106 đề hsg toán 8 quảng ngãi 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐÈ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (3,0 điểm) 1) Chứng minh rằng chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n 2) Tìm ba số nguyên tố sao cho cho[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐÈ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (3,0 điểm) 1) n Chứng minh  2  3n  1  chia hết cho 24 với số tự nhiên n 2 2) Tìm ba số nguyên tố p, q, r cho p  q  r cho số nguyên tố Bài (5,0 điểm) 3 1) Cho x  y 1 Tính giá trị biểu thức A x  y  3xy 2) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị lớn biểu thức B 1  3  3 x  y 1 x  z  z  x3 1 Bài (4,0 điểm) 1) Cho a  b  c 0 Rút gọn biểu thức C a2 b2 c2   a  b2  c2 b2  c2  a c2  a  b2 a b c   0 2) Giả sử a, b, c ba số đôi khác b  c c  a a  b Chứng minh : a b c   0 2  b  c  c  a  a  b Bài (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo AC & BD Trên đoạn AB OC lấy điểm E F cho AE OF 1) Chứng minh tam giác DEF tam giác vng cân 2) Giả sử AE 2 EB Tính diện tích tam giác DEF theo a Bài (4,0 điểm) 1) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên đường chéo BD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC DH Tính số đo ANM 2) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M tam giác ta vẽ MI vng góc với BC , MJ vng góc với CA; MK vng góc với AB Xác định vị trí điểm M để tổng MI  MJ  MK nhỏ ĐÁP ÁN Bài (3,0 điểm) 3) n n Chứng minh  2  3n  1  chia hết cho 24 với số tự nhiên n  3n  1   n  3n   1  n  3n   1  n  3n   n  3n   n  n  3  n  1  n   Trong tích có số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho có số chẵn liên tiếp nên chia n hết cho mà (3,8)=1 nên  2  3n  1  13.8 hay  n  3n  1  124 2 4) Tìm ba số nguyên tố p, q, r cho p  q  r cho số nguyên tố 2 2 2 Vì p  q  r p,q,r số nguyên tố nên p  q  r 38  p  q  r lẻ (do p,q,r số nguyên tố) Vì p, q, r liên tiếp nên có nhiều số chẵn (1) 2 Giả sử p chẵn nên p chẵn  q  r lẻ nên có số chẵn Giả sử p chẵn nên q chẵn (trái với (1)) Vậy p, q, r lẻ Giả sử số p, q, r khơng có số chia hết cho  p, q, r chia dư  p ; q ; r chia dư  p  q  r 3 2 Mà p  q  r 38 số nguyên tố nên vơ lý Vậy có số 3 p số bé nên p 3, q 5, r 7 Bài (5,0 điểm) 3 3) Cho x  y 1 Tính giá trị biểu thức A x  y  3xy A  x3  y  xy  x  y   x  xy  y   3xy 1  x  xy  y   xy  x  xy  y  x  y  1 4) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị lớn biểu thức x  y Ta có :  0  x  xy  y  xy B 1  3  3 x  y  x  z  z  x3 1 Ta có: x  y  x  y   x  xy  y   x  y  xy  x  y   x  y  xy  xyz  x  y  z  xy Tương tự ta có : y  z   x  y  z  yz ; z  x   x  y  z  xz  1   3  x  y   x  y  z  xy  1   3   y  z   x  y  z  yz  1   3  z  x   x  y  z  xz 1 1 1  B  3  3    x  y  x  z  z  x   x  y  z  xy  x  y  z  yz  x  y  z  xz  B x yz 1   1  x  y  z  xyz xyz Dấu xảy x  y, y z, z x  x  y  z 1 Vậy Max B 1  x  y z 1 Bài (4,0 điểm) 3) Cho a  b  c 0 Rút gọn biểu thức C a2 b2 c2   a  b2  c2 b2  c2  a c2  a  b2 a2 b2 c2   a  b2  c2 b2  c  a c  a  b2 a2 b2 c2    2   b  c   b2  c2   c  a   c2  a2   a  b   a  b2 C a2 b2 c2 a  b3  c3 3abc       2bc 2ca 2abc 2abc 2acb a b c   0 4) Giả sử a, b, c ba số đôi khác b  c c  a a  b Chứng minh : a b c   0 2  b  c  c  a  a  b a b c 1  a b c     0         0 b c c a a b  b c c a a  b  b c c a a  b  a b c a b ca b c       0 2  b  c  c  a  a  b  b  c  c  a  b  c  a  b  a  b  c  a    a  b  c   a  b  c b  c  a   b  c  a c  a  b 2 0(dfcm) c  a  b a  b2  c  a  b2  c 0  a  b  b  c  c  a   Bài (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo AC & BD Trên đoạn AB OC lấy điểm E F cho AE OF A E B O F D C 3) Chứng minh tam giác DEF tam giác vuông cân Tam giác AOD vuông cân O nên DO AE AE DO  2; AE  2OF   2   AD OF OF AD DE AD DAO DOF 90  ADE ∽ ODF (c.g c )   DF OD Mà ADE ∽ ODF (cmt )  ADE ODF DO  AD    Mà ADE  EDO ADO 45  ODF  EDO 45  EDF 45 DE AD DE DF     ADO ∽ EDF (c.g c ) DF OD AD OD  AOD EFD  EFD 90  EFD vuông F mà EDF 45  cmt   EFD vuông cân F 4) Giả sử AE 2 EB Tính diện tích tam giác DEF theo a 2a AE 2 EB  AE  AB  3 Ta có EDF ADO  45  & Có DE  AD  AE a  S DEF  4a 13a 13a 13a   DF   DF  9 18 DF 13a   dvdt  36 Bài (4,0 điểm) 3) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên đường chéo BD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC DH Tính số đo ANM A B L H D N M C Gọi L trung điểm AH AHD có L trung điểm AH (cách vẽ), N trung điểm DH (gt) Nên LN đường trung bình AHD  LN / / AD Mà DA  AB (hình chữ nhật ABCD)  LN  AB (tính chất từ vng góc đến song song) ANB có LN  AB (cmt ), AH  DB hay AL  BN ( gt )  L trực tâm ANB Có NL / / DA(cmt ), DA / / BC (hcn ABCD )  NL / / BM ADH  cmt   NL  AD NL đường trung bình Có ABCD hình chữ nhật nên AD BC  NL  BC BM NL / / BM  cmt  (M trung điểm BC) mà  LBMN hình bình hành nên BL / / MN mà AL  BN  AN  NM  AMN 90 4) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M tam giác ta vẽ MI vng góc với BC , MJ vng góc với CA; MK vng góc với AB Xác định vị trí điểm M để 2 tổng MI  MJ  MK nhỏ B H D I K M A Kẻ C J AH  BC  H  BC   AH cố định, MD  AH  D  AH  AKM 90  MK  AB  KAJ 90  ABC Xét tứ giác AKMJ có , vng A) AJM 90  MJ  AC   tứ giác AKMJ hình chữ nhật  MJ KA 2 2 Ta có MJ MK KA  MK  AM (Theo Pytago) DHI 90  AH  BC  Xét tứ giác HIMD có HIM 90  MI  BC  , MDH 90  MD  AH  Suy tứ giác HIMD hình chữ nhật suy MI=HD ADM có MAD 90  MD  AH   ADM vuông D nên AM  AD 2 2 2 Xét MK  MJ  MI  AM  HD  AD  HD AD  Ta có  HD  0  AD  HD 2 AD.HD   AD  HD   AD  HD  AD.HD  AD  HD   AH AH AH 2 2  AD  HD  MK  MJ  MI  cố định (do AH cố định) nên 2 Dấu xảy AD HD, M D  M trung điểm AH Vậy M trung điểm đường cao hạ từ A ABC  MK  MJ  MI  MIN  AH 2