076 đề HSG toán 8 quế sơn 2012 2013

UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD & ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2012-2013 Mơn: Tốn – Lớp Bài (2,5 điểm) a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh ab  bc  ca  b) Cho f ( x)  ax  bx  c với a, b, c số thỏa mãn 13a  b  2c  Chứng tỏ f  2  f  3  c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x2  y  xy  x  y  Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: x 1 x  x  x  3 a)    b)  x     x     x   2013 2012 2011 2010 Bài (2,5 điểm) Cho hình vng ABCD M điểm tùy ý đường chéo BD Hạ ME vng góc với AB, MF vng góc với AD a) Chứng minh DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF , CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD( AC  BD) Gọi G, H hình chiếu C lên AB AD Chứng minh a) ABC HCG b) AC  AB AG  AD.AH Bài (1,0 điểm) Chứng minh với số n nguyên dương thì: 5n  5n  1  6n  3n  2n  91 ĐÁP ÁN Bài a) Có: a  b2  2ab; a  c2  2ac; b2  c  2ac Cộng được: 2a  2b2  2c2  2ab  2ac  2bc  a  b2  c  ab  ac  bc (1) a  b  c   a  b2  c2  2ab  2ac  2bc   a  b2  c  2ab  2ac  2bc Cộng 1 với   3ab  3ac  3bc   ab  bc  ca  b) f  2  4a  2b  c; f  3  9a  3b  c Có f  2  f  3  13a  b  2c  nên: Hoặc: f  2   f  3   f  2  f  3  (1) Hoặc : f  2  f  3 hai số đối  f  2  f  3  (2) Từ 1   f  2  f  3  c) 4M  x2  y  xy  x  y    x  y  1  y  y  2 1    x  y  1   y  y    9  1    x  y  1   y    3   y    Giá trị nhỏ 4M   nên x    x   Giá trị nhỏ M    y  1  (2) Bài x 1 x2 x4 x3 1 1  1 1 2013 2012 2010 2011 x  2014 x  2014 x  2014 x  2014     a) 2013 2012 2010 2011 1     x  2014      0  2013 2012 2010 2011   x  2014 b) Đặt x   a; x   b  a  b  x   Phương trình cho trở thành: a3  b3   a  b    a  b   a  ab  b    a  b   a  2ab  b    a  b   a  ab  b  a  2ab  b    3ab  a  b    a   x    b   x  a  b  x    Bài E A F B M C D a) Chứng tỏ AE  DF (cùng MF) Chứng tỏ CDF  DAE  FCD  EDA Có: EDA EDC phụ  ECD EDA phụ hay CF  DE b) Tương tự có CE  BF Chứng minh CM  EF Gọi G giao điểm FM BC; H giao điểm CM EF MCG  EFM (hai HCN nhau) CMG  FMH (đối đỉnh)  MHF  MGC  900 CM , FB, ED ba đường cao CEF nên chúng đồng quy c)  AE  ME   nên  AE  ME   AE  ME   AE.ME  AE.ME  AB  S AEMF  Mà AB số nên S AEMF lớn  AE  ME Lúc M trung điểm BD Bài G C B F E H D A a) Chứng tỏ CBG CDH  CG BC BC   CH DC BA Và ABC  HCG (cùng bù với BAD)  ABC HCG b) Gọi E, F hình chiếu B, D AC AF AD AFD AHC    AF AC  AD AH AH AC AE AB AEB AGC    AE AC  AG AB AG AC Cộng : AF.AC  AE.AC  AD.AH  AG.AB  AC. AF  AE   AD.AH  AG.AB Chứng tỏ được: AE  FC Thay được: AC. AF  FC   AD AH  AG AB  AC  AD AH  AG AB Bài A  5n  5n  1  6n  3n  2n   25n  5n  18n  12n A   25n  18n   12n  5n  A chia hết cho A   25n  12n   18n  5n  A chia hết cho 13 Do 13,7   nên A chia hết cho 91