Skkn một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10

Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Khi giải tập Vật lý, để tính giá trị cực đại cực tiểu đại lượng Vật lý, ta thường dùng số công thức, kiến thức tốn học Do đó, để giải tập cần nắm vững số kiến thức sau đây: Bất đẳng thức Cô si: ( a, b dương) ( a, b, c dương) - Dấu xảy số - Khi tích hai số khơng đổi, tổng nhỏ hai số - Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn hai số Bất đẳng thức Bunhiacôpski: Dấu xảy Tam thức bậc hai: skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 + Nếu a > ymin đỉnh pa rabol + Nếu a < ymax đỉnh parabol Tọa độ đỉnh: + Nếu +Nếu ; ( ) = phương trình : có nghiệm kép phương trình có hai nghiệm phân biệt Giá trị cực đại hàm số sin cosin: Khảo sát hàm số: - Dùng đạo hàm - Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu Ngoài một số bài toán không cần sử dụng các công thức toán mà từ lập luận ta có thể giải quyết được skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Ví dụ ta có thể vận dụng công thức cộng vận tốc và suy luận để giải bài toán cực trị Vì vậy đọc và phân tích đề ta phải lựa chọn cách giải nào ngắn gọn và hay để thực hiện II BÀI TẬP VÍ DỤ VẬN DỤNG: 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Bài toán 1: Vật m1 chuyển động với vận tốc A đồng thời va chạm với vật m2 nằm yên Sau va chạm, m1 có vận tốc m1 để góc lệch lớn hồi hệ xem hệ kín skkn Hãy xác định tỉ số Cho m1 > m2, va chạm đàn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 BÀI GIẢI  p1  ps * Động lượng hệ trước va chạm:  p2 * Động lượng hệ sau va chạm : Vì hệ kín nên động lượng bảo tồn : Gọi Ta có: (1) Mặt khác, va chạm đàn hồi nên động bảo tồn: skkn Trần Phương Mai- Một số tốn cực trị học lớp 10 (2) Từ(1)và(2) ta suy Đặt Để Theo bất đẳng thức Cơsi Tích hai số khơng đổi, tổng nhỏ hai số Vậy Khi đó, góc lệch cực đại Bài toán Trên đoạn đường thẳng AB dài s=200m, một chiếc xe khởi hành từ A chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a1 =1m/s2 sau đó chuyển động chậm skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 dần đều với gia tốc có độ lớn a2 =2m/s2 và dừng lại ở B Tính thời gian ngắn nhất để xe từ A đến B Giải Gọi s1 ,s2 là quãng đường xe hai giai đoạn ứng với gia tốc a1, a2 t1,, t2 là thời gian xe hai giai đoạn ứng với gia tốc s1, s2 ta có ; tổng giời gian xe t= Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có Để thời gian xe là ngắn nhất thì Mặt khác s1 + s2 =200(2) suy s1= 66,67m, s2 = 33,33m Vậy t = 15,63 s skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Bài toán 3: Một vật nhỏ trượt khơng ma sát từ đỉnh nêm văng theo phương ngang rơi xuống mặt bàn Hỏi h vật rơi xuống mặt bàn xa nêm Biết khối lượng nêm lớn so với khối lượng vật Giải: Do khối lượng nêm lớn so với khối lượng vật nên ta coi nêm đứng yên Áp dụng định luật bảo toàn ta tính vận tốc vật rời nêm là: v = Vật văng xa theo phương nằm ngang, khoảng cách từ vật đến chân nêm vật chạm sàn l = v = Vật rơi xuống mặt bàn xa nêm l = lmax Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có l = lmaxkhi khi: h = H - h hay skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 h= từ ta có lmax = H H h Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cơpski: Bài tốn 1: skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Hai chuyển động AO BO hướng O với Khi khoảng cách hai vật cực tiểu dmin khoảng cách từ vật đến O Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O BÀI GIẢI Gọi d1, d2 khoảng cách từ vật vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = ) Áp dụng định lý hàm sin ta có: A d1’ d Vì nên ta có:  B Áp dụng tính chất phân thức ta có: skkn  d2 ’  O Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Mặt khác, tacó: Vậy Khoảng cách hai vật dmin ymax với y = Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:  ymax= skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Lúc đó: Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc là: d2’ = 90(m) *Bài tập này ta có thể sử dụng công thức cộng vận tốc để giải m M Bài tốn 2: Cho hệ hình vẽ:  F  Cho biết: Hệ số ma sát M sàn k2 Hệ số ma sát M m k1 Tác dụng lực lên M theo phương hợp với phương ngang góc tìm Fmin để m khỏi M.Tính góc tương ứng? skkn Hãy Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 BÀI GIẢI y  Fms12 + Xét vật m:  N1  N2  P1 (1)  Fms  P2 Chiếu lên Ox: Fms21= ma Chiếu lên Oy: N1 – P1 = N1 = P1 Fms21= k1.N1 = k1.mg Khi vật bắt đầu trượt thì a1 = k1g + Xét vật M: Chiếu lên trục Ox: Chiếu lên Oy: Ta có: skkn  F  Fms 21  O x Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Khi vật trượt Nhận xét: Fmin ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski: Vậy Lúc đó: 3.Áp dụng tam thức bậc hai: Bài toán 1: Một kiến bám vào đầu B A cứng mảnh AB có chiều dài L dựng đứng B skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 cạnh tường thẳng đứng Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc khơng đổi v theo sàn ngang kiến bắt đầu bò dọc theo với vận tốc khơng đổi u Trong q trình bị , kiến đạt độ cao cực đại sàn? Cho đầu A ln tì lên sàn thẳng đứng  u BÀI GIẢI h Khi B di chuyển đoạn s = v.t kiến đoạn l = u.t Độ cao mà kiến đạt được: với Vói y = Đặt X = t2 skkn B Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 y tam thức bậc hai có a = - v < Nhận xét: ymax đỉnh Parabol Vây độ cao mà kiến đạt : Bài toán Hai chiếc tàu biển chuyển động với cùng vận tốc hướng tới điểm O hai đường thẳng hợp với một góc α = 600 Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai tàu Cho biết ban đầu chúng cách O những khoảng cách là d1 = 60km và d2 = 40km Giải Chọn hệ trục tọa độ không vuông góc hình vẽ Giả sử tàu A chuyển động Oy về O ,tàu B chuyển động Ox về O Phương trình chuyển động của chúng lần lược là skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Tại thời điểm t khoảng cách giữa hai tàu là A y y Thay (1),(2)vào(3) ta được O 600 B x X Vế phải là một tam thức bậc hai có giá trị nhỏ nhất là *Bài tập này có thể giải bằng cách áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và cosin Bài toán 3: Hai vật nhỏ chuyển động hai trục tọa độ vng góc Ox, Oy qua O lúc Vật thứ chuyển động trục Ox theo chiều dương với gia tốc 1m/s2 vận tốc qua O 6m/s Vật thứ hai chuyển động chậm dần theo chiều âm trục Oy với gia tốc 2m/s vận tốc qua O 8m/s Xác định vận skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 tốc nhỏ vật thứ vật thứ hai khoảng thời gian từ lúc qua O vật thứ hai dừng lại Giải: y Chọn mốc thời gian lúc vật qua O - Phương trình vận tốc vật thứ trục Ox: O v12 v1 = v01 + a1t = + t v2 - Phường trình vận tốc vật thứ hai trục Oy: v2 = v02 + a2t = - + 2t - Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v2 = => t = 4s - Vận tốc vật thứ vật thứ hai là: Do => v12 = => v12 = vng góc với = Vế phải là một tam thức bậc hai có giá trị nhỏ nhất là t= v1 (s) < (s) skkn x Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Vậy v12 có giá trị nhỏ t = 2s => (v12)min = Khi v1 = 8m/s, => 8,94 (m/s) với Cos = v1/v12 = 8/8,94 0,895 = 26,50 - Vậy v12 đạt giá trị nhỏ 8,94m/s thời điểm t = 2s hợp với Ox góc 26,50 Áp dụng giá trị cực đại hàm số sin hàm số cosin: Bài toán 1: Hai vật chuyển động từ A B hướng điểm O với vận tốc Biết AO = 20km; BO = 30km; Góc Hãy xác định khoảng cách ngắn chúng chuyển động? BÀI GIẢI Xét thời điểm t : Vật A A’ O A’ A   skkn B’ B  Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Vật B B’ Khoảng cách d = A’B’ Ta có: với Nhận xét: dmin Bài tốn Một tơ chuyển động thẳng với vận tốc v1 = 54km/h Một hành khách cách ô tô đoạn a = 400m cách đường đoạn d = 80m, muốn đón tơ Hỏi người phải chạy theo hướng nào, với vận tốc nhỏ để đón tơ? skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Giải Gọi C là vị trí gặp Áp dụng định lí hàm số (2) A Sin cho tam giác ABC β Ta có d (1) B Suy : v2 có giá trị ( α )max=1 vậy β = 900 Do đó (v2)min = 5.Bài toán dùng suy luận skkn (3) C Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Bài tốn 1:Từ khí cầu cách mặt đất khoảng 15m hạ thấp với tốc độ v1=2m/s, từ khí cầu người ta phóng vật nhỏ theo phương thẳng đứng hướng lên với vận tốc đầu vo2= 18m/s mặt đất Tìm khoảng cách lớn khí cầu vật.Bỏ qua ảnh hưởng khơng khí lấy g=10m/s2 Giải Chọn trục toạ độ thẳng đứng chiều dương xuống Phương trình chuyển đơng khí cầu vật x1= 2t Phương trình chuyển động vật x2= -18t +5t2 Phương trình vận tốc khí cầu 1: v1= 2m/s (đ/k t 7,5s) Phương trình vận tốc vật 2: v2=-18+10t (đ/k t 3s) Khi vật lên khoảng cách vật khí cầu ngày tăng, vật lên đên điểm cao đổi chiều chuyển đơng nhanh dần xuống, khoảng cách skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 giũa vật khí cầu vẩn tiếp tục tăng vận tốc vật đạt giá trị vận tốc khí cầu 2m/s Ta có v2=-18+10t = t=2s Khoảng cách: dmax=x1-x2=2t-(-18t + 5t2) = 20m *Nếu toán ta dùng hàm bậc hai để xét mặt tốn học đơn giản hơn, nhiên ý nghĩa vật lí chưa tường minh so với cách lí luận Bài tốn Hai xe chuyển động hai đường vng góc với nhau, xe A hướng tây với tốc độ 50km/h, xe B hướng Nam với tốc độ 30km/h Vào thời điểm xe A B cịn cách giao điểm hai đường 4,4km 4km tiến phía giao điểm Tìm khoảng cách ngắn giũa hai xe Giải Xét chuyển động tương đối vật so ta có skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Đoạn BH vng góc với đường thẳng chứa véc tơ vận tốc cách ngắn hai xe khoảng dmin= BH tan dmin=BH= BI sin = (B0-0I) sin =(B0-0A.tan skkn ).sin = 1,166km ... - h hay skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 h= từ ta có lmax = H H h Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cơpski: Bài tốn 1: skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Hai chuyển... động bảo toàn: skkn Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 (2) Từ(1)và(2) ta suy Đặt Để Theo bất đẳng thức Cơsi Tích hai số khơng đổi, tổng nhỏ hai số Vậy Khi đó, góc lệch cực đại Bài... có: skkn  F  Fms 21  O x Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Khi vật trượt Nhận xét: Fmin ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Cơpski: Vậy Lúc đó: 3.Áp dụng tam thức bậc hai: Bài toán