skkn vận dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Lý chọn đề tài Căn nhiệm vụ mục tiêu giáo dục, vào thực trạng dạy học nay, cần có hướng đổi phương pháp dạy toán trường THPT Để đạt điều đó, giảng dạy người thầy phải giúp học sinh nắm vững tri thức phương pháp [1, Tr 124] BĐT nội dung khó, địi hỏi học sinh lực tư mức độ cao giải Cùng với BĐT đạo hàm phần kiến thức quan trọng thiếu nhiều tốn đại số Nó thực công cụ, phương pháp tốt hỗ trợ hiệu giải toán bất đẳng thức Các tài liệu viết BĐT nhiều, nhiên số chuyên đề viết riêng việc vận dụng đạo hàm giải tốn BĐT, giải tốn tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) có tính phân loại hệ thống khơng nhiều Thường tốn chứng minh BĐT xuất đề thi HSG dạng dấu xảy giá trị biến toán tác giả Trần Phương giải phương pháp kinh điển “Kỹ thuật chọn điểm rơi” Vậy với toán BĐT mà dấu xảy giá trị biến không làm nào? Hiện nhiều tài liệu nói đến vấn đề chủ yếu dùng kỹ thuật tách ghép, thêm bớt hệ số mà chưa nói lên chất vấn đề Ngoài qua thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi ơn thi Đại học, Cao đẳng, nhóm tác giả nhận thấy việc chứng minh BĐT dạng tách ghép sử dụng BĐT Cauchy, Bunhiacopski khó hiểu học sinh Nhưng với sáng kiến nhóm tác giả với ý tưởng dùng đạo hàm kết hợp với giải hệ phương trình học sinh giải vấn đề Với tất lí từ kinh nghiệm giảng dạy nhóm tác giả chọn tên sáng kiến là: “Vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức” Cơ sở thực tiễn a) Nghiên cứu việc dạy BĐT Thực trạng việc dạy BĐT trường THPT trước thực nghiệm, thử nghiệm sáng kiến, nhóm tác giả nhận thấy: - Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học chun đề ơn luyện đan xen vào tiết tự chọn lớp nên có thời gian triển khai tới HS - Giáo viên nhiều thời gian để tìm tịi sở lý thuyết xây dựng hệ thống tập - Giáo viên gặp khó khăn tìm tài liệu để mở rộng kiến thức ví dụ ứng dụng - Giáo viên chưa có có kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề chứng minh bất đẳng thức - Giáo viên nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành hệ thống tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác học sinh - Thời gian để giáo viên hướng dẫn chữa tập cho học sinh không nhiều - Đối với giáo viên không chủ chốt tổ chuyên mơn có hội dạy đội tuyển dạy luyện thi Đại học việc phân loại tập, trình bày lời giải cịn hạn chế đơi lúc mắc sai lầm b) Nghiên cứu việc học BĐT Bên cạnh khó khăn người thầy, học sinh gặp phải nhiều khó khăn tiếp cận nội dung BĐT, Chẳng hạn như: - Học sinh thường có hứng thú với vấn đề giáo viên đặt lúc bắt đầu học Tuy nhiên, học đến định nghĩa xây dựng định lý, hệ học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu mơ hồ vận dụng làm tập Những học sinh trung bình chưa thể hiểu kỹ lý thuyết vận dụng vào tập - Nhiều học sinh hiểu chưa kỹ khái niệm, định nghĩa Thí dụ mẫu dẫn đến trình bày lời giải tốn chưa khoa học cịn mắc nhiều sai lầm - Khả tìm tòi tự học đa số học sinh hạn chế học chưa có khả rút kinh nghiệm, hệ thống dạng tập - Nhiều học sinh chưa biết nhiều phương pháp giải toán, kỹ kỹ xảo để xử lý dạng tập phức tạp - Bài tập phần khó có nhiều hướng giải khó phát tốn nhiều thời gian tìm tịi lời giải Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu dạng toán BĐT thường gặp hiệu việc dùng đạo hàm giải toán ví dụ minh họa cụ thể - Sáng kiến tập trung phân tích ưu điểm việc dùng đạo hàm chứng minh BĐT qua nhằm hướng dẫn học sinh tự học - Sáng kiến đưa hệ thống tập tự luyện phù hợp Mục đích nghiên cứu - Giúp cho thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao lực tạo điều kiện thuận lợi cho công tác dạy học - Giúp cho học sinh có thêm lựa chọn hay giải toán BĐT - Giúp cho học sinh lực tự học, rèn tính cẩn thận, sáng tạo góp phần hình thành phẩm chất cần thiết người lao động Phạm vi, giới hạn sáng kiến nghiên cứu 5.1 Phạm vi khảo sát Học sinh lớp 12, học sinh giỏi, học sinh ôn thi THPT Quốc Gia 5.2 Giới hạn nội dung nghiên cứu sáng kiến: Hoạt động dạy học bồi dưỡng HSG chuyên đề BĐT, dạy ôn thi THPT Quốc Gia phần Vận dụng cao 5.3 Vấn đề nghiên cứu sáng kiến: Làm để học sinh tự tin giải tốn BĐT cơng cụ quen thuộc đạo hàm Phương pháp nghiên cứu thực sáng kiến - Nghiên cứu lý thuyết GTLN, GTNN, Cực đại, Cực tiểu, - Nghiên cứu phương pháp giảng tập toán - Nghiên cứu thực tế giảng dạy, thông qua học sinh, qua sách báo tài liệu tham khảo, học hỏi tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp Giả thuyết khoa học sáng kiến Trên sơ lý luận phương pháp dạy học mơn tốn thực tiễn dạy học đạo hàm BĐT trường THPT vận dụng kết hợp đạo hàm với kiến thức phù hợp phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo học sinh việc chứng minh bất đẳng thức Đóng góp sáng kiến - Sáng kiến đưa cách giải dạng toán BĐT khó mà dùng đạo hàm; - Cung cấp cho học sinh lý thuyết sở gắn với tốn trình bày lời giải tốn BĐT theo hướng vận dụng đạo hàm thuộc chương trình Tốn THPT - Minh họa nhiều loại tập có đề thi HSG trường chuyên, đề thi HSG quốc gia năm gần - Giúp cho em học sinh rèn kỹ giải toán giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm dạy học Cấu trúc sáng kiến  Phần I: Tổng quan vấn đề nghiên cứu  Phần II: Nội dung Cơ sở lý luận Các dạng toán tổng quát Bài tập luyện tập Tổ chức thực nghiệm  Phần III: Kết luận khuyến nghị PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lý luận 1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Cho hàm số y  f ( x) xác định tập D a) Số M gọi GTLN hàm số y  f ( x) tập D f ( x)  M với x  D tồn x0  D cho f ( x0 )  M Kí hiệu M  max f ( x) D b) Số m gọi GTNN hàm số y  f ( x) tập D f ( x)  m với x  D tồn x0  D cho f ( x0 )  m Kí hiệu m  f ( x) D 1.2 Một số tính chất hàm số Định lý 1: Cho hàm số y  f ( x) xác định có đạo hàm [a; b] + Nếu f '( x)  0, x   a; b  f '  x   số hữu hạn điểm f(x) đồng biến [a; b] ta có f ( x)  f (a ); m ax f ( x)  f (b) x a ;b  x a ;b + Nếu f '( x)  0, x   a; b  f '  x   số hữu hạn điểm f(x) nghịch biến [a; b] ta có f ( x)  f (b); m ax f ( x)  f (a ) x a ;b  x a ;b  Định lý 2: ( Định lý Fermart) Giả sử hàm số y  f ( x) xác định lân cận đủ bé x0   a; b  có đạo hàm điểm x0 Khi hàm số y  f ( x) đạt cực trị x0 f ( x0 )  Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị) Cho hàm số y = f(x) xác định [a; b] x0   a; b  Trong lân cận đủ bé  x0 , f ( x0 ) thay đổi dấu x qua x0 (có thể khơng tồn f ( x0 ) ) f(x) đạt cực trị x0 *) Nếu f ( x)  0, x   x0  ; x0  f ( x)  0, x   x0 ; x0    x0 điểm cực tiểu *) Nếu f ( x)  0, x   x0  ; x0  f ( x)  0, x   x0 ; x0    x0 điểm cực đại Giải pháp vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 2.1 Bài toán tổng quát Cho số thực a1 , a2 , an  D thỏa mãn: g (a1 )  g (a2 )   g (an )   n.g ( ) với số thực   D Chứng minh rằng: f (a1 )  f (a2 )   f (an )   n f ( ) Để giải toán ta cần biểu diễn f (ai ) qua g (ai ), i  1,2, , n nên ta xét hàm số h(t )  f (t )   g (t ), t  D Số  xác định cho hàm số h(t ) đạt cực tiểu (hoặc cực đại) t0   h '( )  suy    f '( ) g '( ) Thí dụ Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh a  b3  c  Phân tích Từ giả thiết ta thấy đẳng thức xảy a  b  c  BĐT cần chứng minh có dạng f (a )  f (b)  f (c)  Trong f (t )  t , t  0;1 g (t )  t ,    f '(1 3)  g '(1 3) Vậy cho ta lời giải sau: Lời giải: Xét hàm số y  t  t với t  (0;1) 1 Ta có y '   3t    t  3 Bảng biến thiên 13 t ─ y’ + y  27 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: y 2  t  t    t  t  với t  (0;1) 27 27 27 2 Từ suy ra: a  a  ; b3  b  ; c  c  27 27 27 với a, b, c  (0;1) Cộng vế theo vế BĐT lại với nhau: a  b  c   a  b  c   27 Dấu xảy a  b  c  □ Vậy ta có điều phải chứng minh Thí dụ [Vơ địch Toán Ba Lan 1996] Cho a, b, c   a  b  c  Chứng minh rằng: a b c    a  b  c  10 Phân tích  5 Từ giả thiết ta thấy a, b, c   ;  , đẳng thức xảy a  b  c    BĐT cần chứng minh có dạng f (a )  f (b)  f (c)  Trong f ( x)  10  5 f '(1 3) 18 x , x   ;  g ( x)  x ,       g '(1 3) 25 x 1 Lời giải: Xét hàm số y   5 x 18  x x  với  ;    x  25  x  1 x 18   Ta có y '     x  1 25  x    Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có: y  5 x 18 x 18   x   x  , với x   ;    50 x  25 50 x  25 50 Từ suy ra: a 18 b 18 c 18  a ;  b ;  c với a  25 50 b  25 50 c  25 50  5 a, b, c   ;    Cộng vế theo vế BĐT lại với ta có: a b c 18 9     a  b  c   a  b  c  25 50 10 Dấu xảy a  b  c  □ Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét Qua Thí dụ ta thấy BĐT cần chứng minh có biến có tính chất đối xứng nên dễ dàng nhận dấu xảy biến Nếu BĐT cần chứng minh khơng cịn tính chất đối xứng biến 10 dấu xảy biến Khi BĐT cần chứng minh hay khó nhiều so với trường hợp dấu xảy biến Vậy BĐT dạng xảy dấu làm để tìm dấu xảy ? Để làm rõ vấn đề ta xét toán tổng quát sau 2.2 Bài toán tổng quát Cho số thực a, b, c  D thỏa mãn: mg (a )  ng (b)  pg (c)   k với số thực a, b, c  D, k   Chứng minh f (a )  f (b)  f (c)  k Phân tích Để giải toán ta cần biểu diễn f (a ), f (b), f (c) qua mg (a ), ng (a ), pg (c) nên ta xét hàm h(t )  f (t )   g (t ), t  D ,   m, n, p Số  xác định cho hàm số h(t ) đạt cực tiểu (hoặc cực đại) t0  a, b, c h '(t0 )  suy    f '(t0 )  g '(t0 ) Khi dấu BĐT xảy biến thỏa mãn hệ phương trình mg (a )  ng (b)  pg (c)  k  f '(b) f '(c)  f '(a )     mg '(a ) ng '(b) pg '(c) Giải hệ phương trình ta tìm giá trị biến a, b, c từ ta biết đẳng thức xảy Thí dụ Cho a, b, c  a  4b  9c  Chứng minh a  b3  c  1296 Phân tích Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 BĐT cần chứng minh có dạng Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)  Chứng minh rằng: f (a )  f (b)  f (c)  1296 Trong f (t )  t , t  0;1 g (t )  t Khi dấu BĐT xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình 11    a    36   a  b  c       2  b   3a  b c   18        1  c   12   Ta có    f '(t0 ) Vậy ta có lời giải sau   g '(t0 ) 432 Lời giải: Xét hàm số y  t  t với t  (0;1) 432 Ta có y '   3t    0t 432 36 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có: y 3  3  3  t3  t   t3  t 23328 432 23328 432 23328 với t  (0;1);  1;4;9 Từ suy ra: a3  1 27 ; b3  ; c3  a b c 432 23328 432 23328 432 23328 với a, b, c  (0;1) Cộng vế theo vế BĐT lại với ta có: a  b3  c  Dấu xảy a  36  a  4b  9c  432 23328 1296 1 (đpcm) ,b  ,c  36 18 12 12 6 ; B  arccos ; C    2arccos 4 Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu xảy A  arccos Thí dụ Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh a b c    b  c c  a 4(a  b) a b c Phân tích Biến đổi BĐT cho dạng     a  b 4(3  c) Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;3 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)  Chứng minh rằng: f (a )  f (b)  f (c)  t Trong f (t )  , t  0;3 g (t )  t Khi dấu BĐT 3t xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình    a   a  b  c        3  b      2     a  b  c             c     f '(t0 ) 25 Ta có      Vậy ta có lời giải sau g '(t0 ) 48 Lời giải:  1 t 25 Xét hàm số y  f (t )   t , t  0;3;   1;1;     t 48 3 25 15 12  Ta có y '   0t  3  t  48 Bảng biến thiên t 15 12   ─ y’ y  +  40  16  25 16 18 Dựa vào bảng biến thiên ta có: 40  16  25 16 t 25 40  16  25   t    t 48 16 với t  (0;3);   1;1;    t 25 40  16  25   t  t 48 16 a 25 b 25  a ;  b ; Từ suy ra:  a 48 16  b 48 16 c 25  a với a, b, c  (0;3) 43  c 48 16 Cộng vế theo vế BĐT lại với ta có: a b c 25 11     a  b  c    a  b 4(3  c) 48 16 a b c     b  c c  a 4(a  b) 3 Dấu xảy a  , b  , c  Vậy ta có điều phải chứng minh 5 y Thí dụ [HSG Chuyên Nguyễn Tất Thành, Yên Bái, năm 2014] Cho x, y, z  xy  yz  zx  xyz 1 Chứng minh rằng:    2 x 1 y 1 z 1 Phân tích Vì xy  yz  zx  xyz , x, y, z  nên tồn góc nhọn tam giác ABC cho x  tan A; y  tan B; z  tan C BĐT cần chứng minh là: 1 9     2cos A  cos B  cos C  tan A  tan B  tan C    Từ giả thiết ta thấy A, B, C  0;  BĐT cần chứng minh có dạng     Cho số thực A, B, C  0;  thỏa mãn g ( A)  g ( B)  g (C )     Chứng minh rằng: f (A)  f (B)  f (C)    Trong f (t )  cos t , t   0;  g (t )  t Khi dấu BĐT   xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình 19   A    2arccos  arcsin 15    A B C    15     B  arccos  arcsin   4  2sin A  sin B  sin C   15 C  arccos  arcsin 4  Ta có    f '(t0 ) 15 Vậy ta có lời giải sau  g '(t0 ) Lời giải: Xét hàm số y   cos t  Ta có y '    sin t    15 t với t   0; ,   2;1;1   15 15   t  arcsin 4 Bảng biến thiên t arcsin + y’  15 4   ─ 16 15 15 15  arcsin 4 4 y  15  Dựa vào bảng biến thiên ta có 16 15 15 15 y  arcsin 4 4   15 16 15 15 15   cos t   t  arcsin , với t   0; ;   2;1;1   4 4 Từ suy ra: 20 2cos A   15 15 15 ; A  arcsin 4 cos B   15 15 15 B  arcsin ; 4 4 cos C  15 15 15 C  arcsin 4 4   với A, B, C   0;    Cộng vế theo vế BĐT lại với ta có: 15 2cos A  cos B  cos C    A  B  C  4 15  15 15 15   +  arcsin  arcsin arcsin  4  15 15  2cos A  cos B  cos C    A  B  C   A  B  C  4 4  x2 1  y2 1  z2 1  15 15 15 ; B  arcsin ; C  arcsin 4 Dấu xảy A  arcsin Vậy ta có điều phải chứng minh 2.4 Bài toán tổng quát Cho số thực a, b, c  D thỏa mãn: mg (a )  ng (b)  pg (c)   k , với số thực k Chứng minh m ' f (a )  n ' f (b)  p ' f (c)  k Để giải toán ta cần biểu diễn m ' f (a ), n ' f (b), p ' f (c) qua mg (a ), ng (b), pg (c) nên ta xét hàm số h(t )   f (t )   g (t ), t  D ,   m ', n ', p ';   m, n, p Số  xác định cho hàm số h(t ) đạt cực tiểu (hoặc cực đại) t0  a, b, c h '(t0 )  suy     f '(t0 )  g '(t0 ) Khi dấu BĐT xảy biến thỏa mãn hệ phương trình 21 mg (a )  ng (b)  pg (c)  k   m ' f '(a) n ' f '(b) p ' f '(c)    ng '(b) pg '(c)  mg '(a ) Giải hệ phương trình ta tìm giá trị biến a, b, c từ ta biết đẳng thức xảy Thí dụ Cho a, b, c  a  4b  9c  Chứng minh 100 a  25b3  36c  5041 Phân tích Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)  100 Chứng minh rằng: f (a )  25 f (b)  36 f (c)  5041 Trong f (t )  t , t  0;1 g (t )  t Khi dấu BĐT xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình  10   a   71   a  4b  9c       2  b   3a  75 b 108 c   71         c   71    f '(t0 ) 300  Ta có    Vậy ta có lời giải sau  g '(t0 ) 5041 Lời giải: 300 Xét hàm số y  t  t với t  (0;1);   1;25;36 ,   1;4;9 5041 300 10  Ta có y '   3t  0t 5041 71  Bảng biến thiên 10  t 71  ─ y’ +   300 5041 y  2000  357911  Dựa vào bảng biến thiên ta có 22 2000  300 2000  300 2000  3 y  t  t   t  t 357911  5041 357911  5041 357911  với t  (0;1);   1;25;36 ,   1;4;9 Từ suy ra: a3  300 2000 1200 3200 2700 9000 a b c ; 25b3  ; 36c  5041 357911 5041 357911 5041 357911 với a, b, c  (0;1) Cộng vế theo vế BĐT lại với ta có a  25b3  36c  300 14200 100  a  4b  9c  5041 357911 5041  a  25b3  36c  Dấu xảy khi: a  100 5041 10 ,b  ,c  71 71 71 Vậy ta có điều phải chứng minh Thí dụ 10 [HSG THPT Hoằng Hóa, Thanh Hóa, 2012] Cho a, b, c  2a  3b  4c  Chứng minh 2a   2b   2c   10 Phân tích Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)  Chứng minh rằng: f (a )  f (b)  f (c)  10 đặt f (t )  2t  1, t  0;1 g (t )  t Khi dấu BĐT xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình    a      a  b  c       b      2a   2b   2c     c     Ta có     f '(t0 )  Vậy ta có lời giải sau  g '(t0 ) 11 23 3 t với t  (0;1) 11  3 Ta có y '    0t 2t  11 Bảng biến thiên Lời giải:Xét hàm số y   2t   t 19 + y’ ─ 10 11 33 y     33  11 Dựa vào bảng biến thiên ta có y 10 11 33 3 10 11 t 33 11   2t   3 10 11 t 33 11 với t  (0;1);   2;3;4   2t   Từ suy ra: 2a   20 11 ; a 33 11 2b   30 11 b ; 33 11 12 40 11 c 33 11 với a, b, c  (0;1) 2c   Cộng vế theo vế BĐT lại với ta có: 2a   2b   2c   90 11  11  10 2a  3b  4c  33 11  2a   2b   2c   10 Vậy ta có điều phải chứng minh 24 Thí dụ 11 Cho a, b, c  2a  b  c  Chứng minh a 11 1 29 b  c     a b c Phân tích Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;6 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)  Chứng minh rằng: f (a )  f (b)  f (c)  29 Trong f (t )  t  , t  0;6 g (t )  t Khi dấu BĐT t xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình 2a  b  c  a      b  1   a  11 11   2   c  b c  Ta có    f '(t0 )   Vậy ta có lời giải sau g '(t0 ) Lời giải: 3 Xét hàm số y  f (t )  t   t , t  0;6 t Ta có y '     3  0t t 8  3 Bảng biến thiên t ─ y’ y 8  3 0 + 72  27   12  8  3 Dựa vào bảng biến thiên ta có 25 y 8  3 3 8  3  t   t  t 3 8  3  t   t  t  11 11 với t  (0;6);   1; ; ;   2;1;1  8  Từ suy ra: a   a 1; a 11 b  b2; b 11 c  c2 c với a, b, c  (0;6) Cộng vế theo vế BĐT theo vế ta được: 11 1 29 a  b  c     2a  b  c   a b c 11 1 29  a  b  c     a b c Dấu xảy a  2, b  1, c  Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tập luyện tập Bài [Đề xuất 30-4 Cà Mau] Cho a, b, c  15a  5b  3c  Tìm giá trị lớn P  1  3 a b c Bài Cho x, y, z số thỏa x  y  z  Chứng minh rằng:  4x   y   4z  Bài Cho a, b, c  R a  b  3c  10 Chứng minh a  b  c  2 a  b3  c  Bài Cho a, b, c   a  b  c  Chứng minh 26 3a b c 12    a 1 b 1 c 1 Bài Cho a, b, c  a  2b  3c  15 Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca Bài Cho a, b, c, d  a  b  2c  3d  Chứng minh 6a  b  c  d   a  b  c  d  191 18 Bài Cho số thực dương a, b, c a  b  c  Chứng minh 1 16    a  b2  c2 a b c Bài Cho x, y, z  x  y  z  Chứng minh x2  1 32  y   z   2 x y z Bài Cho a, b, c  a  2b  5c  11 Chứng minh 16    a  b  c  17 a b c Bài 10 Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh a b 2c 12    2 b c a c a b Bài 11 Cho a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a  3c 4b 8c (HSG Kiên Giang 2014)   a  2b  c a  b  2c a  b  3c Bài 12 Cho ba số thực x, y, z  1;4  thỏa mãn x  y, x  z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y z   (Đề thi Đại học Khối A 2011) 2x  3y y  z z  x Bài 13 Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  a  c  b Tìm giá trị lớn biểu thức P 2   (Đề thi HSG THPT toàn quốc bảng A 1999) a  b2  c2  27 Bài 14 Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn 21ab  2bc  8ac  12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a , b, c     (Đề thi chọn ĐTQG 2001) a b c Bài 15 Cho x, y, z  thỏa mãn xy  xz  Chứng minh yz zx xy    (Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh 2012) x y z Bài 16 Cho a  0, b  0;0  c  thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  2ab  3bc  3ca  (Đề thi HSG Hà Nội 2013) a bc Bài 17 Cho x, y, z số dương Chứng minh x  y  z  xy  yz  zx Bài 18 Cho tam giác ABC khơng tù Tính góc tam giác biết cos A  2 cos B  2 cos C  (Đề thi Đại học khối A 2004) Bài 19 Cho tam giác ABC nhọn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  tan A  tan B  3tan C Bài 20 Cho số a, b thỏa mãn điều kiện a  b   6a  2b Chứng minh 4b  3a (Đề thi HSG tỉnh Bình Thuận 2015) 28 MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1 Lý chọn đề tài Cơ sở thực tiễn Nhiệm vụ nghiên cứu 4 Mục đích nghiên cứu Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học sáng kiến Đóng góp sáng kiến Cấu trúc sáng kiến PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lý luận Giải pháp vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 2.1 Bài toán tổng quát 2.2 Bài toán tổng quát 10 2.3 Bài toán tổng quát 13 2.4 Bài toán tổng quát 20 Bài tập tự luyện 25 Tổ chức thực nghiệm kết đối chứng 28 4.1 Xử lý kết thống kê toán học 28 4.2 Đánh giá định lượng kết 31 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 33 Kết luận 33 Khuyến nghị 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 PHỤ LỤC 37 40 CÁC BẢNG, HÌNH VẼ DÙNG TRONG SK Tên bảng Trang Bảng 1: Thống kê kết kiểm tra 29 Bảng 2: Kết xử lý để tính tham số 29 Bảng 3: Các tham số đặc trưng 30 Bảng 4: Tần suất tần suất lũy tích 30 Hình Đồ thị phân phối tần suất 31 Hình Đồ thị đường phân phối tần suất tích lũy 31 41 CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT ĐC Đối chứng GV Giáo viên HS Học sinh BĐT Bất đẳng thức SK Sáng kiến ĐK Điều kiện PTCT PT tắc TN Thực nghiệm THPT Trung học phổ thông 42 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT ĐỨC HỢP Tổng điểm: …………………Xếp loại: ……………………… T.M HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH -HIỆU TRƯỞNG (Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) HÀ QUANG VINH 43 ... tốn thực tiễn dạy học đạo hàm BĐT trường THPT vận dụng kết hợp đạo hàm với kiến thức phù hợp phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo học sinh việc chứng minh bất đẳng thức Đóng góp sáng kiến... Giải pháp vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 2.1 Bài toán tổng quát Cho số thực a1 , a2 , an  D thỏa mãn: g (a1 )  g (a2 )   g (an )   n.g ( ) với số thực   D Chứng minh rằng:... kiến PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lý luận Giải pháp vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 2.1 Bài toán tổng quát 2.2 Bài toán tổng quát 10 2.3