PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIẾN XƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho đa thức 1) Phân tích đa thức thành nhân tử 2) Chứng minh rằng chia hết cho 6[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIẾN XƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4,0 điểm) Cho đa thức P( x) x x 11x 1) Phân tích đa thức P( x) thành nhân tử 2) Chứng minh P( x) chia hết cho với x nguyên Bài 2.(4,0 điểm) 1) Cho số dương x, y , z Chứng minh 1 1 9 x y z x y z 2) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Xác định dạng tam giác để : P a b c b c c a a b đạt giá trị nhỏ x y x y x2 y x2 y A : x2 y xy xy (với xy 1) Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức A x 1 1 2) Tính giá trị biểu thức A biết x số nguyên lớn thỏa mãn x 3) Tìm số ngun khơng âm x để A có giá trị số nguyên Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Hai đường thẳng AD MC cắt E I giao điểm CM DN 1) Chứng minh : a) DEI vuông b) AIM ACM 45 2) Tính tỉ số diện tích tam giác CNI diện tích hình vng ABCD Bài (1,0 điểm) Cho a, b hai số dương thỏa mãn a b a b 29 ab a b Chứng minh ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) Cho đa thức P( x) x x 11x 3) Phân tích đa thức P( x) thành nhân tử P ( x) x3 x 11x x3 x x x x x x 1 x x 1 6( x 1) x 1 x x x 1 x x 4) Chứng minh P( x) chia hết cho với x nguyên x 1 x x 3 Do P(x)= chia hết cho tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Do P Bài 2.(4,0 điểm) 3) Cho số dương x, y, z Chứng minh Biến đổi : 1 1 9 x y z x y z 1 1 x y x z y z 3 x y z y x z x z y x y z Do x, y , z nên áp dụng bất đẳng thức Co si cho số dương ta x y x y x z y z 2 2 cmtt : 2; 2 y x y x z x z y 1 1 x y z 3 9 x y z Dấu xảy x y z Vậy 1 1 9 x y z x y z 4) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Xác định dạng tam giác để : P Ta có : a b c b c c a a b đạt giá trị nhỏ a b c a b c 1 1 1 b c c a a b b c c a a b 1 a b c b c c a a b P 1 P b c c a a b b c c a a b Áp dụng ý ta có : 1 b c c a a b 9 P 2 b c c a a b Dấu xảy a b c Vậy P a b c b c c a a b đạt giá tri nhỏ tam giác tam giác x y x y x2 y 2x2 y2 A : 1 xy xy x2 y2 (với xy 1) Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức 4) Rút gọn biểu thức A x y x y x y 2x y A : 1 1 x2 y xy xy 2 x xy x y x y 2 x y 1 x2 y2 2x : 2 2 2 2 1 x y 1 x y 1 x y x y x 1 Vậy A 2x x 1 2 x 1 1 5) Tính giá trị biểu thức A biết x số nguyên lớn thỏa mãn x 2x 1 1 x x x x 0 x 2 x 1 Do x số nguyên lớn nên x 2 Thay x 2 A 2.2 2 1 x 1 A Vậy với x số nguyên lớn thỏa mãn x 1 6) Tìm số ngun khơng âm x để A có giá trị số nguyên Ta có A 2x x Do x 0, x nên A 0 1 x 1 x x 1 x 1 2x A 1 1 x 1 x2 1 x 1 Ta có A 0;1 Từ (1) (2) suy A 1 Do A số nguyên nên ) A 0 1 x 0(tmdk ) ) A 1 x 1(tmdk ) Vậy với x 0;1 A có giá trị số nguyên Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Hai đường thẳng AD MC cắt E I giao điểm CM DN A D M I C N B 3) Chứng minh : c) DEI vuông MBC NCD c.g c BMC DNC Chứng minh Mà BMC MCN 90 INC ICN 90 E Từ đo suy CM DN DEI vuông d) AIM ACM 45 Chứng minh AI trung tuyến DEI vuông I Chứng minh AEI cân suy E MIA MIA MCA E MAC DAC (tính chất góc ngồi tam giác) DAC 45 (tính chất hình vng) Từ suy dpcm 4) Tính tỉ số diện tích tam giác CNI diện tích hình vng ABCD Chứng minh INC ∽ BMC SCNI NC S MC BMC Tính SCNI 1 S BMC S ABCD Chứng minh Từ suy S ABCD 20 Bài (1,0 điểm) Cho a, b hai số dương thỏa mãn a b Với a b Chứng minh a b 29 ab a, b 1 4 1 a b 5 1 a b a b mà nên a b 1 21 1 P a b a b a b 25a 25b 25 a b Ta có Áp dụng bất đẳng thức Co si với hai số dương, ta có : a 4 4 4 2 a ; b 2 b 2 25a 25a 25b 25b 4 21 29 P a b 5 25 Dấu xảy Từ (1) (2) ta có : Vậy a b a b 29 a b ab 5