ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 + ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) − 24 b Giải phương trình: x − 30x + 31x − 30 = c Cho Câu2 a b c a2 b2 c2 + + = Chứng minh rằng: + + =0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b Cho biểu thức: 10 − x x A= + + ÷: x − + x + ÷ x −4 2−x x+2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết |x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 1 1 + + ≥9 a b c ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH x5 + x Bài Cho biểu thức: A = x − x2 + x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A - A = c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Bài 2: a) Cho a > b > 2( a2 + b2) = 5ab 3a − b Tính giá trị biểu thức: P = 2a + b b) Cho a, b, c Độ dài cạnh tam giác Chứng minh a2 + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải phương trình: 2− x 1− x x −1 = − a) 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = Bài 4: Cho tam giác ABC; điểm P nằm tam giác cho ·ABP = ·ACP , kẻ PH ⊥ AB, PK ⊥ AC Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hànhABCD, vẽ đường thẳng d cắt cạnh AB, AD Tại M K, cắt đường chéo AC Tại G Chứng minh rằng: AB AD AC + = AM AK AG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LP THCH Câu : (2 điểm) Cho P= a − 4a − a + a − a + 14a − a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 ®iĨm) a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyên chia hết cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phơng trình : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng : A= a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c C©u : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chứng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diƯn tÝch b»ng sè ®o chu vi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x + x + x + 2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2Điểm) Giải phương trình: x − x + + x − = 2 1 1 x + ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) x x x x Bài 3: (2 điểm) Căn bậc hai 64 viết dạng sau: 64 = + Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng số nguyên? Tìm số dư phép chia biểu thức x + 10 x + 21 ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông Tại A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC Tại D cắt AC Tại E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính Độ dài Đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm Đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM GB HD = Tia AM cắt BC Tại G Chứng minh: BC AH + HC HếT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 ( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) ( 2009 − x ) − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = = 19 49 2010x + 2680 x2 + Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB · · · · · · cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF · · a) Chứng minh rằng: BDF = BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH Bài (4 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 A= : + 2 2 y −x y −x y + xy + x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nêu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài (4 điểm): a) Giải phương trình : x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bài (3 điểm): Chứng minh với n ∈ N n5 n ln có chữ số tận giống Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E · · a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD = ECB · b) Cho BMC = 1200 S AED = 36cm Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ ⊥ PD x y + ≥ (với x y dấu) Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: y x x y x2 y b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + − + ÷+ y x y x (với x ≠ 0, y ≠ ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH Bài 1: (4 điểm) a+b+c=0 , Tính A = a + b + c 2 a + b + c = 2009 1, Cho ba số a, b, c thỏa m·n 2, Cho ba số x, y, z thỏa m·n x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức f ( x ) = x + px + q với p ∈ Z, q ∈ Z Chứng minh tồn số nguyên để f ( k ) = f ( 2008 ) f ( 2009 ) Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên dương x, y thỏa m·n 3xy + x + 15y − 44 = ( ) 2, Cho số tự nhiên a = 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) Cho phương trình 2x − m x − + = , Tìm m để phương trình có nghiệm dương x−2 x+2 Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC Tại F, CE cắt Tại O Chứng minh ∆AEC đồng dạng ∆CAF , Tính ·EOF Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác góc A cắt BC Tại D, Đoạn thẳng DB, DC lần BE BF AB · · lượt lấy điểm E F cho EAD = FAD Chứng minh rằng: = CE CF AC Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm đến số bảng Có thể làm để bảng cịn lại số khơng? Giải thích HếT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 số nguyên tố n + 3n + 2n + 6n − b) B= có giá trị số nguyên n2 + c) D=n5-n+2 số phương (n ≥ 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh : a b c + + = biết abc=1 a) ab + a + bc + b + ac + c + b) Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a c) + + ≥ + + b a c b c a Câu 3: (5 điểm) Giải phương trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 a) 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dương Câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA Tại E ,cắt BC Tại F a) Chứng minh : diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC 1 + = b) Chứng minh : AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đơI diện tích tam giác DEF ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 Tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu thức sau luôn dương (hoặc âm) với giá trị biến cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh Nêu tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: − x + 8x − Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phương số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đường chéo AC vng góc với cạnh bên CD, ∠BAC = CAD Tính AD Nêu chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số dư phép chia biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 2x 2x − : 1 − C= x −1 x + x − x −1 x +1 a) Tìm điều kiện x để biểu thức C Xác định b) Rút gọn C c) Với giá trị x biểu thức C xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông Tại A (AC>AB) , đường cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đường vng góc với BC Tại D cắt AC Tại E a) Chứng minh AE=AB b) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : A =( +x x2 −x x −3 x − − ):( ) −x x −4 + x x −x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) a b c x y z x2 y z + + = + + = Cho x y z Chứng minh : + + = a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x − 17 x − 21 x + + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + xz z + xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đơi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC' + + a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM (AB + BC + CA ) c) Tam giác ABC biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA' + BB' + CC' 11 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH Bài (4 điểm) − x3 − x2 − x : Cho biểu thức A = − x − x + x với x khác -1 1− x a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x = −1 c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm) 2 Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) 2 Chứng minh a = b = c Bài (3 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − 2a + 3a − 4a + Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh • 1 + = AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD 12 ... + + b a c b c a Câu 3: (5 điểm) Giải phương trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 a) 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dương Câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD... Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số dư phép chia biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 2x 2x − :... tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB · · · · · · cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF · · a) Chứng minh rằng: BDF = BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS