Tinh don dieu cua ham so on thi thpt qg mon toan

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng tốn TÌM KHOẢNG ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN Định nghĩa: Hàm số f xác định K khoảng, đoạn nửa khoảng - f đồng biến K với x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  - f nghịch biến K với x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng  a; b  đó: - Nếu hàm số f đồng biến  a; b  f   x   với x   a; b  - Nếu hàm số f nghịch biến  a; b  f   x   với x   a; b  Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng  a; b  đó: Nếu f   x   với x   a; b  hàm số f đồng biến  a; b  Nếu f   x   với x   a; b  hàm số f nghịch biến  a; b  Khi f   x   số hữu hạn điểm  a; b  kết Nếu hàm số f đồng biến  a; b  liên tục nửa khoảng  a; b  ;  a; b ; đoạn  a; b đồng biếntrên nửa khoảng  a; b  ;  a; b ; đoạn  a; b tương ứng Tương tự cho nghịch biến Phương pháp xét tính đơn điệu: - Tìm tập xác định - Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên - Kết luận Chú ý: 1) Công thức quy tắc đạo hàm y  C  y  ; y  x  y  ; y  xn  y  nx n1 ; y  x  y  x  x  0 ; y  n x  y  nn 1 x n y  sin x  y  cos x ; y  cos x  y   sin x ; y  tan x  y  1 ; y  cot x  y  cos x sin x  u  v   u  v ;  u  v   u  v ;  u.v   u.v  u.v ;  u  u.v  u.v ; f x  fu.ux   v2 v 2) Phương trình lượng giác bản:  x    k 2 sin x  sin     x      k 2 k    x    k 2 cos x  cos     x    k 2 k   tan x  tan   x    k k   cot x  cot   x    k k   Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y  x2  8x  b) y  x3  x2  x  Giải a) Tập xác định D  Ta có y  x  Cho y   x    x  Bảng biến thiên (BBT) x  y  – + y Vậy hàm số nghịch biến  ;  , đồng biến  4;   b) D  Ta có y '  3x2  x  Cho y   3x  x    x  x  BBT x  y +  – + y Vậy hàm số đồng biến khoảng  ;  1;   , nghịch biến khoảng   Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y  x4  x2 b) y  x4  x2  1   ;1 3  Giải a) Tập xác định D  y  x3  x  x  x  1 , y   x  x  1 BBT x –1  y y - 0 +   – 0 +  –1 –1 Vậy hàm số đồng biến khoảng  1;0  1;   , nghịch biến khoảng  ; 1  0;1 b) D  Ta có y  x3  18x  x  x2  9 , y   x  y  khoảng  0;    y đồng biến khoảng  0;   y  khoảng  ;0   y nghịch biến khoảng  ;0  Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y  3x  1 x x b) y  x  Giải a) D  \ 1 Ta có y  6 1  x   với x  nên hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;   b) Tập xác định D  \ 0 Ta có y   x2   , y   x   x2 x BBT: x y y   + 0 –  – + Vậy hàm số đồng biến khoảng  ;         3;  , nghịch biến khoảng 3;0 0; Bài tốn Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y  x 1 x2  b) y  2x x 9 Giải a) D  Ta có y   x2  x  x  8 y    x2  x    x  4 hay x  BBT x –4  y –  + – y Vậy hàm số đồng biến khoảng  4;  nghịch biến khoảng     ,  2;   b) D  \ 3;3 Ta có y  2  x   x  9  , x  3 Do y  khoảng  ; 3 ,  3;3 ,  3;   nên hàm số cho nghịch biến khoảng Bài tốn Xét biến thiên hàm số đoạn, nửa khoảng: a) y   x2 b) y  x2  x  Giải a) Điều kiện  x2   3  x  nên D   3;3 Với 3  x  y  x  x2 , y   x  BTT: x y y 3 + – Vậy hàm số đồng biến khoảng  3;0  nghịch biến khoảng  0;3 Do hàm số f liên tục đoạn  0; 2 nên hàm số đồng biến đoạn  2;0 nghịch biến đoạn 0; 2 b) Vì     nên x2  x   , x  D  Ta có y  2x  2 x2  x  x 1  x2  x  y   x  , y   x  nên hàm số nghịch biến nửa khoảng  ;1 đồng biến nửa Và f liên tục khoảng 1;   Bài toán Xét biến thiên hàm số: x a) y  b) y  16  x x x2 Giải a) ĐK: 16  x2   x2  16  4  x  D   4;  Ta có y  16 16  x  16  x  , x   4;  Vậy hàm số đồng biến khoảng  4;  b) D  0;   Với x  , y  2 x , y   x  2 x  x  2 BBT: x y  + – y Vậy hàm số đồng biến  0;  nghịch biến  2;   Bài tốn Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y  x  x b) y  x3 x2  Giải 1 x 1  3 x2 3 x2 a) D  Với x  , ta có: y   y   x   x  1 y   x   x  x  1 x  y   x   x   1  x  Vậy hàm số đồng biến khoảng  ; 1 1;   , nghịch biến khoảng  1;1 b) Tập xác định D   ;     6;   y  x2  x2  9  x2  6 x2  , y   x  3 BBT: x –3  y +  –  – + y Vậy hàm số đồng biến khoảng  ; 3 ,  3;   , nghịch biến khoảng  3;   ,   6;3 Bài toán Xét biến thiên hàm số: b) y  x  cos2 x a) y  4sin x  Giải a) D  Ta có y  4cos x   2 Xét y   4cos x     k 2  x   k 2 , k  nên hàm số đồng biến   khoảng    k 2 ;  k 2  , k    Xét y   4cos x     k 2  x  3  k 2 , k   3 khoảng   k 2 ;  k 2  , k  2  b) D  Ta có y   2cos x sin x   sin x y   sin x   x    k , k  nên hàm số nghịch biến   Hàm số liên tục đoạn   k ;   k  1   y  khoảng 4          k ;   k  1   nên đồng biến đoạn   k ;   k  1   , k  4 4  4  Vậy hàm số đồng biến Cách khác: lấy a, b thuộc a  b Trên khoảng  a; b  y  y  hữu hạn điểm nên hàm số f đồng biến, f  a   f  b  Vậy theo định nghĩa hàm số f đồng biến Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y  x  sinx 0; 2  b) y  x  2cos x  0;   Giải a) y   cos x Ta có x  0;2   y  y   x  x  2 Vì hàm số liên tục đoạn 0; 2  nên hàm số đồng biến đoạn 0; 2  b) y   2sin x Trên khoảng  0;   y   sin x   5  x 6 y   sin x   5    x  x 6  5  Vây hàm số đồng biến khoảng  ;  , nghịch biến khoảng  0;  6   6  5   ;    Dạng toán CHỨNG MINH ĐƠN ĐIỆU Nếu f   x   với x   a; b  hàm số f đồng biến  a; b  Nếu f   x   với x   a; b  f   x   số hữu hạn điểm  a; b  hàm số đồng biến khoảng  a; b  Nếu f   x   với x   a; b  hàm số nghịch biến  a; b  Nếu f   x   với x   a; b  f   x   số hữu hạn điểm  a; b  hàm số nghịch biến khoảng  a; b  Nếu hàm số f đồng biến  a; b  liên tục nửa khoảng  a; b  ;  a; b ; đoạn  a; b đồng biến nửa khoảng  a; b  ;  a; b ; đoạn  a; b tương ứng Nếu hàm số f nghịch biến  a; b  liên tục nửa khoảng  a; b  ;  a; b ; đoạn  a; b nghịch biến nửa khoảng  a; b  ;  a; b ; đoạn  a; b tương ứng Chú ý: 1) Dấu nhị thức bậc nhất: f  x   ax  b , a  x f  x   trái dấu a b a  dấu a 2) Dấu tam thức bậc hai: f  x   ax2  bx  c , a  Nếu   f  x  dấu với a Nếu   f  x  ln dấu với a, trừ nghiệm kép Nếu   dấu "trong trái – " x f  x  x1 dấu a x2 trái dấu a  dấu a 3) Giả sử hàm số f xác định khoảng  a; b  x0   a; b  Hàm số f gọi liên tục điểm x0 nếu: xlim f  x   f  x0  Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn x điểm x0 Hàm số f liên tục khoảng  a; b  liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số f liên tục nửa khoảng  a; b liên tục khoảng  a; b  lim f  x   f  b  x b Hàm số f liên tục nửa khoảng  a; b  liên tục khoảng  a; b  lim f  x   f  a  x a  Hàm số f liên tục đoạn  a; b liên tục khoảng  a; b  lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  x a  x b Bài toán Chứng minh hàm số sau đồng biến a) f  x   x3  x2  20 x  13 b) f  x   x  cos x  sin x Giải a) f   x   3x2  12 x  20 Vì   36  20  nên f   x   với x, hàm số đồng biến  b) y   sin x  cos x  1  sin x    cos x        1  sin  x     , với x    Vậy hàm số đồng biến Bài toán Chứng minh hàm số sau nghịch biến a) f  x   x   x : b) f  x   cos x  x  Giải a) Ta có f   x   Vì x x 1 1 x   x  x  x , x nên f   x   , x hàm số f nghịch biến b) f   x   2  sin x  1  với x f   x    sin x  1  x     2k  x      k , k   Hàm f  x  liên tục đoạn   k ;    k  1   f   x   khoảng          k ;   k  1   nên hàm số nghịch biến đoạn   Vậy hàm số nghịch biến        k ;    k  1   , k  Cách khác: Ta chứng minh hàm số f nghịch biến : , x1  x2  f  x1   f  x2  x1 , x2  Thật vậy, lấy hai số a, b cho a  x1  x2  b Ta có: f   x   2  sin x  1  với x   a; b  Vì f   x   số hữu hạn điểm khoảng  a; b  nên hàm số f nghịch biến khoảng  a; b   đpcm Bài toán Chứng minh hàm số sau đơn điệu 3 a) y  x3  x  x  : b) y   x5  x  x3  12 Giải a) D  Ta có y  x2  x    x  1  với x y   x  Vậy hàm số đồng biến b) D  Ta có y  3x4  8x3  x2   3x2  8x   x2 Vì   16  21  nên 3x2  8x   với x Do y  với x, y   x  Vậy hàm số nghịch biến Bài toán Chứng minh hàm số: a) y  x2 đồng biến khoảng xác định x2 b) y   x2  2x  nghịch biến khoảng xác định x 1 Giải a) D  \ 2 Ta có y   x  2  với x  2 Vậy hàm số đồng biến khoảng  ; 2   2;   b) D  \ 1 Ta có y   x2  2x   x  1  với x  1 (vì     ) Vậy hàm số nghịch biến khoảng  ; 1  1;   b) Với x  hàm số g  x   cos x  x2  liên tục nửa khoảng 0;   g   x   x  sin x Theo a) g   x   với x  Do hàm số g đồng biến 0;   nên: x2 g  x   g    với x   cos x    với x  Suy với x  ta có cos   x  x  2 1   Bài toán Chứng minh bất đẳng thức với x   0;   2 x3 b) tan x  x  a) tan x  x Giải  a) Hàm số f  x   tan x  x liên tục nửa khoảng 0;  có đạo hàm f   x    2  0 cos x  với x   0;  Do hàm số f đồng biến nửa khoảng 0;  nên f  x   f  0   2  2  với x   0;   2 b) Hàm số f  x   tan x  x  f  x  x3  liên tục nửa khoảng 0;  có đạo hàm  2 1  x2 cos x    tan x  x2   tan x  x  tan x  x   với x   0;  (suy từ a))  2  Do đó, hàm số f đồng biến nửa khoảng 0;  ta có f  x   f  0  với  2   x   0;   đpcm  2 Bài toán Chứng minh: a) sin x  x  x3 , x   b) 2sin x  tan x  3x x   0;   Giải a) BĐT: x  x3  sin x  , x  2 Xét f  x   x  x3  sin x f liên tục  0;   x2 f   x     cos x ; f   x    x  sin x f   x   1  cos x  nên f  nghịch biến  0;   ; x   f   x   f     nên f  nghịch biến  0;   ; x   f   x   f     nên f nghịch biến  0;   ; x   f  x   f    : đpcm  b) Hàm số f  x   2sin x  tan x  3x liên tục nửa khoảng 0;   f   x   2cos x   2cos3 x  3cos x  3  0 cos2 x cos x  Do hàm số f đồng biến 0;  nên f  x   f  0   2 Bài toán Chứng minh bất đẳng thức: x a) 8sin  sin x  x , x  0;   b) tan x  4x   , x  0;   4 Giải x a) Xét hàm số f  x   8sin  sin x  x , x  0;   f   x   4sin x  2cos x   4sin x 1  sin x  f  x   x   x   Với x  0;   ta có f   x   dấu xảy hai điểm Vậy f  x  đồng biến nửa khoảng  0;   nên f  x   f  0  với x  0;    đpcm b) Nếu x  BĐT Nếu x  BĐT  Xét f  x   tan x    , x   0;  x   4 tan x  , x   0;  x  4 x  tan x x  sin x cos x x  sin x cos x  f  x    2 x x cos x x cos x Vì  x   nên  x      sin x  x f   x   nên f đồng biến  0;  , suy  4   f  x   f    : đpcm 4  Bài toán Chứng minh bất đẳng thức sau:  x  x2   x   x , với x  Giải Xét hàm số f  x    x   x 0;   Ta có: f  x  1   với x  nên f  x  đồng biến nửa khoảng  0;   2 1 x Do f  x   f  0  với x  Xét hàm số g  x    x   x  Ta có: g   x   x2 0;   1 x 1  nên g  đồng biến  0;   ;   , g   x    4 1  x   x 1 x g   x   g   0  Suy g đồng biến 0;   nên g  x   g  0  với x  0;    đpcm Bài toán Chứng minh bất đẳng thức sau: a  b4  c4  d  2abcd   a 2b2  a 2c  a d  b2c  b2 d  c d   với số a, b, c, d dương Giải Khơng tính tổng qt giả sử a  b  c  d  Xem vế trái hàm số f  a  , a  f   a   4a3  2bcd  2a  b2  c  d  f   a   12a   b2  c2  d   nên f  đồng biến  0;   a  b  f   a   f   b  Vì f   b   2b  b2  c   2bd  c  d   0;   : a   f  a   f  0  : đpcm Bài toán Cho x, y, z  x  y  z  Chứng minh:  xy  yz  zx  xyz  27 Giải nên f a đồng biến Giả sử z số bé  z  Ta có: T  xy  yz  zx  xyz  xy 1  z    x  y  z  xy   x  y  z  x y Và có T    1  z    x  y  z    1 1  z  1  z   1  z  z   2 z  z  1 4 Xét f  z   2 z  z  ,  z   1 1 f   z   6 z  z  z 1  3z   f  z  đồng biến 0;  , T  f  z   f     3   27 Bài toán Cho x, y, z số thực không âm phân biệt Chứng minh rằng: x y  x  y  yz  y  z  zx  z  x  x yz Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  x y  x  y  z     x  y  yz  y  z  zx  9  z  x   Khơng tính tổng qt, giả sử x  y  z   x y Đặt f  x    x  y  z      x  y  yz  y  z  zx   , z  f   x   nên f đồng biến  z  x    x y 1      x  y 2 y x    Do f  z   f     x  y    1    x  y      x  y xy    1    x  y      x  y 2  xy xy     x  y  1    9     x  y 2   x  y   xy xy xy  x  y     Dấu đẳng thức xảy   z  z  z       2   x  xy  y  x   y  x  y   xy  xy    Dạng tốn TỐN TỔNG HỢP Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng  a; b  đó: Nếu f   x   với x   a; b  hàm số f khơng đổi  a; b  Nếu f   x   với x   a; b  f   x   số hữu hạn điểm  a; b  hàm số đồng biến khoảng (a; b) Nếu f   x   với x   a; b  f   x   số hữu hạn điểm  a; b  hàm số nghịch biến khoảng  a; b  Nếu hàm số f đồng biến  a; b  liên tục nửa khoảng  a; b  ;  a; b ; đoạn  a; b đồng biến nửa khoảng  a; b  ;  a; b ; đoạn  a; b tương ứng Tương tự cho nghịch biến Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: b) f  x   x  x   a) f  x   x  3x  Giải a) D    x  3x  4, x  4 hay x  , y   x  3x  4, 4  x  2 x  3, x  4 hay x  y   2 x  3, 4  x  BBT x y 4  – y  +  – + CĐ CT CT 3 Vậy hàm số nghịch biến  ; 4  ,   ;1 đồng biến  4;   , 1;     b) Hàm số f liên tục  x  x   x    x  x  2 x  Ta có: f  x    Với x  , f   x   2 x  ; f   x    x  1 Với x  , f   x   x   BBT:  2 x –1  y +  – + y Vậy hàm số nghịch biến  1;0  đồng biến  ; 1 ,  0;   Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: b) y  x  x  5 a) y   3cos x Giải a) Tập xác định D  Ta có y  3sin x Xét y   sin x   k 2  x    k 2 , k   k 2 ;   k 2  , nên hàm số đồng biến khoảng k Xét y   sin x     k 2  x  2  k 2 , k    k 2 ;2  k 2  , nên hàm số nghịch biến khoảng k b) D  Với x  y  x   x  5 33 x   x  2 33 x Ta có y   x  Bảng biến thiên x  y y  – + +  3  Vậy hàm số nghịch biến  0;  đồng biến  ;0  ,  2;   Bài toán Chứng minh: x  Giải a) Xét f  x   sin x  cos2 x , D  f   x   2sin x cos x  2cos x sin x  , x Do f  x  hàm   b) y  cos x  sin x.tan  , x    ;  4 a) sin x  cos2 x  , x nên f  x   f  0     b) Xét f  x   cos x  sin x.tan , D    ;   4 x f   x    sin x  cos x tan   sin x  tan   sin x x 2cos 2 x x   sin x  cos x.tan  tan 2 x x x 1  cos x    sin x  tan cos2 2      sin x  sin x  với x    ;   4   Suy f hàm khoảng   ;   4   Do f  x   f  0  với x    ;   4 Bài toán Chứng minh hàm số sau hàm không     f  x   cos x  cos  x    cos x cos  x   3 3   Giải     Ta có f   x   2cos x sin x  2cos  x   sin  x    sin x cos  x    cos x.sin  x   3 3        2       sin x  sin  x    sin  x    3        sin x  2cos  x   sin  , với x 2  Do f 4 nên f  x   f       Bài toán Tìm số nghiệm phương trình: x8  2x5  2x4  x3  3x2  6x   Giải Phương trình tương đương:  x3  3 x5  x2  x  1   x3   x5  x2  x    x   3 x5  x2  x   Xét phương trình: x5  x2  x    x5   x  1  Do x5   x    x  1   x5   x  Do nghiệm phương trình x5  x2  x 1  có x  Đặt f  x   x5  x2  x  , x   đổi f   x   5x  x    x  1  x  x3  1  Do f đồng biến Vì f 1  3  f  2  23  nên f  x   có nghiệm x0  Vậy phương trình cho có nghiệm Bài tốn Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm x2  2x   x   m Giải Đặt t  x   , phương trình trở thành t   t  m  * Nhận xét ứng với nghiệm khơng âm phương trình * có nghiệm phương trình cho, phương trình cho có nghiệm phương trình * có nghiệm khơng âm t3 Xét hàm số f  t   t   t với t  , f   t   t  3 1  f  t   nên có bảng biến thiên: Mà f    xlim  t f  t  f t   – Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm m  m   x2  2x   y  Bài toán Giải hệ phương trình  y  y   z z2  2z 1  2x  Giải Ta có y  x2  x    x  1   y  Tương tự z, x  Đặt f  t   t  2t  1, t  f   t    t  1 nên f đồng biến 1;   nghịch biến  0;1 Đặt g  t   2t , t  g   t    nên g đồng biến  0;    f  x  g  y  Ta có hệ  f  y   g  z    f  z  g  x Giả sử x  x; y; z Xét x  y  z - Nếu x   x  y  z  f  x   f  y   f  z   g  y   g  z   g  x   y  z  x nên x  y  z Ta có phương trình: t  4t   nên chọn nghiệm: x  y  z   - Nếu  x  f  0  f  x   f 1   f  x   nên  g  y     y   f  0  f  y   f 1   f  y     g  z     z  Do x  y  z  f  x   f  y   f  z   g  y   g  z   g  x   y  z  x nên x  y  z Ta có phương trình t  4t   nên chọn nghiệm: x  y  z   Xét x  y  z nhận kết Vậy hệ có nghiệm x  y  z   , x  y  z   Bài toán Chứng minh bất đẳng thức: b.tan a  a.tan b với  a  b   Giải Ta có b.tan a  a.tan b  Xét f  x   tan a tan b  a b tan x  , 0 x x x  tan x x  sin x cos x x  sin x f   x   cos x   x x cos x x cos x Xét g  x   x  sin x ,  x   , g   x    2cos x  1  cos x   nên g đồng biến: x   g  x   g  0    Do f   x   nên f đồng biến 0;  Vì  a  b   f  a   f  b  : đpcm 2   BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập Xét chiều biến thiên hàm số sau: b) y  a) y  x4  x2  x2 x  x 1 HD-ĐS a) Tập xác định D  Ta có y  x3  x  x  x2  1 Cho y   x  x2  1   x  x  1 BBT –1  x y – 0 +  – 0 + y Kết hàm số nghịch biến khoảng  ; 1  0;1 , đồng biến khoảng  1;0  1;   b) Tập xác định D  Ta có: y   x2  x   x2  x  1 y   x  x    x   BBT: 2  x y –  2 + – y Kết hàm số đồng biến khoảng   7;   nghịch biến khoảng  ;   ,    7;  Bài tập Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y  x  x  3 b) y  HD-ĐS a) D  0;   Với x  , ta có: y  x  x  3  x x  x  1 , y   x  2x x 1 1 x BTT: x y  – + y Kết hàm số nghịch biến khoảng  0;1 đồng biến khoảng 1;   b) D   ;1 Ta có y  3 x 1  x   , x  Kết hàm số đồng biến khoảng  ;1 Bài tập Chứng minh hàm số a) f  x   x3  x2  17 x  đồng biến b) f  x   2sin x  x3  x nghịch biến HD-ĐS a) f   x   3x2  12 x  17 có   36  51  Nên f   x   với x, hàm số đồng biến b) f   x    cos x  3  3x2 Vì cos x  với x Nên f   x   với x, hàm số nghịch biến 3m  1 x  m2  m  Bài tập Tìm m để hàm số y  đồng biến khoảng xác định xm HD-ĐS D  x  m  3m  1   3m  1 x  m2  m  4m2  2m \ m Ta có: y   2  x  m  x  m Hàm số đồng biến khoảng xác định  4m2  2m   m  m  2 Kết m  m  Bài tập Tìm a để hàm số: f  x   x3  1  2cos a  x  x cos a  , a   0; 2  đồng biến khoảng 1;   HD-ĐS y  x  1  2cos a  x  2cos a Ta có  a  2 y   x  x  2cos a Vì y  ngồi khoảng nghiệm nên hàm số đồng biến với x  2cos a   cos a  Kết  a  5  a 3 5 Bài tập Giải phương trình, hệ phương trình a)  x  2 x  1   x   x  1    x   x   x   y  y2 1  b)  y   z  z    z   x  x  HD-ĐS a) Điều kiện x  Phương trình tương đương:  x  2 x 1   x  6 x 1      x2  x6   x  1  3   x  2   x     Suy x 1    x    x  Nhận xét hai hàm số đồng biến f  x   x    Và g  x   x   x   nên phương trình có nghiệm Kết x  b) Xét hàm số f  t   t  t   , t  f   t    t t2 1  t 1  t t2 1 nên f  t  đồng biến  t2  t t 1 0 t x  f  y  Ta có hệ phương trình  y  f  z   z  f  x Giả sử x  y f  x   f  y  nên y  z f  y   f  z  tức z  x : vô lý Giả sử x  y f  x   f  y  nên y  z f  y   f  z  tức z  x : vô lý Giả sử x  y f  x   f  y  nên y  z x  y  z Thế vào hệ: x   x  x2    x2   x2   x   Thử lại x  y  z   hệ nghiệm Kết x  y  z   Bài tập Giải bất phương trình: a) x  x    x  b) x5  x3   3x  HD-ĐS a) Điều kiện x  Bất phương trình: x  x 7  x 5  Xét hàm số f  x   x  x   x  , x  f đồng biến f    Do bất phương trình f  x    f  x   f  9  x  Kết  x  b) Điều kiện x  Bất phương trình: x5  x3   3x  4 Xét hàm số f  x   x5  x3   3x f đồng biến f  1  4 Kết x  1 Bài tập Chứng minh bất đẳng thức: a) sin a sin b  với  a  b   a b b) x  y  với x, y thoả x  y  HD-ĐS a) Xét f  x   sin x  với x   0;  , x  2  Ta chứng minh f nghịch biến  0;    b) Đưa theo biến x 8 Ta có y   x nên bất đẳng thức x  y   x  1  x   Xét hàm số f  x   x  1  x  Tập xác định D  f   x   x3  1  x  nên f   x    x3  1  x   x3  1  x  3  x  1 x  2x   x  Lập BBT có f  x   với x ... Lập bảng biến thi? ?n hàm đồng biến khoảng 2m  4m2  9; 2m  4m2       Và nghịch biến khoảng ; 2m  4m2  , 2m  4m2  9;  Bài toán Xét biến thi? ?n hàm số: y  2x  m theo tham số m x 1... x12  x22  x1 x2  15 (thoả)   x2  x1   x1 x2    m   m   Bài toán Tuỳ theo tham số m, xét biến thi? ?n hàm số: y  x3  2mx  x  m Giải D Ta có y  x2  4mx  ;   4m2  - Nếu... t với t  , f   t   t  3 1  f  t   nên có bảng biến thi? ?n: Mà f    xlim  t f  t  f t   – Từ bảng biến thi? ?n suy giá trị cần tìm m  m   x2  2x   y  Bài toán Giải