Đang tải... (xem toàn văn)
1 skkn 2 LÍ LỊCH ĐỀ TÀI Nhóm tác giả Lưu Quang Hưởng – Tổ trưởng chuyên môn Trần Văn Tỏ Tổ phó chuyên môn Chức vụ Giáo viên Đơn vị Trường THPT Đức Hợp, Kim Động, Hưng Yên Tên đề tài “Vận dụng đạo hàm[.]
skkn LÍ LỊCH ĐỀ TÀI - Nhóm tác giả : Lưu Quang Hưởng – Tổ trưởng chuyên môn Trần Văn Tỏ - Tổ phó chun mơn - Chức vụ : Giáo viên - Đơn vị : Trường THPT Đức Hợp, Kim Động, Hưng Yên Tên đề tài: “Vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức” skkn PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Lý chọn đề tài Căn nhiệm vụ mục tiêu giáo dục, vào thực trạng dạy học nay, cần có hướng đổi phương pháp dạy toán trường THPT Để đạt điều đó, giảng dạy người thầy phải giúp học sinh nắm vững tri thức phương pháp [1, Tr 124] BĐT nội dung khó, địi hỏi học sinh lực tư mức độ cao giải Cùng với BĐT đạo hàm phần kiến thức quan trọng thiếu nhiều tốn đại số Nó thực công cụ, phương pháp tốt hỗ trợ hiệu giải toán bất đẳng thức Các tài liệu viết BĐT nhiều, nhiên số chuyên đề viết riêng việc vận dụng đạo hàm giải tốn BĐT, giải tốn tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) có tính phân loại hệ thống khơng nhiều Thường tốn chứng minh BĐT xuất đề thi HSG dạng dấu xảy giá trị biến toán tác giả Trần Phương giải phương pháp kinh điển “Kỹ thuật chọn điểm rơi” Vậy với toán BĐT mà dấu xảy giá trị biến không làm nào? Hiện nhiều tài liệu nói đến vấn đề chủ yếu dùng kỹ thuật tách ghép, thêm bớt hệ số mà chưa nói lên chất vấn đề Ngoài qua thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi ơn thi Đại học, Cao đẳng, nhóm tác giả nhận thấy việc chứng minh BĐT dạng tách ghép sử dụng BĐT Cauchy, Bunhiacopski khó hiểu học sinh Nhưng với sáng kiến nhóm tác giả với ý tưởng dùng đạo hàm kết hợp với giải hệ phương trình học sinh giải vấn đề Với tất lí từ kinh nghiệm giảng dạy nhóm tác giả chọn tên sáng kiến là: “Vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức” skkn Cơ sở thực tiễn a) Nghiên cứu việc dạy BĐT Thực trạng việc dạy BĐT trường THPT trước thực nghiệm, thử nghiệm sáng kiến, nhóm tác giả nhận thấy: - Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học chun đề ơn luyện đan xen vào tiết tự chọn lớp nên có thời gian triển khai tới HS - Giáo viên nhiều thời gian để tìm tịi sở lý thuyết xây dựng hệ thống tập - Giáo viên gặp khó khăn tìm tài liệu để mở rộng kiến thức ví dụ ứng dụng - Giáo viên chưa có có kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề chứng minh bất đẳng thức - Giáo viên nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành hệ thống tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác học sinh - Thời gian để giáo viên hướng dẫn chữa tập cho học sinh không nhiều - Đối với giáo viên không chủ chốt tổ chun mơn có hội dạy đội tuyển dạy luyện thi Đại học việc phân loại tập, trình bày lời giải cịn hạn chế đơi lúc mắc sai lầm b) Nghiên cứu việc học BĐT Bên cạnh khó khăn người thầy, học sinh gặp phải nhiều khó khăn tiếp cận nội dung BĐT, Chẳng hạn như: - Học sinh thường có hứng thú với vấn đề giáo viên đặt lúc bắt đầu học Tuy nhiên, học đến định nghĩa xây dựng định lý, hệ học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu mơ hồ vận dụng làm tập Những học sinh trung bình chưa thể hiểu kỹ lý thuyết vận dụng vào tập - Nhiều học sinh hiểu chưa kỹ khái niệm, định nghĩa Thí dụ mẫu dẫn đến trình bày lời giải tốn chưa khoa học mắc nhiều sai lầm - Khả tìm tịi tự học đa số học sinh cịn hạn chế học chưa có khả rút kinh nghiệm, hệ thống dạng tập skkn - Nhiều học sinh chưa biết nhiều phương pháp giải toán, kỹ kỹ xảo để xử lý dạng tập phức tạp - Bài tập phần khó có nhiều hướng giải khó phát tốn nhiều thời gian tìm tòi lời giải Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu dạng toán BĐT thường gặp hiệu việc dùng đạo hàm giải tốn ví dụ minh họa cụ thể - Sáng kiến tập trung phân tích ưu điểm việc dùng đạo hàm chứng minh BĐT qua nhằm hướng dẫn học sinh tự học - Sáng kiến đưa hệ thống tập tự luyện phù hợp Mục đích nghiên cứu - Giúp cho thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao lực tạo điều kiện thuận lợi cho công tác dạy học - Giúp cho học sinh có thêm lựa chọn hay giải toán BĐT - Giúp cho học sinh lực tự học, rèn tính cẩn thận, sáng tạo góp phần hình thành phẩm chất cần thiết người lao động Phạm vi, giới hạn sáng kiến nghiên cứu 5.1 Phạm vi khảo sát Học sinh lớp 12, học sinh giỏi, học sinh ôn thi THPT Quốc Gia 5.2 Giới hạn nội dung nghiên cứu sáng kiến: Hoạt động dạy học bồi dưỡng HSG chuyên đề BĐT, dạy ôn thi THPT Quốc Gia phần Vận dụng cao 5.3 Vấn đề nghiên cứu sáng kiến: Làm để học sinh tự tin giải tốn BĐT cơng cụ quen thuộc đạo hàm Phương pháp nghiên cứu thực sáng kiến - Nghiên cứu lý thuyết GTLN, GTNN, Cực đại, Cực tiểu, - Nghiên cứu phương pháp giảng tập toán - Nghiên cứu thực tế giảng dạy, thông qua học sinh, qua sách báo tài liệu tham khảo, học hỏi tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp skkn Giả thuyết khoa học sáng kiến Trên sơ lý luận phương pháp dạy học mơn tốn thực tiễn dạy học đạo hàm BĐT trường THPT vận dụng kết hợp đạo hàm với kiến thức phù hợp phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo học sinh việc chứng minh bất đẳng thức Đóng góp sáng kiến - Sáng kiến đưa cách giải dạng tốn BĐT khó mà dùng đạo hàm; - Cung cấp cho học sinh lý thuyết sở gắn với tốn trình bày lời giải toán BĐT theo hướng vận dụng đạo hàm thuộc chương trình Tốn THPT - Minh họa nhiều loại tập có đề thi HSG trường chuyên, đề thi HSG quốc gia năm gần - Giúp cho em học sinh rèn kỹ giải tốn giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm dạy học Cấu trúc sáng kiến Phần I: Tổng quan vấn đề nghiên cứu Phần II: Nội dung Cơ sở lý luận Các dạng toán tổng quát Bài tập luyện tập Tổ chức thực nghiệm Phần III: Kết luận khuyến nghị skkn PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lý luận 1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Cho hàm số y f ( x) xác định tập D a) Số M gọi GTLN hàm số y f ( x) tập D f ( x) M với x D tồn x0 D cho f ( x0 ) M Kí hiệu M max f ( x) D b) Số m gọi GTNN hàm số y f ( x) tập D f ( x) m với x D tồn x0 D cho f ( x0 ) m Kí hiệu m f ( x) D 1.2 Một số tính chất hàm số Định lý 1: Cho hàm số y f ( x) xác định có đạo hàm [a; b] + Nếu f '( x) 0, x a; b f ' x số hữu hạn điểm f(x) đồng biến [a; b] ta có f ( x) f (a ); m ax f ( x) f (b) x a ;b x a ;b + Nếu f '( x) 0, x a; b f ' x số hữu hạn điểm f(x) nghịch biến [a; b] ta có f ( x) f (b); m ax f ( x) f (a ) x a ;b x a ;b Định lý 2: ( Định lý Fermart) Giả sử hàm số y f ( x) xác định lân cận đủ bé x0 a; b có đạo hàm điểm x0 Khi hàm số y f ( x) đạt cực trị x0 f ( x0 ) Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị) Cho hàm số y = f(x) xác định [a; b] x0 a; b Trong lân cận đủ bé x0 , f ( x0 ) thay đổi dấu x qua x0 (có thể khơng tồn f ( x0 ) ) f(x) đạt cực trị x0 skkn *) Nếu f ( x) 0, x x0 ; x0 f ( x) 0, x x0 ; x0 x0 điểm cực tiểu *) Nếu f ( x) 0, x x0 ; x0 f ( x) 0, x x0 ; x0 x0 điểm cực đại Giải pháp vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 2.1 Bài toán tổng quát Cho số thực a1 , a2 , an D thỏa mãn: g (a1 ) g (a2 ) g (an ) n.g ( ) với số thực D Chứng minh rằng: f (a1 ) f (a2 ) f (an ) n f ( ) Để giải toán ta cần biểu diễn f (ai ) qua g (ai ), i 1,2, , n nên ta xét hàm số h(t ) f (t ) g (t ), t D Số xác định cho hàm số h(t ) đạt cực tiểu (hoặc cực đại) t0 h '( ) suy f '( ) g '( ) Thí dụ Cho a, b, c a b c Chứng minh a b3 c Phân tích Từ giả thiết ta thấy đẳng thức xảy a b c BĐT cần chứng minh có dạng f (a ) f (b) f (c) Trong f (t ) t , t 0;1 g (t ) t , f '(1 3) g '(1 3) Vậy cho ta lời giải sau: Lời giải: Xét hàm số y t t với t (0;1) 1 Ta có y ' 3t t 3 Bảng biến thiên skkn 13 t ─ y’ + y 27 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: y 2 t t t t với t (0;1) 27 27 27 2 Từ suy ra: a a ; b3 b ; c c 27 27 27 với a, b, c (0;1) Cộng vế theo vế BĐT lại với nhau: a b c a b c 27 Dấu xảy a b c □ Vậy ta có điều phải chứng minh Thí dụ [Vơ địch Tốn Ba Lan 1996] Cho a, b, c a b c Chứng minh rằng: a b c a b c 10 Phân tích 5 Từ giả thiết ta thấy a, b, c ; , đẳng thức xảy a b c BĐT cần chứng minh có dạng f (a ) f (b) f (c) Trong f ( x) 10 5 f '(1 3) 18 x , x ; g ( x) x , g '(1 3) 25 x 1 skkn Lời giải: Xét hàm số y 5 x 18 x x với ; x 25 x 1 x 18 Ta có y ' x 1 25 x Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có: y 5 x 18 x 18 x x , với x ; 50 x 25 50 x 25 50 Từ suy ra: a 18 b 18 c 18 a ; b ; c với a 25 50 b 25 50 c 25 50 5 a, b, c ; Cộng vế theo vế BĐT lại với ta có: a b c 18 9 a b c a b c 25 50 10 Dấu xảy a b c □ Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét Qua Thí dụ ta thấy BĐT cần chứng minh có biến có tính chất đối xứng nên dễ dàng nhận dấu xảy biến Nếu BĐT cần chứng minh khơng cịn tính chất đối xứng biến skkn 10 6 ; B arccos ; C 2arccos 4 Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu xảy A arccos Thí dụ Cho a, b, c a b c Chứng minh a b c b c c a 4(a b) a b c Phân tích Biến đổi BĐT cho dạng a b 4(3 c) Từ giả thiết ta thấy a, b, c 0;3 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a, b, c thỏa mãn g (a ) g (b) g (c) Chứng minh rằng: f (a ) f (b) f (c) t Trong f (t ) , t 0;3 g (t ) t Khi dấu BĐT 3t xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình a a b c 3 b 2 a b c c f '(t0 ) 25 Ta có Vậy ta có lời giải sau g '(t0 ) 48 Lời giải: 1 t 25 Xét hàm số y f (t ) t , t 0;3; 1;1; t 48 3 25 15 12 Ta có y ' 0t 3 t 48 Bảng biến thiên t 15 12 ─ y’ y + 40 16 25 16 skkn 18 Dựa vào bảng biến thiên ta có: 40 16 25 16 t 25 40 16 25 t t 48 16 với t (0;3); 1;1; t 25 40 16 25 t t 48 16 a 25 b 25 a ; b ; Từ suy ra: a 48 16 b 48 16 c 25 a với a, b, c (0;3) 43 c 48 16 Cộng vế theo vế BĐT lại với ta có: a b c 25 11 a b c a b 4(3 c) 48 16 a b c b c c a 4(a b) 3 Dấu xảy a , b , c Vậy ta có điều phải chứng minh 5 y Thí dụ [HSG Chuyên Nguyễn Tất Thành, Yên Bái, năm 2014] Cho x, y, z xy yz zx xyz 1 Chứng minh rằng: 2 x 1 y 1 z 1 Phân tích Vì xy yz zx xyz , x, y, z nên tồn góc nhọn tam giác ABC cho x tan A; y tan B; z tan C BĐT cần chứng minh là: 1 9 2cos A cos B cos C tan A tan B tan C Từ giả thiết ta thấy A, B, C 0; BĐT cần chứng minh có dạng Cho số thực A, B, C 0; thỏa mãn g ( A) g ( B) g (C ) Chứng minh rằng: f (A) f (B) f (C) Trong f (t ) cos t , t 0; g (t ) t Khi dấu BĐT xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình skkn 19 A 2arccos arcsin 15 A B C 15 B arccos arcsin 4 2sin A sin B sin C 15 C arccos arcsin 4 Ta có f '(t0 ) 15 Vậy ta có lời giải sau g '(t0 ) Lời giải: Xét hàm số y cos t Ta có y ' sin t 15 t với t 0; , 2;1;1 15 15 t arcsin 4 Bảng biến thiên t arcsin + y’ 15 4 ─ 16 15 15 15 arcsin 4 4 y 15 Dựa vào bảng biến thiên ta có 16 15 15 15 y arcsin 4 4 15 16 15 15 15 cos t t arcsin , với t 0; ; 2;1;1 4 4 Từ suy ra: skkn 20 ... Giải pháp vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 2.1 Bài toán tổng quát Cho số thực a1 , a2 , an D thỏa mãn: g (a1 ) g (a2 ) g (an ) n.g ( ) với số thực D Chứng minh rằng:... đề Với tất lí từ kinh nghiệm giảng dạy nhóm tác giả chọn tên sáng kiến là: ? ?Vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức” skkn Cơ sở thực tiễn a) Nghiên cứu việc dạy BĐT Thực trạng việc dạy BĐT trường... Giáo viên - Đơn vị : Trường THPT Đức Hợp, Kim Động, Hưng Yên Tên đề tài: ? ?Vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức” skkn PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Lý chọn đề tài Căn nhiệm vụ mục tiêu