Skkn khai thác một bài toán cơ bản để giải một số bài toán hình học không gian

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong thực trạng dạy học nay, Kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia đặc biệt thời gian tới Kỳ thi học sinh giỏi môn văn hóa lớp 12 cấp tỉnh thi hình thức thi trắc nghiệm, thời gian làm tập ít, số lượng tập lớn, phủ kiến thức rộng gây trở ngại, khó khăn cho hoạt động giảng dạy thầy hoạt động trị Với hình thức thi tự luận trước đây, đứng trước vấn đề khó, vấn đề lạ, học sinh có thời gian suy ngẫm tìm cách giải vấn đề, quy lạ quen hay chí cách giải Tuy nhiên, với thi trắc nghiệm, trước vấn đề khó, lạ, việc tìm cách để giải vấn đề vơ khó khăn Do đó, việc quy lạ quen vơ quan trọng Trong q trình ơn tập, sau giải tập, học sinh cần phải rút kinh nghiệm để giải tập tương tự suy ngẫm xem tập phát triển hành tập dạng Có vậy, học sinh đáp ứng đa dạng, biến hóa đề thi trắc nghiệm Yêu cầu vậy, trình dạy học, khơng phải giáo viên, học sinh thực phân tích rút kinh nghiệm sau tập Việc có nguyên nhân chủ quan nguyên nhân khách quan, dẫn đến việc học sinh giải dạng tập nào, hướng dẫn dạng biết dạng tập đó, từ dẫn hình thành cho học sinh tính ỷ lại, mong chờ may mắn, chưa thấy hay, ý nghĩa tốn học; kích thích hứng thú sau tập Trước thực trạng trên, trình giảng dạy, đặc biệt dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, sau tập thường dành khoảng thời gian định để học sinh suy ngẫm tập, định hướng để em phát triển tập thành dạng tập khó hơn, đa dạng hơn, từ tạo hứng thú, ham tìm tịi nghiên cứu học sinh, làm em hiểu kiến thức rộng hơn, sâu Để nhân rộng, lan tỏa ý tưởng mình, có tài liệu để học sinh đồng nghiệp nghiên cứu, hạn chế thời gian khung giới hạn sáng kiến kinh nghiệm nên chọn đề tài: “Khai thác tốn để giải số tốn hình học khơng gian” Trong q trình thực hiện, khơng tránh khỏi cịn hạn chế, thiếu sót mong đồng nghiệp, học sinh góp ý chia sẻ để đề tài hoàn thiện hơn, mang lại hiệu thiết thực Xin chân thành cảm ơn! skkn 1.2 Mục đích nghiên cứu + Cung cấp cho đồng nghiệp học sinh tài liệu hữu ích trình dạy, học nghiên cứu khoa học Nâng cao kiến thức, trình độ chun mơn thân + Khơi dậy hứng thú, ham học hỏi, tìm tịi nghiên cứu tốn học học sinh, giúp em chủ động nắm vững kiến thức, đáp ứng yêu cầu kỳ thi trình học tập sau + Giúp em nhận dạng nhanh số tốn hình học khơng gian (Chứng minh, tính thể tích, … ) có liên quan đến tỷ số đoạn thẳng việc ứng dụng toán đề tài 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài trình từ tập ban đầu, hình thành ý tưởng, kỹ để vận dụng để giải số tốn hình học khơng gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết + Phương pháp thực nghiệm + Phương pháp phân tích, tổng kết rút kinh nghiệm + Phương pháp khảo sát điều tra thực tế, thu thập thông tin + Phương pháp thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận đề tài 2.1.1 Cơ sở khoa học của đề tài Hình học là một môn học xây dựng sở hệ thống các khái niệm, tiên đề, định lý Do đó, để hiểu và học tốt phân môn hình học, người học cần một nền tảng kiến thức vững vàng, trí tưởng tượng tốt, khả tư lô gic, vận dụng lý thuyết một cách sáng tạo Đối với đa số học sinh, là môn học khó, đặc biệt là học sinh tìm hiểu về lĩnh vực hình học không gian của lớp 11 và lớp 12 Ngoài lớp các bài toán chứng minh các yếu tố song song, vuông góc, dựng hình (tìm giao tuyến, thiết diện ), tính một số các yếu tố quen thuộc góc, khoảng cách, thể tích , sách giáo khoa và sách bài tập hình học 11 và 12 còn giới thiệu một số các bài toán yêu cầu chứng minh các đẳng thức hay bất đẳng thức hình học, tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của diện tích một đa giác, thể tích một khối đa diện Đó là những bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức skkn tổng hợp, sáng tạo, tương tự hóa, nhận cái chung của một lớp các bài toán để tìm hướng giải một bài tập cụ thể 2.1.2 Cơ sở thực tiễn Qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, nhận thấy, tìm cái chung của một lớp các bài toán, tức là phát hiện cái gốc của vấn đề cần chứng minh hay tính toán, học sinh có thể tương tự hóa, dùng kết quả và cách suy luận đó để chứng minh và tìm cách giải của hầu hết các bài tập tương tự một cách dễ dàng Vì thế, công việc của người thầy là giúp học sinh phát hiện bài toán bản, từ đó, cùng học sinh khai thác, sử dụng kết quả của bài toán đó cho những bài tập khác Bản sáng kiến kinh nghiệm này của trình bày một bài toán những bài toán thế, và xem xét ứng dụng của nó việc giải một số bài tập khó hình học không gian lớp 11 và 12 Tên đề tài chọn: “Khai thác toán để giải số tốn hình học khơng gian” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giảng dạy, trước khối lượng lớn kiến thức cần phải học so với thời gian dành cho học sinh tự học ngày ít, tơi thấy rằng: Học sinh thụ động việc tìm hiểu, tự lĩnh hội kiến thức Giáo viên giới thiệu dạng toán học sinh biết dạng tốn Trước tốn mới, học sinh chủ động, hăng say tự tìm hiểu; cịn nhiều học sinh ỷ lại, chờ giáo viên hướng dẫn, gợi ý sử dụng máy tính để kiểm tra kết mong may rủi Điều gây khó khăn ức chế nhiều giáo viên trình giáo dục học sinh Trước thực trạng trên, trình giảng dạy, để gây hứng thú cho học sinh, để học sinh thấy hay, ý nghĩa thực tế tốn học tơi thường gắn tập với việc giải tình thực tế, gắn với linh hoạt sử dụng toán học như: Một toán giải nhiều cách, áp dụng nhiều trường hợp, nhiều lĩnh vực Nội dung đề tài nhiều nội dung mà tơi triển khai q trình giảng dạy Khi triển khai đề tài cảm nhận thay đổi đáng kể học sinh Ban đầu triển khai lớp 10, công việc vất vả học sinh chưa quen, chưa chủ động qua trình kiên trì thực hiện, cuối lớp 10, đầu lớp 11 lớp 12, công việc thuận lợi nhẹ nhàng, đối tượng học sinh - giỏi, em chủ động phân tích, tìm tịi đề xuất giải pháp giải vấn đề skkn 2.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp giải vấn đề KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Tìm hiểu tốn sau: Cho tam giác hai điểm hai cạnh ( khác ) Gọi trung điểm điểm , di động giao Chứng minh Lời giải +) Qua kẻ ba đường thẳng song song với , đánh dấu điểm hình vẽ +) Dễ chứng minh trung điểm ; đồng thời thẳng hàng +) Ta có: A E F M B O N G K Q H D C +) Lại có: +) Mà +) Vậy skkn +) Từ (2), (3) suy +) Thay (4) vào (1) ta được: đpcm Nhận xét : Hai điểm cần điều kiện khác trùng với ta kết ; trùng với Cách 2: Sử dụng phương pháp diện tích Ta có : Suy luận tương tự, ta suy Lại có Do vậy, Mặt khác, Từ đó, ta có  II Khai thác toán Trong hình học, ta phải giải tốn tìm đại lượng hình học chứng minh tính chất hình học (cố định, song song ) theo ràng buộc qua đại lượng thay đổi Để giải toán này, ta phải tìm hệ thức liên hệ đại lượng thay đổi từ đưa điều cần chứng minh, tính tốn Để minh hoạ, ta xét số tập ví dụ sau : skkn Bài 1: Cho tứ diện hai điểm Chứng minh mặt phẳng di động thỏa mãn : qua đường thẳng cố định S M A B G D N C Phân tích: - Nhận thấy ngay, học sinh, toán toán khó vì: Với điểm cố định, để chứng minh mặt phẳng qua đường thẳng cố định ta cần qua điểm cố định khác điểm - Khó khăn việc tìm điểm , thơng thường học sinh tìm điểm sau: * Xét cố định điểm vị trí đặc biệt trung điểm Từ giả thiết suy  trùng  trùng với trung tuyến * Tương tự xét cố định trung điểm  trung với trung tuyến * Với hai trường hợp  qua điểm cố định trọng tâm tam giác - Khẳng định rằng, xác định qua việc chứng minh khơng đơn giản Nhưng đơn giản học sinh áp dụng toán trên, cụ thể: Lời giải +) Gọi trung điểm , skkn +) Áp dụng toán bản, chứng minh Vậy điểm cố định, trọng tâm tam giác +) Vậy đường thẳng cố định nằm Nhận xét: Bài tốn hồn tồn tổng quát , việc vận dụng toán bản, ta giải cách dễ dàng Bài 2: Cho hình chóp , có đáy trung điểm a Xác định thiết diện tạo mặt phẳng b Gọi Tính tỷ số c Tổng quát : Giả sử đoạn Tính tỷ số hình bình hành Gọi hình chóp ; ; giao điểm Lời giải S E N M G D C O B A a Xác định thiết diện : +) Xác định giao điểm , giao điểm của và : Gọi giao điểm , chứng minh giao điểm +) Gọi giao điểm Vậy thiết diện giao điểm skkn b Tính tỷ số  : +) Trong tam giác , trung điểm +) Trong tam giác , ta có : nên +) Vậy c Giả sử đoạn ; Tính tỷ số , với giao điểm  : Lập luận hoàn tồn tương tự ta có Vậy Bài 3: Cho hình chóp , lấy điểm Biết chứng minh qua điểm cố định Lời giải S A' B' G D' B A C' K D C +) Gọi trung điểm , giao điểm với Áp dụng Bài tốn 1, ta có : skkn +) Gọi trung điểm điểm cố định thuộc , giao điểm , đồng thời ta có: +) Đẳng thức (*) chứng tỏ điểm cố định, qua điểm cố định Bài Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi hai điểm nằm đoạn thẳng ( không trùng ) cho 1) Chứng minh MN thay đổi, đường thẳng MN qua điểm cố định 2) Gọi V V’ thể tích khối chóp S.ABCD S.MBCDN Chứng minh rằng: Lời giải S M A N D E B G I C 1) Chứng minh thay đổi, đường thẳng qua điểm cố định +) Lấy đối xứng với qua , cắt trung điểm điểm cố định Gọi giao điểm +) Áp dụng tốn ta có: skkn +) Hệ thức (*) chứng tỏ điểm cố định Vậy đường thẳng điểm cố định 2) Gọi thể tích khối chóp ln qua Chứng minh rằng: +) Ta có +) Ta có với +) Xét hàm số đoạn +) Ta có +) Từ Vậy ta có Bài 5: Cho hình chóp có đáy góc với mặt phẳng đáy , hình vng, cạnh Trên thỏa mãn vuông lấy hai điểm mặt phẳng tích khối tứ diện , cắt Tính thể Lời giải S E M G N C B D O A 10 skkn +) Dựng thiết diện : tương tự 2, +) Trong tam giác , ta có: +) Trong tam giác , ta có: giao điểm +) Tính +) +) Bài 6: Cho hình chóp tứ giác cạnh Mộtmặt phẳng điểm thay đổi cắt Chứng minh rằng : Lời giải , cho +) Dựng mặt phẳng thuộc đường cao hình chóp +) Do chóp tứ giác nên +) trung tuyến tam giác và cắt điểm , nên ta có: S Q M I P B N A D O C 11 skkn (trong tam giác ) (trong tam giác (1) ) (2) Từ (1) (2) ta có Bài 7: Cho hình chóp tứ giácđều trung điểm , cắt cạnh giác có tám cạnh và Một mặt phẳng điểm vuông thay đổi qua Tìm diện tích nhỏ tứ Lời giải +) Gọi giao điểm đường cao phải qua Dễ thấy trung điểm +) Từ giả thiết ta có : vng +) Tương tự tam giác hình chóp, suy Vậy tam giác Suy +) Dễ chứng minh được: S Q M I P N A D O B C +) Vậy 12 skkn +) Đặt +) Thay (2) vào (1) ta được: +) Áp dụng toán gốc: +) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta được: +) Từ (3) (4) có : Đẳng thức xảy trung điểm Vậy tứ giác , tức có diện tích nhỏ Bài 8 : Cho hình chóp có đáy hình bình hành Lấy điểm thuộc SA, SB, SC cho : phẳng cắt , Tính tỷ số Mặt Lời giải 13 skkn S D1 A1 I B1 D A O B C +) Gọi giao điểm +) Theo tốn gốc ta có : +) Suy C1 , giao điểm Vậy Nhận xét : Bằng việc áp dụng tốn gốc ta dễ dàng tính tỷ số Từ ta xây dựng số câu hỏi dạng trắc nghiệm mức độ vận dụng vận dụng cao Bài 9 : Cho hình chóp điểm Mặt phẳng có đáy qua hình bình hành, gọi , cắt trung Chứng , qua minh +) Gọi Ta dễ thấy Lời giải giao điểm ; trọng tâm tam giác 14 skkn S K N I M C D O B A +) Đặt +) Ta có : Vậy +) Trong tam giác , có đường trung tuyến, áp dụng kết toán bản, ta có : +) Mà +) Thay (2) vào (1) ta được: +) Xéthàm số , dễ tìmđược: +) Vậy 15 skkn Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho hình chóp phẳng có đáy thay đổi, cắt cạnh hình bình hành mặt Chứng minh rằng : Bài tập2: Cho tam giác , cạnh giác Một đường thẳng qua , cắt cạnh trọng tâm tam Chứng minh rằng : Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác Lần lượt lấy hai điểm với , có cạnh đáy cạnh cho Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ khối chóp Bài tập4: Cho tứ diện thẳng qua cắt cạnh , có đáy hình vng cạnh vng góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng , cắt khối chóp Biết thuộc cắt có đáy thỏa mãn Bài tập 7: Cho hình chóp thỏa mãn qua , vng góc , tính thể tích Bài tập 6: Cho hình chóp vng góc với mặt phẳng đáy Biết Lấy điểm , song song với ln vng góc , gọi trọng tâm tam giác , đường Chứng minh rằng  Bài tập5: Cho hình chóp với hình chữ nhật, góc Một mặt phẳng qua Tính thể tích khối tứ diện hai điểm di động hai cạnh Chứng minh điểm cố định Tìm giá trị nhỏ khối chóp ln qua 16 skkn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Khi triển khai ý tưởng nội dung đề tài, thân nhận thấy hiệu rõ rệt qua năm học Học sinh có ý thức việc phân tích đề bài, sau tập có nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm Những tập tính khoảng cách, thể tích khối đa diện … có liên quan đến tỷ lệ đoạn thẳng, học sinh hào hứng phát vấn đề nhanh Điều thân kiểm nghiệm, so sánh nhiều lớp mà thân phụ trách dạy so với lớp khác phân công dạy thay, lớp dạy thay, học sinh lúng túng việc xác định vấn đề, hướng giải vấn đề mục tiêu oàn thành nhiệm vụ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Qua quá trình triển khai thực đề tài, nhận thấy: Khi tìm cái chung của một lớp các bài toán, tức là phát hiện cái gốc của vấn đề cần chứng minh hay tính toán, học sinh có thể tương tự hóa, dùng kết quả và cách suy luận đó để chứng minh và tìm cách giải của hầu hết các bài tập tương tự một cách dễ dàng Vì thế, công việc của người thầy là giúp học sinh phát hiện bài toán bản, từ đó, cùng học sinh khai thác, sử dụng kết quả của bài toán đó cho những bài tập khác 3.2 Kiến nghị Xác nhận Thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 CAM KẾT KHƠNG COPY Người viết Phạm Hùng Bích 17 skkn ... tích, tìm tòi đề xuất giải pháp giải vấn đề skkn 2.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp giải vấn đề KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Tìm hiểu tốn... đó, ta có  II Khai thác toán Trong hình học, ta phải giải tốn tìm đại lượng hình học chứng minh tính chất hình học (cố định, song song ) theo ràng buộc qua đại lượng thay đổi Để giải tốn này,... nó việc giải một số bài tập khó hình học không gian lớp 11 và 12 Tên đề tài chọn: ? ?Khai thác toán để giải số tốn hình học khơng gian? ?? 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến