Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG XƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HSG MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị của để giá trị của lớn hơn 2 Bài 2 (4,0[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG XƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HSG MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức P x x3 x x x x x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để giá trị P lớn Bài (4,0 điểm) 1 a) Giả sử x, y hai số thực phân biệt thỏa mãn x y xy 1 P x y xy Tính giá trị biểu thức b) Giải phương trình sau với m tham số 1 1 x x 6m Bài (4,0 điểm) a) Tìm x, y để biểu thức sau nhận giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ B 1892 x y xy 10 x 14 y b) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn x3 x 3x y Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF gặp H Gọi M , N hình chiếu H EF , ED a) Chứng minh tam giác BED đồng dạng với tam giác BCH b) Chứng minh HM HN c) Gọi I , J , O, K hình chiếu F AC , AD, BE , BC Chứng minh I , J , O, K thẳng hàng Bài (2,0 điểm) Cho số a, b, c a b c 1 Chứng minh : 1 9 a 2bc b 2ac c 2ab ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức P x x3 x x x x x2 x c) Rút gọn biểu thức A P 2 x x x x 0 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x x x x x 1 x x x 1 x x 1 x2 1 x2 x x x x x x x d) Tìm giá trị x để giá trị P lớn 2 Vì x x x x 1 với giá trị x x P 0 x 1 Suy Bài (4,0 điểm) 1 c) Giả sử x, y hai số thực phân biệt thỏa mãn x y xy 1 P x y xy Tính giá trị biểu thức 1 1 1 0 x y xy x xy y xy Ta có : xy y xy y 0 x2 1 xy 1 y 1 xy 1 xy y y 1 xy y x 1 0 x y xy 1 0 xy 1(do x y ) P 2 d) Giải phương trình sau với m tham số x x 6m Điều kiện : x 2, x 6m , pt (1) 1 1 x x 6m *) Xét x x 6m x 6m phương trình có vơ số nghiệm x 2 Nếu m phương trình vô nghiệm Nếu m x x 6m x 3m *) Xét 3m 2 m x 3m nghiệm phương trình 3m 6m Vậy : phương trình có vơ số nghiệm x 2 -) Nếu m phương trình có nghiệm x 3m -) Nếu m Bài (4,0 điểm) c) Tìm x, y để biểu thức sau nhận giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ B 1892 x y xy 10 x 14 y B 1945 x x y x 14 y x 49 B 1945 x y x x0 ; y0 để B đạt giá trị nhỏ 2 Bmin B0 1945 x0 y0 x0 Giả sử tồn cặp số *) Trường hợp x0 2 , xét x1 y0 x0 5, y1 y0 Ta có : B1 B x1 ; y1 1945 y0 x0 x0 1 Vì 2 x0 x0 x0 x0 1 B1 B0 *) Xét trường hợp x0 2, xét x2 y0 x0 5, y2 y0 Ta có B2 B x2 , y2 1945 y0 x0 x0 Vì 2 x0 x0 x0 3 x0 B2 B0 Như ta ln tìm giá trị B nhỏ B0 , điều vơ lý B0 giá trị nhỏ Vậy khơng tồn giá trị x, y để B có giá trị nhỏ d) Tìm cặp số nguyên Từ 1 x; y thỏa mãn x x x y (1) y x3 2 x 3x y x x 2 Ngoài y 4 x x y x y x Thay vào (1) tìm x 1 x x; y 1;0 x, y 1; Suy Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF gặp H Gọi M , N hình chiếu H EF , ED A I F E M J H Q B K N C D d) Chứng minh tam giác BED đồng dạng với tam giác BCH BHD ∽ BCE có EBC chung D E 90 BH BD BC BE Từ suy BDE ∽ HBC (c.g c ) e) Chứng minh HM HN FH HD HFE ∽ HBC (c.g c ) EHF BHC (đối đỉnh)và HE HC (do HBF ∽ HCE ) BEF BCH BED Suy EB tia phân giác DEF HM HN f) Gọi I , J , O, K hình chiếu F AC , AD, BE , BC Chứng minh I , J , O, K thẳng hàng AI AF AE AB AJ AF AI AJ FJ / / BD I J / / ED 1 AD AB AE AD FI / / BE Chứng minh tương tự ta có FI / / BE KQ / / DE CE CH CH CD ; FK / / AD KI / / DE CI CF CF CK Từ (1), (2), (3) suy I , J , O, K thẳng hàng Bài (2,0 điểm) Cho số a, b, c a b c 1 Chứng minh : 1 9 a 2bc b 2ac c 2ab 2 2 Đặt x a 2bc, y b 2ac, z c 2ab Ta có x y z a b c 1 1 1 y x y z x z A x y z 1 x y z x y z y z x Xét Chứng minh bất đẳng thức phụ : Với Suy A 3 9 dfcm x, y x y 2 y x