UBND H QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn - Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài (2.5 điểm): a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: ab bc ca b) Cho f ( x) ax2 bx c với a, b, c số thỏa mãn: 13a b 2c Chứng tỏ rằng: f (2) f (3) c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x y xy x y Bài (2.0 điểm): Giải phương trình sau: a) x 1 x x x 2013 2012 2011 2010 b) (2 x 5) ( x 2) ( x 3) Bài (2.5 điểm): Cho hình vng ABCD M điểm tuỳ ý đường chéo BD Hạ ME vng góc với AB, MF vng góc với AD a) Chứng minh DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài (2.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi G, H hình chiếu C AB AD Chứng minh : a) ABC đồng dạng với HCG b) AC2 AB.AG AD.AH Bài (1.0 điểm): Chứng minh với số n nguyên dương thì: 5n (5n 1) 6n (3n 2n ) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 91 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1(2.5 điểm): Có: a2 + b2 2ab; a2 + c2 2ac; b2 + c2 2ac Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2ac + 2bc a2 + b2 + c2 ab + ac + bc (1) 2 a + b + c = a + b + c +2ab + 2ac + 2bc = -a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2) Cộng (1) với (2) 3ab + 3ac + 3bc ab + bc + ca f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = nên: Hoặc: f(-2) = f(3) = f(-2).f(3) = Hoặc: f(-2) f(3) hai số đối f(-2).f(3) < Từ (1) (2) f (2) f (3) 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) (2) 0,25 0,25 4M 4x 4y 4xy 4x 4y 2 (2x y 1) 3y 2y (2x y 1) 3(y y ) (2x y 1) 3(y ) 3 Giá trị nhỏ 4M y ; x = nên 3 2 Giá trị nhỏ M y ; x = 3 0,50 0,50 Bài 2(2.0 điểm): x 1 x2 x4 x 3 1 1 1 1 2013 2012 2010 2011 x 2013 x 2012 x 2010 x 2011 2013 2013 2012 2012 2010 2010 2011 2011 x 2014 x 2014 x 2014 x 2014 2013 2012 2010 2011 1 (x 2014) 0 2013 2012 2010 2011 1 1 Do nên phương trình có nghiệm x = 2014 2013 2012 2010 2011 Đặt 2x - = a; x - = b a - b = x -3 Phương trình cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3 (a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2) (a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 3ab(a-b) = a = x ; b = x = 2; a = b x = http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 Bài (1.0 điểm): A = 5n (5n 1) 6n (3n 2n ) 25n 5n 18n 12n A (25n 18n ) (12n 5n ) A chia hết cho A (25n 12n ) (18n 5n ) A chia hết cho 13 Do (13,7) =1 nên A chia hết cho 91 Bài (2.5 điểm): A F E 0,25 0,25 0,25 0,25 B M D C Chứng tỏ AE = DF (Cùng MF) Chứng tỏ CDF = DAE FCD EDA Có EDA EDC phụ ECD EDA phụ hay CF DE 0,25 0,25 0,25 Tương tự có CE BF Chứng minh CM EF: Gọi G giao điểm FM BC; H giao điểm CM EF MCG EFM (Hai HCN nhau) CMG FMH (Đối đỉnh) MHF MGC = 90 CM, FB, ED ba đường cao tam giác CEF nên chúng đồng quy 0,25 (AE - ME)2 0 nên (AE + ME)2 4AE.ME AE.ME SAEMF AE ME AB2 Do AB = const nên SAEMF lớn AE = ME Lúc M trung điểm BD Bài (2.0 điểm): Chứng tỏ được: CBG đồng dạng với CDH CG BC BC CH DC BA ABC HCG (Cùng bù với BAD ) 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 ABC đồng dạng với HCG 0,50 Gọi E, F hình chiếu B, D AC AFD đồng dạng AHC: AF AD AF.AC AD.AH AH AC http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 AEB đồng dạng AGC: AE AB AE.AC AG.AB AG AC Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB Chứng tỏ AE = FC Thay được: AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB AC2 = AD.AH+AG.AB http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 0,25