so sánh với kết Chen Yu Đồng thời so sánh ba kết phƣơng pháp cải biên chia chuỗi giá trị thành nhiều đoạn với độ dài khác chia theo mật độ xuất giá trị Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm liên quan đến lý thuyết tập mờ, chuỗi thời gian mơ hình chuỗi thời gian mờ Tìm hiểu số thuật tốn mơ hình chuỗi thời gian mờ, đặc biệt cải biên cách xác định nhóm quan hệ mờ phụ thuộc vào thứ tự thời gian Tính tốn thử nghiệm cho chuỗi liệu số trẻ em sinh thành phố Việt Trì mơ hình so sánh hiệu thuật tốn áp dụng mơ hình thời gian mờ thuật toán Chen Yu Các cơng cụ lập trình Ý nghĩa khoa học đề tài Mơ hình thời gian mờ sử dụng thuật tốn cải biên mơ hình chuỗi thời gian mờ có trọng có khả áp dụng hiệu thực tế Phƣơng pháp dự báo đơn giản hiệu cho toán dự báo chuỗi thời gian phi tuyến Khả áp dụng lý thuyết tập mờ lĩnh vực khác Bố cục luận văn Luận văn gồm có chƣơng phần kết luận với nội dung sau: Chƣơng Một số khái niệm tập mờ Chƣơng Các khái niệm mơ hình chuỗi thời gian mờ Chƣơng Kiểm chứng mơ hình cải biên chuỗi số liệu thực tế dự báo số trẻ em sinh thành phố Việt Trì Phần kết luận Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn CHƢƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TẬP MỜ Tốn học ln địi hỏi xác số ứng dụng thực tế lại không cần xác mà chủ yếu hiệu Logic mờ giải pháp tốt trƣờng hợp liệu nhận đƣợc khơng đầy đủ, độ xác thấp lời giải khơng địi hỏi độ xác cao, mơ đƣợc cách giải ngƣời Khái niệm logic mờ đƣợc giáo sƣ Lofti A.Zadeh đƣa lần vào năm 1965 Mỹ Cơng trình thực khai sinh ngành khoa học gọi lý thuyết tập mờ nhanh chóng đƣợc nhà nghiên cứu công nghệ chấp nhận ý tƣởng Từ lý thuyết mờ đƣợc phát triển ứng dụng rộng rãi, tạo vững để phát triển logic mờ Có thể nói logic mờ tảng để xây dựng hệ mờ thực tiễn, ví dụ hệ chuyên gia y học giúp chuẩn đoán điều trị bệnh, hệ chuyên gia xử lý tiếng nói, nhận dạng hình ảnh,…Cơng cụ chủ chốt logic mờ tiền đề hóa suy luận xấp xỉ suy diễn mờ Trong chƣơng này, mục đích giới thiệu khái niệm tập mờ, tập trung vào phép toán tập mờ bƣớc đầu vào quan hệ mờ, suy luận xấp xỉ với phép suy diễn mờ, giải mờ 1.1 TẬP MỜ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ 1.1.1 Tập mờ Tập mờ A xác định tập vũ trụ X tập mà phần tử cặp giá trị (x,µA(x)), x µA: X X µA ánh xạ: [0,1] Ánh xạ µA đƣợc gọi hàm thuộc hàm liên thuộc (hoặc hàm thành viên - membership function) tập mờ A (để cho đơn giản cách viết, Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn sau ta ký hiệu A(x) thay cho hàm A(x) ) Tập X đƣợc gọi sở tập mờ A µA(x) độ phụ thuộc Khoảng xác định hàm A(x) đoạn [0,1], giá trị mức độ khơng thuộc giá trị mức độ thuộc hồn tồn Sử dụng hàm thuộc để tính độ phụ thuộc phần tử x đó, có hai cách: Tính trực tiếp μA(x) dạng cơng thức tƣờng minh Tra bảng μA(x) dạng bảng Kí hiệu: A = { (μA(x)/x) : x X} Ví dụ 1: Một tập mờ B số tự nhiên nhỏ với hàm thuộc B(x) có dạng nhƣ Hình 1.1 định nghĩa tập vũ trụ X chứa phần tử sau: B = {(1,1),(2,1),(3,0.95),(4,0.7)} Hình 1.1 Hàm thuộc tập B Các số tự nhiên 1, 2, có độ phụ thuộc nhƣ sau: μB(1) = μB(2) = 1, μB(3) = 0.95, μB(4) = 0.7 Những số khơng đƣợc liệt kê có độ phụ thuộc Ví dụ Xét X tập giá trị thang điểm 10 đánh giá kết học tập học sinh môn Tốn, X = {1, 2, …, 10} Khi khái niệm mờ lực học mơn tốn giỏi đƣợc biểu thị tập mờ A sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn A = 0.1/4 + 0.2/5 + 0.4/6 + 0.7/7 + 0.9/8 + 1.0/9 +1.0/10 Trong trƣờng hợp tập mờ rời rạc ta biểu diễn tập mờ dạng bảng Chẳng hạn, tập mờ A ta có bảng nhƣ sau: Bảng 1.1 Biểu diễn tập mờ A X 10 A 0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 1.0 1.1.2 Một số khái niệm tập mờ Miền xác định: Biên giới tập mờ A, ký hiệu supp(A), tập rõ gồm phần tử X có mức độ phụ thuộc x vào tập mờ A lớn supp(A) = { x | μA(x) > } (1.1) Miền tin cậy: Lõi tập mờ A, ký hiệu core(A), tập rõ gồm phần tử X có mức độ phụ thuộc x vào tập mờ A core(A) = { x | μA(x) = 1} (1.2) Hình 1.2 Miền xác định miền tin cậy tập mờ A Độ cao tập mờ: Độ cao tập mờ A, ký hiệu: h(A), mức độ phụ thuộc cao x vào tập mờ A Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Một tập mờ có phần tử có độ phụ thuộc đƣợc gọi tập mờ tắc, tức h(A) = 1, ngƣợc lại tập mờ A với h(A) < đƣợc gọi tập mờ khơng tắc h( A) Sup A (1.3) ( x) x X 1.1.3 Các phép toán tập mờ 1.1.3.1 Phép bù tập mờ Định nghĩa Cho tập mờ A tập vũ trụ X, tập mờ bù A tập mờ , hàm thuộc A ( x) đƣợc tính từ hàm thuộc μA(x) (1.4) A Hình 1.3 Tập bù tập mờ A a) Hàm thuộc tập mờ A b) Hàm thuộc tập mờ Một cách tổng quát để tìm [0,1] nhƣ sau: A ( x) c( A từ μA(x), ta dùng hàm bù c :[0,1] ( x)) Định nghĩa (Hàm phủ định): Hàm n: [0,1] không tăng thỏa mãn điều kiện n(0) = 1, n(1) = đƣợc gọi hàm phủ định (negation function) Định nghĩa 3: (Phần bù tập mờ): Cho n hàm phủ định, phần bù Ac tập mờ A tập mờ với hàm thuộc đƣợc xác định bởi: Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Ac(x) = n(A(x)), với x (1.5) 1.1.3.2 Phép giao hai tập mờ Định nghĩa 3( T - chuẩn): Hàm T: [0,1]2 [0,1] phép bội (T - chuẩn) thoả mãn điều kiện sau: 1.T(1, x) = x, với x 2.T có tính giao hốn : T(x,y) = T(y,x), với T không giảm: T(x,y) = T(u,v), với x x, y u, y v T có tính kết hợp: T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z), với x,y, z Định nghĩa ( Phép giao hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B không gian với hàm thuộc A(x), B(x) tƣơng ứng Cho T T- Chuẩn Phép giao hai tập mờ A, B tập mờ (ký hiệu (A TB)) với hàm thuộc cho biểu thức: (A TB)(x) = T(A(x), B(x)), với x (1.6) 1.1.3.3 Phép hợp hai tập mờ Định nghĩa (T - đối chuẩn): Hàm S:[0,1]2 đƣợc gọi phép tuyển ( T- đối chuẩn) thoả mãn điều kiện sau: S(0,x) = x, với x S có tính giao hốn : S(x,y)= S(y,x) với S không giảm: S(x,y)= S(u,v), với x u, y x,y v S có tính kết hợp: S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z) với x, y, z Định nghĩa (Phép hợp hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B không gian với hàm thuộc A(x), B(x) tƣơng ứng Cho S T - đối chuẩn Phép hợp hai tập mờ A, B tập mờ ( kí hiệu A SB)) với hàm thuộc cho biểu thức: (A SB)(x)=S(A(x),B(x)), với x Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN (1.7) http://www.lrc.tnu.edu.vn 10 1.1.3.4 Luật De Morgan Cho T T - chuẩn, S T - đối chuẩn n phép phủ định mạnh Khi ba (T, S, n) ba De Morgan nếu: n(S(x,y)) = T(n,(x),n(y)) (1.8) Với phép phủ định n(n-1) = 1- x, có số cặp T- chuẩn Tđối chuẩn thoả mãn luật DeMorgan bảng 1.2 Bảng 1.2 Các cặp T - chuẩn T - đối chuẩn STT T(x,y) S(x,y) Min(x,y) Max(x,y) x.y x+ y – x.y Max(x + y -1, 0) Min(x + y,1) x, y) if x+y>1 Min0(x,y)= 0min( Else x, y) if x+y